Bài 13 trang 87

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có cạnh bên AA′=aAA′=aAA' = a, đáy ABCDABCDABCD là hình thoi có AB=BD=aAB=BD=aAB = BD = a.

Đề bài

Cho hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có cạnh bên $A A^{'} = a$ , đáy $A B C D$ là hình thoi có $A B = B D = a$ . Hình chiếu vuông góc của $A^{'}$ lên mặt đáy trùng với điểm $O$ là giao điểm hai đường chéo của đáy. Tính thể tích của khối hộp.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng công thức tính thể tích lăng trụ: $V = S h$ .

Lời giải chi tiết

$A B = B D = A D = a \Rightarrow Δ A B D$ đều $\Rightarrow \hat{B A D} = 60^{\circ}$

$O$ là trung điểm của $B D$ $\Rightarrow A O = \frac{A B \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$\begin{array}{l} A A^{'} ⊥ (A B C D) \Rightarrow A A^{'} ⊥ A O \\ \Rightarrow A^{'} O = \sqrt{A A^{' 2} - A O^{2}} = \frac{a}{2} \end{array}$

$S_{A B C D} = A B . A D . \sin \hat{B A D} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$

$V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = S_{A B C D} . A^{'} O = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$