Bài 15 trang 58

Một hình vuông ({C_1}) có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh hình vuông thàng bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp

Đề bài

Một hình vuông $C_{1}$ có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $C_{2}$ (Hình 4). Từ hình vuông $C_{2}$ lại làm tiếp tục như trên để có hình vuông $C_{3}$ . Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta nhận được dãy các hình vuông $C_{1}, C_{2}, C_{3}, . ., C_{n}, . . .$ . Gọi $a_{n}$ là độ dài cạnh hình vuông $C_{n}$ . Chứng minh rằng dãy số $(a_{n})$ là cấp số nhân.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào hình vẽ, tìm độ dài các cạnh hình vuông, sau đó tìm mối quan hệ giữa các cạnh với nhau.

Lời giải chi tiết

Ta có độ dài cạnh các hình vuông $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}, . . .$ là $a_{1} = 4; a_{2} = \sqrt{10}; a_{3} = \frac{5}{2}; a_{4} = \frac{5 \sqrt{10}}{8}; . . .$

Độ dài cạnh của hình vuông thứ n là: $a_{n} = \frac{\sqrt{10}}{4} a_{n - 1}$ .

Vậy $\frac{a_{n}}{a_{n - 1}} = \frac{\sqrt{10}}{4} = q$ .

Vậy (a_n) là một cấp số nhân với số hạng đầu $a_{1} = 4$ và công bội $q = \frac{\sqrt{10}}{4}$ .