Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân

Giải bài 4.21 trang 17 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính diện tích của các hình phẳng được tô màu dưới đây:

Lời giải chi tiết

a) Hình phẳng được giới hạn bởi các đường và .

Diện tích cần tìm là

.

b) Hình phẳng cần tìm được giới hạn bởi các đường và .

Diện tích cần tìm là

.

Giải bài 4.22 trang 17 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) $y={\left(x-1\right)}^3,y=x-1,x=0,x=1$;

b) .

Lời giải chi tiết

a) Vì với mọi nên diện tích cần tìm là

b) Ta có với mọi .

Diện tích cần tìm là

.

Giải bài 4.23 trang 17 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) $y=e^x,y=\sqrt{x},x=0,x=1$;

b) $y=\cos x,y=\frac{1}{2},x=0,x=\frac{\pi }{3}$.

Lời giải chi tiết

a) Vì $e^x\ge 1\ge \sqrt{x}$ với mọi nên diện tích cần tìm là

.

b) Vì với mọi nên diện tích cần tìm là

.

Giải bài 4.24 trang 17 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh :

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

a) Thể tích cần tìm là .

b) Ta có hình vẽ biểu hình phẳng cần tính diện tích như bên dưới.

Ta thấy đồ thị của hàm số nằm phía trên đồ thị . Do đó thể tích cần tìm sẽ bằng thể tích khối tròn

xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường quanh trục Ox (gọi là ) trừ đi thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường quanh trục Ox (gọi là ).

Ta có và .

Do đó thể tích cần tìm là

.

Giải bài 4.25 trang 17 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Xét hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x},y=\frac{x^2}{8},x=0,x=4$.

a) Tính diện tích hình phẳng;

b) Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng xung quanh trục Ox.

Lời giải chi tiết

a) Ta có hình biểu diễn diện tích hình phẳng cần tìm như sau:

Ta thấy đồ thị nằm phía trên .

Diện tích cần tìm là .

b) Thể tích khi xoay các đường quanh trục Ox là

.

Thể tích khi xoay các đường quanh trục Ox là

.

Thể tích cần tìm là .

Giải bài 4.26 trang 18 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính thể tích vật thể B , biết đáy của B là hình tròn bán kính 2 và các mặt cắt vuông góc với mặt đáy là những hình vuông (H.4.6).

Lời giải chi tiết

Ta có vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x = 2,x =  - 2\) và mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) với \(x \in \left[ { - 2;2} \right]\) cắt vật thể theo thiết diện là hình vuông có độ dài cạnh là \(AB = 2 \cdot \sqrt {{2^2} - {x^2}}  = 2\sqrt {4 - {x^2}} \).

Khi đó diện tích mặt cắt là \({\left( {2\sqrt {4 - {x^2}} } \right)^2} = 4\left( {4 - {x^2}} \right)\).

Suy ra thể tích vật thể là \(V = \int\limits_{ - 2}^2 {4\left( {4 - {x^2}} \right)dx}  = \left. {\left( {16x - \frac{{4{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - 2}^2 = 32 - \frac{{32}}{3} + 32 - \frac{{32}}{3} = \frac{{128}}{3}\).

Giải bài 4.27 trang 18 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Hàm cầu và hàm cung của một sản phẩm được mô hình hóa bởi:

Hàm cầu: \(p =  - 0,2x + 8\) và hàm cung: \(p = 0,1x + 2\), trong đó \(x\) là số đơn vị sản phẩm, \(p\) là giá của mỗi đơn vị sản phẩm (tính bằng triệu đồng). Tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất đối với sản phẩm này.

Lời giải chi tiết

Xét phương trình \( - 0,2x + 8 = 0,1x + 2 \Leftrightarrow x = 20\). Khi đó \(p = 0,1 \cdot 20 + 2 = 4\).

Thặng dư tiêu dùng là \(\int\limits_0^{20} {\left( { - 0,2x + 8 - 4} \right)dx}  = \left. {\left( { - 0,1{x^2} + 4x} \right)} \right|_0^{20} =  - 0,1 \cdot {20^2} + 4 \cdot 20 = 40\) (triệu đồng).

