Bài 12 trang 128

Cho hai hình bình hành (ABCD) và (ABEF) nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Lấy các điểm (M,N) lần lượt thuộc các đường chéo (AC) và (BF) sao cho (MC = 2MA;NF = 2NB). Qua (M,N) kẻ các đường thẳng song song với (AB), cắt các cạnh (AD,AF) lần lượt tại ({M_1},{N_1}). Chứng minh rằng:

Đề bài

Cho hai hình bình hành $A B C D$ và $A B E F$ nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Lấy các điểm $M, N$ lần lượt thuộc các đường chéo $A C$ và $B F$ sao cho $M C = 2 M A; N F = 2 N B$ . Qua $M, N$ kẻ các đường thẳng song song với $A B$ , cắt các cạnh $A D, A F$ lần lượt tại $M_{1}, N_{1}$ . Chứng minh rằng:

a) $M N ∥ D E$ ;

b) $M_{1} N_{1} ∥ (D E F)$ ;

c) $(M N N_{1} M_{1}) ∥ (D E F)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng các định lí, tính chất:

‒ Tính chất trọng tâm của tam giác.

‒ Định lí Thalès trong tam giác.

– Nếu đường thẳng $a$ không nằm trong mặt phẳng $(P)$ và song song với một đường thẳng $b$ nào đó nằm trong $(P)$ thì $a$ song song với $(P)$ .

‒ Nếu mặt phẳng $(P)$ chứa hai đường thẳng $a, b$ cắt nhau và hai đường thẳng đó cùng song song với mặt phẳng $(Q)$ thì $(P)$ song song với $(Q)$ .

Lời giải chi tiết

a) Vì AI // CD nên $\frac{A I}{C D} = \frac{I M}{M D} = \frac{A M}{M C} = \frac{1}{2}$ (định lý Thales).

Vì IB // EF nên $\frac{I B}{E F} = \frac{I N}{N E} = \frac{B N}{N F} = \frac{1}{2}$ (định lý Thales).

Do đó $\frac{I M}{M D} = \frac{I N}{N E} = \frac{1}{2}$ , suy ra MN // DE (định lý Thales đảo).

b) Theo giả thiết, AB // $M M_{1}$ và $M M_{1}$ không thuộc (ABEF) nên $M M_{1}$ // (ABEF).

c) Ta có $M M_{1}$ // AB // EF, suy ra $M M_{1}$ // (DEF) (1)

Vì $N N_{1}$ // AB nên $\frac{A N_{1}}{N_{1} F} = \frac{B N}{N F} = \frac{1}{2}$ (định lý Thales).

Vì $M M_{1}$ // AB nên $\frac{A M_{1}}{M_{1} D} = \frac{A M}{M C} = \frac{1}{2}$ (định lý Thales).

Do đó $\frac{A N_{1}}{N_{1} F} = \frac{A M_{1}}{M_{1} D} = \frac{1}{2}$ , suy ra $M_{1} N_{1}$ // DF và $M_{1} N_{1}$ // (DEF) (2).

Mà $M M_{1}$ cắt $M_{1} N_{1}$ (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra $(M N N_{1} M_{1})$ // (DEF).