Bài 13 trang 41

Đề bài

Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày $\left(0\le t<24\right)$ cho bởi công thức $h=3\cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)+12$. Tìm t để độ sâu của mực nước là

a)     15m

b)     9m

c)     10,5m

Lời giải chi tiết

a) Để độ sâu của mực nước là 15 m thì: $$h=3\cos \left(\frac{\pi }{6}+1\right)+12=15$$ $$\iff \cos \left(\frac{\pi }{6}+1\right)=1$$ $$\iff \frac{\pi }{6}+1=k2\pi (k\in Z)$$ $$\iff t=-\frac{6}{\pi }+12k(k\in Z)$$ Do $0\le t<24$ nên $0\le -\frac{6}{\pi }+12k<24$ $$\iff \frac{6}{\pi }\le 12k<24+\frac{6}{\pi }$$ $$\iff \frac{1}{2\pi }\le k<2+\frac{1}{2\pi }$$ Mà $k\in Z$ nên $k\in \{1;2\}$.

Với $k=1$ thì $t=-\frac{6}{\pi }+12.1\approx 10,09$ (giờ);

Với $k=2$ thì $t=-\frac{6}{\pi }+12.2\approx 22,09$ (giờ).

Vậy lúc 10,09 giờ và 22,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 15 m.

b) Để độ sâu của mực nước là 9 m thì:

$$h=3\cos \left(\frac{\pi }{6}+1\right)+12=9$$

$$\iff \cos \left(\frac{\pi }{6}+1\right)=-1$$

$$\iff \frac{\pi }{6}+1=\pi +k2\pi (k\in Z)$$

$$\iff t=6-\frac{6}{\pi }+12k(k\in Z)$$

Do $0\le t<24$ nên $0\le 6-\frac{6}{\pi }+12k<24$

$$\iff -6+\frac{6}{\pi }\le 12k<18+\frac{6}{\pi }$$

$$\iff -\frac{1}{2}+\frac{1}{2\pi }\le k<\frac{3}{2}+\frac{1}{2\pi }$$

Mà $k\in Z$ nên $k\in \{0;1\}$.

Với $k=0$ thì $t=6-\frac{6}{\pi }+12.0\approx 4,09$ (giờ);

Với $k=1$ thì $t=6-\frac{6}{\pi }+12.1\approx 16,09$ (giờ).

Vậy lúc 4,09 giờ và 16,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 9 m.

c) Để độ sâu của mực nước là $10,5m$ thì:
$$\begin{array}{cc}& h=3\cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)+12=10,5\\ & \iff \cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=-\frac{1}{2}\\ & \iff [\begin{array}{c}\frac{\pi t}{6}+1=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ \frac{\pi t}{6}+1=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi \end{array}(k\in Z)\\ & \iff [\begin{array}{c}t=4-\frac{6}{\pi }+12k\\ t=-4-\frac{6}{\pi }+12k\left(2\right)\end{array}(k\in Z)\\ & \end{array}$$

- Do $0\le t<24$ nên từ (1) ta có: $0\le 4-\frac{6}{\pi }+12k<24$
$$\begin{array}{cc}& \iff -4+\frac{6}{\pi }\le 12k<20+\frac{6}{\pi }\\ & \iff -\frac{1}{3}+\frac{1}{2\pi }\le k<\frac{5}{3}+\frac{1}{2\pi }\end{array}$$

Mà $k\in Z$ nên $k\in \{0;1\}$.
Với k $=0$ thì $t=4-\frac{6}{\pi }+12.0\approx 2,09$ (giờ);
Với k $=1$ thì $t=4-\frac{6}{\pi }+12.1\approx 14,09$ (giờ).
- Do $0\le t<24$ nên từ (2) ta có: $0\le -4-\frac{6}{\pi }+12k<24$
$$\begin{array}{cc}& \iff 4+\frac{6}{\pi }\le 12k<28+\frac{6}{\pi }\\ & \iff \frac{1}{3}+\frac{1}{2\pi }\le k<\frac{7}{3}+\frac{1}{2\pi }\end{array}$$

Mà $k\in Z$ nên $k\in \{1;2\}$.
Với k $=1$ thì $t=-4-\frac{6}{\pi }+12.1\approx 6,09$ (giờ);
Với k $=2$ thì $t=-4-\frac{6}{\pi }+12.2\approx 18,09$ (giờ).
Vậy lúc 2,09 giờ, 6,09 giờ, 14,09 giờ và 18,09 giờ thì mực nước có độ sâu là $10,5m$.