Thặng dư sản xuất là \(\int\limits_0^{20} {\left( {4 - 0,1x - 2} \right)dx}  = \left. {\left( {2x - 0,05{x^2}} \right)} \right|_0^{20} = 20\) (triệu đồng).

Giải bài 4.28 trang 18 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Chi phí nhiên liệu dự kiến C (tính bằng triệu đô la mỗi năm) khi sử dụng một loại xe tải của một công ty vận tải từ năm 2020 đến năm 2030 là $C_1=5,6+2,2t,0\le t\le 10$, trong đó tương ứng với năm 2020. Nếu công ty sử dụng một loại xe tải khác có động cơ hiệu quả hơn thì chi phí nhiên liệu dự kiến sẽ giảm và tuân theo mô hình . Công ty có thể tiết kiệm được bao nhiêu khi sử dụng xe tải với động cơ hiệu quả hơn?

Lời giải chi tiết

Chi phí nhiên liệu dự kiến khi sử dụng loại xe thứ nhất trong 10 năm là

(triệu đô la).

Chi phí nhiên liệu dự kiến khi sử dụng một loại xe tải khác trong 10 năm là

(triệu đô la).

Suy ra khi sử dụng loại xe tải mới, công ty tiết kiệm được là

(triệu đô la)

Giải bài 4.29 trang 18 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Doanh thu từ một quy trình sản xuất (tính bằng triệu đô la mỗi năm) được dự kiến sẽ tuân theo mô hình trong 10 năm. Trong cùng khoảng thời gian đó, chi phí (tính bằng triệu đô la mỗi năm) được dự kiến sẽ tuân theo mô hình , trong đó t là thời gian (tính bằng năm).

Ước tính lợi nhuận trong khoảng thời gian 10 năm.

Lời giải chi tiết

Doanh thu dự kiến trong 10 năm là

(triệu đô la).

Chi phí dự kiến trong 10 năm là

(triệu đô la).

Lợi nhuận ước tính trong 10 năm là

(triệu đô la).

Giải bài 4.30 trang 18 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một trận dịch lây lan đến mức sau khi bùng phát t tuần số người nhiễm bệnh là

$N_1\left(t\right)=0,1t^2+0,5t+150,0\le t\le 50$.

Hai mươi lăm tuần sau khi dịch bệnh bùng phát, một loại vắc xin đã được phát triển và tiêm cho công chúng. Khi đó, số người nhiễm bệnh được điều chỉnh theo mô hình

$N_2\left(t\right)=-0,2t^2+6t+200,25\le t\le 50$.

a) Tìm thời điểm t để sau khi tiêm vắc xin thì dịch bệnh kết thúc, tức là số người nhiễm bệnh là $N_2\left(t\right)=0$.

b) Ước tính gần đúng số người mà vắc xin đã ngăn ngừa khỏi dịch bệnh trong thời gian xảy ra dịch bệnh.

Lời giải chi tiết

a) Xét phương trình $N_2\left(t\right)=0\iff -0,2t^2+6t+200=0\iff t=50$ (thỏa mãn) hoặc $t=-20$ (không thỏa mãn). Do đó sau 50 tuần thì dịch bệnh kết thúc.

b) Như vậy khi có vắc xin tiêm cho công chúng từ tuần thứ 25 tới tuần thứ 50 thì kết thúc dịch (theo mô hình chỉ ra).

Số người mà vắc xin đã ngăn ngừa khỏi dịch bệnh trong thời gian xảy ra dịch bệnh là:

$\underset{25}{\overset{50}{\int }}\left(N_1-N_2\right)dt$

$=\underset{25}{\overset{50}{\int }}\left(0,3t^2-5,5t-50\right)dt$

$={\left(0,1t^3-5,5\cdot \frac{t^2}{2}-50t\right)|}_{25}^{50}\approx 4531$.