Bài 13 trang 41

Đề bài

Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày $(0 \leq t < 24)$ cho bởi công thức $h = 3 \cos (\frac{π t}{6} + 1) + 12$ . Tìm t để độ sâu của mực nước là

a) 15m

b) 9m

c) 10,5m

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình hàm số cos

Lời giải chi tiết

a) Để độ sâu của mực nước là 15 m thì: $h = 3 \cos (\frac{π}{6} + 1) + 12 = 15$ $\Leftrightarrow \cos (\frac{π}{6} + 1) = 1$ $\Leftrightarrow \frac{π}{6} + 1 = k 2 π (k \in Z)$ $\Leftrightarrow t = - \frac{6}{π} + 12 k (k \in Z)$ Do $0 \leq t < 24$ nên $0 \leq - \frac{6}{π} + 12 k < 24$ $\Leftrightarrow \frac{6}{π} \leq 12 k < 24 + \frac{6}{π}$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2 π} \leq k < 2 + \frac{1}{2 π}$ Mà $k \in Z$ nên $k \in {1; 2}$ .

Với $k = 1$ thì $t = - \frac{6}{π} + 12.1 \approx 10, 09$ (giờ);

Với $k = 2$ thì $t = - \frac{6}{π} + 12.2 \approx 22, 09$ (giờ).

Vậy lúc 10,09 giờ và 22,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 15 m.

b) Để độ sâu của mực nước là 9 m thì:

$h = 3 \cos (\frac{π}{6} + 1) + 12 = 9$

$\Leftrightarrow \cos (\frac{π}{6} + 1) = - 1$

$\Leftrightarrow \frac{π}{6} + 1 = π + k 2 π (k \in Z)$

$\Leftrightarrow t = 6 - \frac{6}{π} + 12 k (k \in Z)$

Do $0 \leq t < 24$ nên $0 \leq 6 - \frac{6}{π} + 12 k < 24$

$\Leftrightarrow - 6 + \frac{6}{π} \leq 12 k < 18 + \frac{6}{π}$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 π} \leq k < \frac{3}{2} + \frac{1}{2 π}$

Mà $k \in Z$ nên $k \in {0; 1}$ .

Với $k = 0$ thì $t = 6 - \frac{6}{π} + 12.0 \approx 4, 09$ (giờ);

Với $k = 1$ thì $t = 6 - \frac{6}{π} + 12.1 \approx 16, 09$ (giờ).

Vậy lúc 4,09 giờ và 16,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 9 m.

c) Để độ sâu của mực nước là $10, 5 m$ thì:
$\begin{aligned} h = 3 \cos (\frac{π t}{6} + 1) + 12 = 10, 5 \\ \Leftrightarrow \cos (\frac{π t}{6} + 1) = - \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \frac{π t}{6} + 1 = \frac{2 π}{3} + k 2 π \\ \frac{π t}{6} + 1 = - \frac{2 π}{3} + k 2 π \end{array} (k \in Z) \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 4 - \frac{6}{π} + 12 k \\ t = - 4 - \frac{6}{π} + 12 k (2) \end{array} (k \in Z) \end{aligned}$

- Do $0 \leq t < 24$ nên từ (1) ta có: $0 \leq 4 - \frac{6}{π} + 12 k < 24$
$\begin{aligned} \Leftrightarrow - 4 + \frac{6}{π} \leq 12 k < 20 + \frac{6}{π} \\ \Leftrightarrow - \frac{1}{3} + \frac{1}{2 π} \leq k < \frac{5}{3} + \frac{1}{2 π} \end{aligned}$

Mà $k \in Z$ nên $k \in {0; 1}$ .
Với k $= 0$ thì $t = 4 - \frac{6}{π} + 12.0 \approx 2, 09$ (giờ);
Với k $= 1$ thì $t = 4 - \frac{6}{π} + 12.1 \approx 14, 09$ (giờ).
- Do $0 \leq t < 24$ nên từ (2) ta có: $0 \leq - 4 - \frac{6}{π} + 12 k < 24$
$\begin{aligned} \Leftrightarrow 4 + \frac{6}{π} \leq 12 k < 28 + \frac{6}{π} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{3} + \frac{1}{2 π} \leq k < \frac{7}{3} + \frac{1}{2 π} \end{aligned}$

Mà $k \in Z$ nên $k \in {1; 2}$ .
Với k $= 1$ thì $t = - 4 - \frac{6}{π} + 12.1 \approx 6, 09$ (giờ);
Với k $= 2$ thì $t = - 4 - \frac{6}{π} + 12.2 \approx 18, 09$ (giờ).
Vậy lúc 2,09 giờ, 6,09 giờ, 14,09 giờ và 18,09 giờ thì mực nước có độ sâu là $10, 5 m$ .