Bài 14. Các số đặc trưng đo độ phân tán

Giải bài 5.13 trang 80 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hai biểu đồ chấm điểm biểu diễn hai mẫu số liệu A, B như sau:

Trong đó, mỗi chấm biểu diễn một giá trị trong mẫu số liệu.

Không tính, hãy cho biết:

a) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu nào lớn hơn.

b) Khoảng biến thiên của hai mẫu số liệu có như nhau không.

Lời giải chi tiết

a) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu A lớn hơn mẫu số liệu B.

b) Ta có: giá trị nhỏ nhất của mẫu A là 1, giá trị nhỏ nhất của mẫu B là 2 và giá trị lớn nhất của cả hai mẫu đều là 5.

Khoảng biến thiên của hai mẫu số liệu không như nhau.

Giải bài 5.14 trang 80 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hai dãy số liệu sau

A:	4	5	7	9	10
B:	9	10	12	14	15

Không tính, hãy cho biết:

a) Khoảng biến thiên của hai dãy có như nhau không.

b) Độ lệch chuẩn của hai dãy có như nhau không.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: giá trị nhỏ nhất của mẫu A là 4 và giá trị lớn nhất của mẫu A là 10; giá trị nhỏ nhất của mẫu B là 9 và giá trị lớn nhất của mẫu B là 15

Khoảng biến thiên của hai dãy số liệu trên như nhau.

b) Độ lệch chuẩn của hai dãy số liệu trên như nhau vì dãy B là được cộng với dãy A với 5.

Giải bài 5.15 trang 80 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Điểm số của hai vận động viên bắn cung trong 10 lần bắn thử để chuẩn bị cho Olympic Tokyo 2020 được ghi lại như sau:

a) Tính khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn của mỗi dãy số liệu trên.

b) Vận động viên nào có thành tích bắn thử ổn định hơn?

Lời giải chi tiết

a) Khoảng biến thiên của vận động viên A là: \(10 - 8 = 2\).

Số trung bình của vận động viên A là:

\(\overline {{x_A}}  = \frac{{10.3 + 9.5 + 8.2}}{{10}} = \frac{{91}}{{10}} = 9,1\)

Độ lệch chuẩn của vận động viên A là:

\(\begin{array}{l}{s_A}^2 = \frac{{3{{\left( {10 - 9,1} \right)}^2} + 5{{\left( {9 - 9,1} \right)}^2} + 2{{\left( {8 - 9,1} \right)}^2}}}{{10}} = \frac{{4,9}}{{10}} = 0,49\\ \Rightarrow \,\,{s_A} = \sqrt {{s_A}^2}  = \sqrt {0,49}  = 0,7\end{array}\)

Khoảng biến thiên của vận động viên B là: \(10 - 5 = 5\).

Số trung bình của vận động viên B là:

\(\overline {{x_B}}  = \frac{{10.7 + 5 + 7 + 9}}{{10}} = \frac{{91}}{{10}} = 9,1\)

Độ lệch chuẩn của vận động viên B là:

\(\begin{array}{l}{s_B}^2 = \frac{{7{{\left( {10 - 9,1} \right)}^2} + {{\left( {5 - 9,1} \right)}^2} + {{\left( {7 - 9,1} \right)}^2} + {{\left( {9 - 9,1} \right)}^2}}}{{10}} = \frac{{269}}{{100}} = 2,69\\ \Rightarrow \,\,{s_B} = \sqrt {{s_B}^2}  = \sqrt {2,69}  \approx 1,64\end{array}\)

b) Vì khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn về thành tích thì vận động viên A nhỏ hơn vận động viên B nên dựa vào tiêu chí này ta có thể kết luận là vận động viên A có thành tích ổn định hơn.

