Bài 14. Hình thoi và hình vuông

Giải bài 3.23 trang 42 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Chứng minh hình bình hành có hai đường cao xuất phát từ một đỉnh bằng nhau là một hình thoi.

Lời giải chi tiết

Xét hình bình hành ABCD có đường cao AH (H thuộc đường thẳng CD), và đường cao AK (K thuộc đường thẳng BC) thỏa mãn \(AH = AK\)

Tam giác ACH và tam giác ACK có:

\(\widehat {AHC} = \widehat {AKC} = {90^0}\), \(AH = AK\), cạnh AC chung

Do đó, \(\Delta ACH = \Delta ACK\) (ch – cgv)

Suy ra: \(\widehat {ACK} = \widehat {ACH}\) nên CA là tia phân giác góc BCD.

Hình bình hành ABCD có CA là tia phân giác góc BCD nên ABCD là hình thoi.

Giải bài 3.24 trang 42 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ABCD. Với mỗi tam giác OAB, OBC, OCD, ODA, xét giao điểm ba đường phân giác của tam giác đó. Tại sao bốn điểm vừa vẽ là bốn đỉnh của một hình thoi?

Lời giải chi tiết

Gọi P, Q lần lượt là giao điểm ba đường phân giác của tam giác OAB, OCD thì O, P, Q cùng nằm trên đường phân giác của góc AOB.

Do ABCD là hình bình hành nên

+

+ AB//CD, AD//BC

Suy ra: (so le trong)

Mà DQ, BP lần lượt là tia phân giác của góc ODC và góc OBA nên

Tam giác OBP và tam giác ODQ có:

, , (đối đỉnh)

Do đó,

Suy ra hay O là trung điểm của PQ.

Gọi R, S lần lượt là giao điểm ba đường phân giác của tam giác OAD, OBC.

Chứng minh tương tự, ta có O là trung điểm của RS, đường thẳng RS là đường phân giác của góc AOD.

Ta có:

Nên hay tại O.

Tứ giác PSQR có: O là trung điểm của PQ, O là trung điểm của RS nên PSQR là hình bình hành.

Mà tại O. Do đó, PSQR là hình thoi.

Giải bài 3.25 trang 42 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình vuông ABCD. Với điểm M nằm giữa C và D, kẻ tia phân giác của góc DAM; nó cắt CD ở N. Đường thẳng qua N vuông góc với AM cắt BC ở P. Tính số đo của góc NAP.

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình vuông nên và

Gọi Q là giao điểm của NP và AM.

Vì tại Q nên

Tam giác AND và tam giác ANQ có:

, AN chung, (do AN là tia phân giác của góc DAM)

Do đó, nên

Mà (cmt) nên

Tam giác AQP và tam giác ABP có:

, AP chung, (cmt)

Do đó, , suy ra:

Ta có:

Nên , tức là

Giải bài 3.26 trang 42 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình vuông ABCD với tâm O và có cạnh bằng 2cm. Hai tia Ox, Oy tạo thành góc vuông. Tính diện tích của phần hình vuông nằm bên trong góc xOy.

Lời giải chi tiết

Tia Ox phải cắt một cạnh của hình vuông ABCD. Giả sử Ox cắt cạnh AB tại M.

+ Khi M trùng A hay B thì tia Oy phải đi qua một đỉnh của hình vuông và dễ thấy phần hình vuông nằm trong góc xOy là một phần tư của hình vuông.

+ Khi M nằm giữa A và B thì tia Oy phải cắt cạnh BC hoặc cạnh AD; giả sử tia Oy cắt BC tại N thì N nằm giữa B và C.

Do ABCD là hình vuông nên AC và BD là các đường phân giác của các góc của hình vuông, tại O,

Ta có:

Mà   nên

Tam giác OAM và tam giác OBN có:

(cmt), (cmt), (cmt)

Do đó, nên hai tam giác này có cùng diện tích.

Ta có: Diện tích của phần hình vuông nằm trong góc xOy là diện tích tứ giác OMBN.

Mà nên

Do đó, diện tích phần hình vuông nằm trong góc xOy bằng diện tích hình vuông ABCD.

Tương tự khi N nằm giữa A và D thì diện tích của phần hình vuông nằm trong góc xOy bằng diện tích hình vuông ABCD.

Vậy diện tích cần tìm là:

Giải bài 3.27 trang 42 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Xét tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy trên cạnh BC hai điểm D, E sao cho . Lấy các điểm F, G lần lượt thuộc cạnh AC, AB sao cho FE, GD vuông góc với BC. Chứng minh tứ giác DEFG là một hình vuông.

Lời giải chi tiết

Vì ABC vuông cân tại A nên ,

Vì nên

Vì nên

Tam giác BDG có: nên tam giác GBD vuông cân tại D, do đó, và  

Mà nên

Tam giác GBD và tam giác FCE có:

Do đó, , suy ra

Mà (cmt) nên , suy ra

Tam giác GAF vuông tại A có nên tam giác GAF vuông cân tại A. Do đó,

Ta có:

, suy ra

Tứ giác GDEF có:

Nên

Tứ giác DEFG có: nên DEFG là hình chữ nhật, mà nên DEFG là hình vuông.