Bài 12. Tích phân

Giải bài 4.11 trang 12 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

a) Ta có hàm số không âm trên đoạn . Do đó tích phân là

diện tích của hình vẽ giới hạn bởi đồ thị và hai đường thẳng (trục ) và

như hình vẽ bên. Ta cần tính diện tích hình thang vuông có

đáy lớn là 7, đáy bé là 1 và chiều cao là 3.

Suy ra .

b) Ta có .

Ta có hàm số không âm trên đoạn . Do đó tích phân là diện tích của hình vẽ giới hạn bởi đồ thị và hai đường thẳng (trục ) và như hình vẽ bên.

Ta cần tính diện tích một phần tư đường tròn có bán kính là 4, tâm O nằm ở góc phần tư thứ I. Suy ra .

Giải bài 4.12 trang 12 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho $\underset{0}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=6$ và . Hãy tính:

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

a) Ta có .

b) Ta có .

Giải bài 4.13 trang 12 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính các tích phân sau:

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

a) Ta có

.

b) Ta có

.

Giải bài 4.14 trang 13 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính các tích phân sau:

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

a) Ta có

.

b) Ta có

.

Giải bài 4.15 trang 13 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính các tích phân sau:

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

a) Ta có .

b) Ta có

.

Giải bài 4.16 trang 13 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính các tích phân sau:

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

a) Ta có

.

b) Ta có

.

Giải bài 4.17 trang 13 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Lợi nhuận biên của một sản phẩm được mô hình hóa bởi

\(P'\left( x \right) =  - 0,0005x + 12,2\).

a) Tìm sự thay đổi lợi nhuận khi doanh số bán hàng tăng từ 100 lên 101 đơn vị.

b) Tìm sự thay đổi lợi nhuận khi doanh số bán hàng tăng từ 100 lên 110 đơn vị.

Lời giải chi tiết

Ta có \(P'\left( x \right) =  - 0,0005x + 12,2\),

suy ra \(P\left( x \right) = \int {\left( { - 0,0005x + 12,2} \right)dx} \)\( =  - 0,0005 \cdot \frac{{{x^2}}}{2} + 12,2x + C\)\( = \frac{{ - {x^2}}}{{4000}} + \frac{{61}}{5}x + C\).

a) Sự thay đổi lợi nhuận khi doanh số bán hàng tăng từ 100 lên 101 đơn vị là

\(\int\limits_{100}^{101} {P'\left( x \right)dx}  = \left. {\left( {\frac{{ - {x^2}}}{{4000}} + \frac{{61}}{5}x} \right)} \right|_{100}^{101} = \frac{1}{{4000}}\left( { - {{101}^2} + {{100}^2}} \right) + \frac{{61}}{5} = \frac{{48599}}{{4000}} = 12,14975\).

b) Sự thay đổi lợi nhuận khi doanh số bán hàng tăng từ 100 lên 110 đơn vị.

\(\int\limits_{100}^{110} {P'\left( x \right)dx}  = \left. {\left( {\frac{{ - {x^2}}}{{4000}} + \frac{{61}}{5}x} \right)} \right|_{100}^{110} = \frac{1}{{4000}}\left( { - {{110}^2} + {{100}^2}} \right) + \frac{{61}}{5} \cdot 10 = \frac{{4895}}{{40}} = 121,457\).

Giải bài 4.18 trang 13 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm chi phí trung bình trên mỗi đơn vị sản phẩm trong khoảng thời gian thời gian hai năm nếu chi phí cho mỗi đơn vị được tính bởi với , tính theo tháng.

Lời giải chi tiết

Ta có .

Chi phí trung bình trên mỗi đơn vị sản phẩm trong khoảng thời gian thời gian hai năm là

.

Giải bài 4.19 trang 13 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Giả sử tổng chi phí mua và bảo trì một thiết bị trong x năm có thể được mô hình hóa bởi công thức

$C=5000\left(25+3\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{\frac{1}{4}}dt\right)$.

Tìm tổng chi phí sau:

a) 1 năm;

b) 5 năm;

c) 10 năm.

Lời giải chi tiết

Ta có . Khi đó ta có .

a) Tổng chi phí mua và bảo trì thiết bị sau 1 năm là .

b) Tổng chi phí mua và bảo trì thiết bị sau 5 năm là

.

c) Tổng chi phí mua và bảo trì thiết bị sau 10 năm là

.

Giải bài 4.20 trang 13 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Vận tốc $v$ của một vật rơi tự do từ trạng thái đứng yên được cho bởi công thức $v\left(t\right)=9,8t$, trong đó vận tốc $v$ tính bằng m/s và thời gian t tính bằng giây.

a) Biểu thị quãng đường vật đi được trong T giây đầu tiên dưới dạng tích phân.

b) Tìm quãng đường vật đi được trong 5 giây đầu tiên.      

Lời giải chi tiết

a) Quãng đường vật đi được trong T giây đầu tiên là:

$\underset{0}{\overset{T}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{T}{\int }}9,8tdt=9,8\cdot {\frac{t^2}{2}|}_0^T=4,9T^2$ (m).

b) Quãng đường vật đi được trong 5 giây đầu tiên là $\underset{0}{\overset{5}{\int }}v\left(t\right)dt=4,9\cdot 5^2=122,5$ (m).