Giải bài 5.16 trang 81 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong các dãy số liệu sau, dãy nào có độ lệch chuẩn lớn nhất?
(a) 98  99  100  101  102
(b) 2  4  6  8  10
(c) 2  10

Lời giải chi tiết

Số trung bình của dãy (a) là: \(\overline {{x_a}}  = 100\)

Độ lệch chuẩn của dãy (a) là: \({s_a}^2 = 2\,\, \Rightarrow \,\,{s_a} = \sqrt 2 \)

Số trung bình của dãy (b) là: \(\overline {{x_b}}  = 6\)

Độ lệch chuẩn của dãy (b) là: \({s_b}^2 = 8\,\, \Rightarrow \,\,{s_b} = \sqrt 8  = 2\sqrt 2 \)

Số trung bình của dãy (c) là: \(\overline {{x_c}}  = 6\)

Độ lệch chuẩn của dãy (c) là: \({s_c}^2 = 16\,\, \Rightarrow \,\,{s_c} = \sqrt {16}  = 4\)

\( \Rightarrow \) Độ lệch chuẩn lớn nhất là dãy (c)

Giải bài 5.17 trang 81 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Mẫu số liệu sau là chiều cao (đơn vị: cm) của các bạn trong tổ của Lan:

165  168  157  162  165  165  179  148  170  167

a) Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

b) Khoảng tứ phân vị có bị ảnh hưởng bởi chiều cao của bạn cao nhất, bạn thấp nhất không?

Lời giải chi tiết

a)      Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự tăng dần:

148  157  162  165  165  165  167  168   170   179

Ta có \(n = 10\) nên trung vị là trung bình cộng của hai số chính giữa:

\({Q_2} = \frac{{165 + 165}}{2} = 165\)

Trung vị nửa dữ liệu bên trái \({Q_2}\) là:

148  157  162  165   165

Gồm 5 số do đó trung vị là số chính giữa nên \({Q_1} = 162\)

Trung vị nửa dữ liệu bên phải \({Q_2}\) là:

165   167   168   170   179

Gồm 5 số do đó trung vị là số chính giữa nên \({Q_3} = 168\)

Khoảng tứ phân vị là: \({\Delta _Q} = 168 - 162 = 6\)

b)     Khoảng tứ phân vị đo độ phân tác của 50% dữ liệu ở giữa nên không bị ảnh hưởng bởi giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất.

Giải bài 5.18 trang 81 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Bình dùng đồng hồ đo thời gian để một vật rơi tự do (đơn vị: giây) từ vị trí A đến vị trí B trong 10 lần kết quả như sau:

0,398

0,399

0,408

0,410

0,406

0,405

0,402

0,401

0,290

0,402

Bình nghĩ là giá trị 0,290 ở lần đo thứ 9 không chính xác. Hãy kiểm tra nghi ngờ của Bình.

Lời giải chi tiết

Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

0,290

0,398

0,399

0,401

0,402

0,402

0,405

0,406

0,408

0,410.

• Vì n = 10 là số chẵn nên trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa (số liệu thứ 5 và thứ 6) của mẫu số liệu đã sắp xếp.

Do đó Q₂ =  = 0,402.

• Nửa dữ liệu bên trái Q₂ là: 0,290; 0,398; 0,399; 0,401; 0,402.

Dãy này gồm 5 số liệu, n = 5 là số lẻ nên trung vị là giá trị chính giữa (số liệu thứ 3 của nửa dữ liệu bên trái Q₂) nên Q₁ = 0,399.

• Nửa dữ liệu bên phải Q₂ là: 0,402; 0,405; 0,406; 0,408; 0,410.

Dãy này gồm 5 số liệu, n = 5 là số lẻ nên trung vị là giá trị chính giữa (số liệu thứ 3 của nửa dữ liệu bên phải Q₂) nên Q₃ = 0,406.

Khi đó khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đã cho là:

∆_Q = Q₃ – Q₁ = 0,406 – 0,399 = 0,007.

Ta có: Q₁ – 1,5.Δ_Q = 0,399 – 1,5.0,007 = 0,3885.

Vì 0,290 < 0,3885 nên đây là giá trị bất thường.

Vậy giá trị 0,290 ở lần đo thứ 9 không chính xác.