Bài 15. Giới hạn của dãy số

Giải bài 5.1 trang 77 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tính các giới hạn sau:

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho lũy thừa cao nhất của n, rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn.

Lời giải chi tiết

Giải bài 5.2 trang 78 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tính các giới hạn sau:

a) $lim n \to + \infty (\sqrt{n^{2} + 2 n} - n - 2);$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Nếu và (hoặc ) thì

+ Nếu và và với mọi n thì

+ Nếu và thì

Lời giải chi tiết

Giải bài 5.3 trang 78 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho với a, b là các số thực thỏa mãn . Tìm

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho lũy thừa cao nhất của n, rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn.

Lời giải chi tiết

Ta có:

Do đó,

Giải bài 5.4 trang 78 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm $lim n \to + \infty \frac{1 + 3 + 5 + . . . + (2 n - 1)}{n^{2} + 2 n}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho lũy thừa cao nhất của n, rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn.

Lời giải chi tiết

Giải bài 5.5 trang 78 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tính tổng $S = - 1 + \frac{1}{5} - \frac{1}{5^{2}} + . . . + {(- 1)}^{n} \frac{1}{5^{n - 1}} + . . .$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu tiên là , công bội q thì tổng của cấp số nhân đó là:

Lời giải chi tiết

Ta thấy S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với và

Do đó,

Giải bài 5.6 trang 78 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:

a) 1,(03)

b) 3,(23)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho cấp số nhân lùi vô hạn $(u_{n})$ với số hạng đầu tiên là $u_{1}$ , công bội q thì tổng của cấp số nhân đó là:

Lời giải chi tiết

Giải bài 5.7 trang 78 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho dãy số với Tìm .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta nói dãy số có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu hay khi .

Lời giải chi tiết

Ta có: . Do nên

Giải bài 5.8 trang 78 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác có diện tích là 3 (đơn vị diện tích). Dựng tam giác bằng cách nối các trung điểm của các cạnh Tiếp tục quá trình này, ta có các tam giác Kí hiệu là diện tích của tam giác .

a) Tính .

b) Tính tổng

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu tiên là , công bội q thì tổng của cấp số nhân đó là:

Lời giải chi tiết

a, Theo cách xác định tam giác , ta có:

Tương tự như vậy, ta có:

Do đó,

b, Suy ra:

Giải bài 5.9 trang 78 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{1} = 2, u_{n + 1} = u_{n} + \frac{2}{3^{n}}, n \geq 1$ . Đặt $v_{n} = u_{n + 1} - u_{n} .$

a) Tính $v_{1} + v_{2} + . . . + v_{n}$ theo n.

b) Tính $u_{n}$ theo n.

c) Tìm $lim n \to + \infty u_{n}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho số lớn nhất, rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn.

Lời giải chi tiết

Ta có: $v_{n} = \frac{2}{3^{n}} .$ Do đó, $v_{1} + v_{2} + . . . + v_{n} = 2 (\frac{1 - \frac{1}{3^{n + 1}}}{1 - \frac{1}{3}}) = 3. (1 - \frac{1}{3^{n + 1}})$

Mặt khác:

$v_{1} + v_{2} + . . . + v_{n} = (u_{2} - u_{1}) + (u_{3} - u_{2}) + . . . + (u_{n + 1} - u_{n}) = u_{n + 1} - u_{1} = u_{n + 1} - 2$

Vậy

Giải bài 5.10 trang 78 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho dãy số $(u_{n})$ có tính chất $∣ ∣ u_{n} - \frac{n}{n + 1} ∣ ∣ \leq \frac{1}{n^{2}}$ . Tính $lim n \to + \infty u_{n}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta nói dãy số $(u_{n})$ có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu $| u_{n} |$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $lim n \to + \infty u_{n} = 0$ hay $u_{n} \to + \infty$ khi $n \to + \infty$ .

Lời giải chi tiết

$lim n \to + \infty u_{n} = lim n \to + \infty (u_{n} - \frac{n}{n + 1}) = lim n \to + \infty (u_{n} - 1) = 0$

Do đó,

Thử sức kiểm tra kiến thức

Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP11

Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.

✓ Chấm điểm ngay✓ Lời giải chi tiết✓ 100% Miễn phí

Luyện trắc nghiệm ngay

Ứng dụng di động

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub

Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!

✓ Chấm điểm tức thì✓ Tích điểm & thăng hạng✓ Luyện tập mọi lúc mọi nơi