Bài 12 trang 62

Đề bài

Tìm số hạng đầu $u_{1}$ và công bội $q$ của cấp số nhân $(u_{n})$ , biết:

a) ${\begin{cases} u_{5} = 96 \\ u_{6} = 192 \end{cases}$ ;

b) ${\begin{cases} u_{4} + u_{2} = 72 \\ u_{5} + u_{3} = 144 \end{cases}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1}$ và công bội $q$ thì số hạng tổng quát là: $u_{n} = u_{1} . q^{n - 1}, n \geq 2$ .

Lời giải chi tiết

a) ${\begin{cases} u_{5} = 96 \\ u_{6} = 192 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} u_{1} . q^{4} = 96 \\ u_{1} . q^{5} = 192 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} u_{1} . q^{4} = 96 \\ (u_{1} . q^{4}) . q = 192 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} u_{1} . q^{4} = 96 \\ 96 q = 192 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} q = 2 \\ u_{1} = 6 \end{cases}$

Vậy cấp số nhân $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1} = 6$ và công bội $q = 2$ .

${\begin{array}{l} u_{4} + u_{2} = 72 \\ u_{5} + u_{3} = 144 \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} u_{1} . q^{3} + u_{1} . q = 72 \\ u_{1} . q^{4} + u_{1} . q^{2} = 144 \end{array} \Leftrightarrow {\begin{array}{l} u_{1} . q (q^{2} + 1) = 72 \\ u_{1} . q^{2} (q^{2} + 1) = 144 \end{array} \begin{matrix} (1) \\ (2) \end{matrix}$

Do $u_{1} = 0$ và $q = 0$ không là nghiệm của hệ phương trình nên chia vế với vế của (2) cho (1) ta được: $q = \frac{144}{72} = 2$ .

Thế vào (1) ta được $u_{1} = \frac{36}{5}$ .

Vậy cấp số nhân $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1} = \frac{36}{5}$ và công bội $q = 2$ .