Bài 14. Phương trình mặt phẳng

Giải bài 5.1 trang 24 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm , , . Viết phương trình mặt phẳng .

Lời giải chi tiết

Ta có , suy ra .

Mặt khác là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng do đó là

vectơ pháp tuyến của .

Phương trình mặt phẳng là .

Giải bài 5.2 trang 24 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm , , . Viết phương trình mặt phẳng .

Lời giải chi tiết

Phương trình mặt phẳng là .

Giải bài 5.3 trang 24 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng và điểm .

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng .

b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với .

Lời giải chi tiết

a) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng là .

b) Ta có song song với nên có cùng vectơ pháp tuyến với .

Suy ra vectơ pháp tuyến của là .

Phương trình mặt phẳng của là .

Giải bài 5.4 trang 24 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm , và mặt phẳng .

a) Viết phương trình mặt phẳng chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng .

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A, B và song song với trục .

Lời giải chi tiết

a) Ta có , vectơ pháp tuyến của là .

Do chứa A, B và nên là một vectơ pháp tuyến của .

Ta có .

Phương trình mặt phẳng của là .

b) Do chứa A, B và nên là một vectơ pháp tuyến của (do là một vectơ chỉ phương của ).

Ta có .

Phương trình mặt phẳng của là .

Giải bài 5.5 trang 24 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho điểm .

a) Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm H và trục Oy.

b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm H và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (với A, B, C đều không trùng với gốc tọa độ O) sao cho H là trực tâm tam giác ABC.

Lời giải chi tiết

a) Ta lấy suy ra .

Ta có .

Do chứa O, H và Oy suy ra nhận làm vectơ pháp tuyến, vì là vectơ chỉ phương của Oy. Ta có .

Phương trình mặt phẳng của là .

b) Giả sử lần lượt là hình chiếu của trên cạnh và .

Ta có .

Do nên . Khi đó có là hình chiếu của trên ,

mà suy ra (định lý ba đường vuông góc).

Vì vậy . Mặt khác nên .

Chứng minh tương tự ta có là hình chiếu của trên suy ra .

Từ và suy ra hay H là hình chiếu của O trên (ABC).

có vectơ pháp tuyến là .

Phương trình mặt phẳng là .

Giải bài 5.6 trang 25 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, một máy phát sóng đặt tại vị trí $A\left(1;2;1\right)$ và có bán kính phủ sóng là 2. Hỏi vùng phủ sóng trên mặt phẳng (Oxy) có bán kính bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Vùng phủ sóng của máy được biểu diễn bằng mặt cầu $\left(C\right)$ tâm $A\left(1;2;1\right)$, bán kính 2.

Ta có phương trình của mặt cầu là $\left(C\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=4$.

Vùng phủ sóng trên (Oxy) là giao của mặt cầu $\left(C\right)$ và mặt phẳng (Oxy).

Mặt khác $\left(Oxy\right)$ có phương trình $z=0$, suy ra vùng phủ sóng thỏa mãn phương trình:

$\{\begin{array}{c}{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=4\\ z=0\end{array}\iff {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=3$.

Suy ra vùng phủ sóng trên (Oxy) là hình tròn có bán kính bằng $\sqrt{3}$.

Giải bài 5.7 trang 25 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, sàn của một căn phòng thuộc mặt phẳng và trần của căn phòng đó thuộc mặt phẳng . Hỏi chiều cao của căn phòng có đủ để kê một chiếc tủ có chiều cao bằng 1 hay không?

Lời giải chi tiết

Xét hai mặt phẳng và có các vectơ pháp tuyến và .

Suy ra và chiều cao căn phòng là khoảng cách giữa hai mặt phẳng và .

Lấy . Chiều cao căn phòng là .

Vì nên chiều cao của căn phòng không đủ để kê tủ có chiều cao bằng 1.