Bài 14. Cung và dây của một đường tròn
Giải bài 5.6 trang 59 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1
Đề bài
Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm A, E, H, D cùng thuộc một đường tròn.
b) .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Gọi I là trung điểm của AB.
+ Chứng minh nên bốn điểm A, E, H, D cùng thuộc đường tròn tâm I đường kính AH.
b) Vì góc EAD là góc nhọn nên dây DE là dây không đi qua tâm của đường tròn tâm I đường kính AH nên .
Lời giải chi tiết
a) Gọi I là trung điểm của AH.
Vì BD và CE là hai đường cao của tam giác ABC nên tại D, tại E.
Do đó, tam giác AEH vuông tại E và tam giác ADH vuông tại D.
Tam giác AEH vuông tại E, có EI là đường trung tuyến nên
Tam giác ADH vuông tại D, có DI là đường trung tuyến nên
Từ (1) và (2) ta có: . Do đó, bốn điểm A, E, H, D cùng thuộc đường tròn tâm I đường kính AH.
b) Vì góc EAD là góc nhọn nên dây DE là dây không đi qua tâm của đường tròn đường kính AH nên .
Giải bài 5.7 trang 59 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1
Đề bài
Cho tam giác cân ABC (AB=AC). Gọi (O) là đường tròn đi qua ba điểm A, B, C và E là điểm trên cung nhỏ BC sao cho $\overset\frown{BE}=\overset\frown{EC}$.
a) Chứng minh rằng ba điểm A, O, E thẳng hàng.
b) Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC. Chứng minh rằng \(AH < AB < AE\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Chứng minh \(\Delta OAB = \Delta OAC\left( {c.c.c} \right)\). Suy ra \(\widehat {AOB} = \widehat {AOC}\), suy ra $\overset\frown{AB}=\overset\frown{AC}$
+ Mà $\overset\frown{BE}=\overset\frown{EC}$. Suy ra: sđ$\overset\frown{ABE}=sđ\overset\frown{ACE}$.
+ Vì $sđ\overset\frown{ABE}+sđ\overset\frown{ACE}={{360}^{o}}$
nên sđ$\overset\frown{ABE}=sđ\overset\frown{ACE}=\frac{{{360}^{o}}}{2}={{180}^{o}}$, suy ra ba điểm A, O, E thẳng hàng.
b) + Vì EA đi qua O nên AE là đường kính của (O), AB là dây không đi qua O nên \(AB < AE\).
+ Tam giác ABH vuông tại H nên AB là cạnh huyền. Do đó, \(AH < AB\).
+ Vậy \(AH < AB < AE\).
Lời giải chi tiết
a) Tam giác OAB và tam giác OAC có: OA chung, \(AB = AC,OB = OC\) nên \(\Delta OAB = \Delta OAC\left( {c.c.c} \right)\).
Suy ra \(\widehat {AOB} = \widehat {AOC}\).
Mà AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB, AOC là góc ở tâm chắn cung nhỏ AC. Do đó, $\overset\frown{AB}=\overset\frown{AC}$
Theo giả thiết, $\overset\frown{BE}=\overset\frown{EC}$.
Do đó, sđ$\overset\frown{AB}+sđ\overset\frown{BE}=sđ\overset\frown{EC}+sđ\overset\frown{AC}$
Suy ra: sđ$\overset\frown{ABE}=sđ\overset\frown{ACE}$.
Mà $sđ\overset\frown{ABE}+sđ\overset\frown{ACE}={{360}^{o}}$
nên sđ$\overset\frown{ABE}=sđ\overset\frown{ACE}=\frac{{{360}^{o}}}{2}={{180}^{o}}$
Do đó, cung ABE là nửa đường tròn. Vậy ba điểm A, O, E thẳng hàng.
b) Vì EA đi qua O nên AE là đường kính của (O), AB là dây không đi qua O nên \(AB < AE\).
Tam giác ABH vuông tại H nên AB là cạnh huyền. Do đó, \(AH < AB\).
