Bài 13. Hình chữ nhật

Giải bài 3.20 trang 39 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Gọi D, E lần lượt là điểm sao cho M là trung điểm của HD, N là trung điểm của HE.

a) Chứng minh AHBD, AHCE, BCED là những hình chữ nhật.

b) Tại sao giao điểm của BE và CD là trung điểm của AH?

c) Giải thích tại sao .

Lời giải chi tiết

a) Tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao nên , do đó

Tứ giác AHBD có: M là trung điểm của AB, M là trung điểm của DH nên AHBD là hình bình hành. Mà nên AHBD là hình chữ nhật. Suy ra:

Tứ giác AHCE có: N là trung điểm của AC, N là trung điểm của EH nên AHCE là hình bình hành. Mà nên AHCE là hình chữ nhật. Suy ra

Tứ giác BCED có: nên tứ giác BCED là hình chữ nhật.

b) Vì tam giác ABC cân tại A nên AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến, do đó

Vì AHCE là hình chữ nhật nên , EA//BH.

Ta có, , nên

Tứ giác AEHB có: , EA//BH nên AEHB là hình bình hành. Do đó, hai đường chéo BE và AH cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (1).

Vì BCED là hình chữ nhật nên hai đường chéo BE và CD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (2).

Từ (1) và (2) ta có: Giao điểm của BE và CD là trung điểm của AH.

c) Vì BCED là hình chữ nhật nên

Vì AHBD là hình chữ nhật nên

Vì AHCE là hình chữ nhật nên

Mà tam giác ABC cân tại A nên

Do đó,

Giải bài 3.21 trang 39 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Hai đường trung tuyến BM, CN của tam giác ABC cân tại A cắt nhau tại G. Gọi H, K lần lượt là điểm sao cho trung điểm của GH là M, trung điểm của GK là N. Chứng minh tứ giác BCHK là hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết

Vì BM, CN là hai đường trung tuyến của tam giác ABC nên M, N lần lượt là trung điểm của AC, AB. Hai đường trung tuyến này cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC. Do đó, AG là đường trung tuyến của tam giác.

Mà tam giác ABC cân tại A nên AG là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Suy ra

Do M là trung điểm của AC và GH nên tứ giác AGCH là hình bình hành, do đó , HC//AG

Do N là trung điểm của AB và KG nên tứ giác AKBG là hình bình hành, do đó KB//AG

Do đó,

Suy ra, tứ giác KBCH là hình bình hành.

Vì nên nên

Vậy tứ giác BCHK là hình chữ nhật.