Bài 12 trang 87

Một chân cột bằng gang có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng 2a2a2a

Đề bài

Một chân cột bằng gang có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng $2 a$ , cạnh đáy nhỏ bằng $a$ , chiều cao $h = 2 a$ và bán kính đáy phần trụ rỗng bên trong bằng $\frac{a}{2}$ .

a) Tìm góc phẳng nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy.

b) Tính thể tích chân cột nói trên theo $a$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Cách xác định góc phẳng nhị diện $[A, d, B]$ : Dựng mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $d$ , gọi $a, a^{'}$ lần lượt là giao tuyến của $(P)$ với hai nửa mặt phẳng chứa $A, B$ , khi đó $[A, d, B] = (a, a^{'})$ .

‒ Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp cụt đều: $V = \frac{1}{3} h (S + \sqrt{S S^{'}} + S^{'})$ .

‒ Sử dụng công thức tính thể tích khối trụ: $V = π R^{2} h$ .

Lời giải chi tiết

Mô hình hoá chân cột bằng gang bằng cụt chóp tứ giác đều $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ với $O, O^{'}$ là tâm của hai đáy. Vậy $A B = 2 a, A^{'} B^{'} = a, O O^{'} = 2 a$ .

Gọi $M, M^{'}$ lần lượt là trung điểm của $C D, C^{'} D^{'}$ .

$A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ là hình vuông $\Rightarrow O^{'} M^{'} ⊥ C^{'} D^{'}$

$C D D^{'} C^{'}$ là hình thang cân $\Rightarrow M M^{'} ⊥ C^{'} D^{'}$

Vậy $\hat{M M^{'} O^{'}}$ là góc phẳng nhị diện giữa mặt bên và đáy nhỏ, $\hat{M^{'} M O}$ là góc phẳng nhị diện giữa mặt bên và đáy lớn.

Kẻ $M^{'} H ⊥ O M (H \in O M)$

$O M M^{'} O^{'}$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow O H = O^{'} M^{'} = \frac{a}{2}, O M = a, M H = O M - O H = \frac{a}{2}$

$\begin{array}{l} \tan \hat{M^{'} M O} = \frac{M^{'} H}{M H} = 4 \\ \Rightarrow \hat{M^{'} M O} = 75, 96^{\circ} \Rightarrow \hat{M M^{'} O^{'}} = 180^{\circ} - \hat{M^{'} M O} = 104, 04^{\circ} \end{array}$

b) Diện tích đáy lớn là: $S = A B^{2} = 4 a^{2}$

Diện tích đáy bé là: $S^{'} = A^{'} B^{' 2} = a^{2}$

Thể tích hình chóp cụt là: $V_{1} = \frac{1}{3} h (S + \sqrt{S S^{'}} + S^{'}) = \frac{1}{3} .2 a (4 a^{2} + \sqrt{4 a^{2} . a^{2}} + a^{2}) = \frac{14 a^{3}}{3}$

Thể tích hình trụ rỗng là: $V_{2} = π R^{2} h = π . {(\frac{a}{2})}^{2} .2 a = \frac{π a^{3}}{2}$

Thể tích chân cột là: $V = V_{1} - V_{2} = (\frac{14}{3} - \frac{π}{2}) a^{3}$ .