Vậy \(AH < AB < AE\).
Giải bài 5.8 trang 59 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1
Đề bài
Gọi H là trung điểm của dây AB không đi qua tâm của đường tròn (O).
a) Chứng minh rằng \(OH \bot AB\).
b) Tính khoảng cách từ O đến AB, biết rằng \(AB = 8cm\) và bán kính của (O) bằng 5cm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh tam giác OAB cân tại O, suy ra OH là đường cao của tam giác ABO nên \(OH \bot AB\).
b) + Chỉ ra khoảng cách từ O đến AB là OH.
+ Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BOH vuông tại H tính được OH.
Lời giải chi tiết
a) Tam giác ABO có: \(OA = OB\) (bán kính đường tròn (O)) nên tam giác ABO cân tại O. Do đó, OH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác ABO. Suy ra \(OH \bot AB\).
b) Vì \(OH \bot AB\) tại H nên khoảng cách từ O đến AB là OH.
Ta có: \(HB = \frac{{AB}}{2} = 4cm\)
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BOH vuông tại H ta có: \(O{H^2} + H{B^2} = O{B^2}\)
\(OH = \sqrt {O{B^2} - H{B^2}} = \sqrt {{5^2} - {4^2}} = 3\left( {cm} \right)\)
Vậy khoảng cách từ O đến AB bằng 3cm.
Giải bài 5.9 trang 59 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1
Đề bài
Kim giờ và kim phút của một chiếc đồng hồ tạo thành góc ở tâm có số đo là bao nhiêu độ vào mỗi thời điểm sau:
a) 3 giờ?
b) 6 giờ?
c) 8 giờ?
d) 11 giờ?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Cứ mỗi giờ, kim phút di chuyển được 1 vòng, kim giờ di chuyển được \(\frac{1}{{12}}\) vòng, ứng với cung 30 độ.
+ Từ đó tính được góc tạo bởi kim phút và kim giờ trong mỗi thời điểm 3 giờ, 6 giờ, 8 giờ, 11 giờ.
Lời giải chi tiết
Cứ mỗi giờ, kim phút di chuyển được 1 vòng, kim giờ di chuyển được \(\frac{1}{{12}}\) vòng, ứng với cung 30 độ.
Suy ra:
a) Vào lúc 3 giờ, kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành góc ở tâm có số đo: \({3.30^o} = {90^o}\)
b) Vào lúc 6 giờ, kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành góc ở tâm có số đo: \({6.30^o} = {180^o}\)
c) Vào lúc 8 giờ, kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành góc ở tâm có số đo: \({4.30^o} = {120^o}\)
d) Vào lúc 11 giờ, kim giờ và kim phút của đồng hồ tạo thành góc ở tâm có số đo: \({1.30^o} = {30^o}\)
Giải bài 5.10 trang 59 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1
Đề bài
Cho ba điểm A, B và C nằm trên đường tròn (O) sao cho \(\widehat {AOB} = {110^o}\) và \(sđ\overset\frown{AC}={{50}^{o}}\). Tính số đo của cung lớn BC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Ta có: sđ$\overset\frown{AB}$nhỏ \( = \widehat {AOB} = {110^o}\).
+ sđ$\overset\frown{AB}$nhỏ $ + sđ\overset\frown{AC}={{110}^{o}}+{{50}^{o}}={{160}^{o}}$ nên số đo cung BC nhỏ bằng 160 độ.
+ Số đo cung lớn BC bằng hiệu giữa 360 độ và số đo cung nhỏ BC.
Lời giải chi tiết
Ta có: sđ$\overset\frown{AB}$nhỏ \( = \widehat {AOB} = {110^o}\).
Vì sđ$\overset\frown{AB}$nhỏ $ + sđ\overset\frown{AC}={{110}^{o}}+{{50}^{o}}={{160}^{o}}$ nên số đo cung nhỏ BC bằng 160 độ.
Suy ra, số đo cung lớn BC là: \({360^o} - {160^o} = {200^o}\).
Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP9
Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!