Bài 16. Công thức tích góc trong không gian

Giải bài 5.15 trang 31 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng:

và

Lời giải chi tiết

Vectơ chỉ phương của đường thẳng là , vectơ chỉ phương của đường thẳng là .

Ta có . Suy ra .

Giải bài 5.16 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng:

$\Delta :\frac{x+3}{-2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{2}$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+2y-2z+3=0$

Lời giải chi tiết

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{u}=\left(-2;1;2\right)$, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)

là $\overrightarrow{u^{\prime }}=\left(1;2;-2\right)$.

Ta có $\sin \left(\Delta ,\left(P\right)\right)=\frac{\left|\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u^{\prime }}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot \left|\overrightarrow{u^{\prime }}\right|}=\frac{\left|-2+2-4\right|}{\sqrt{9}\cdot \sqrt{9}}=\frac{4}{9}$. Suy ra $\left(\Delta ,\left(P\right)\right)\approx 26,4^{\circ }$.

Giải bài 5.17 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng:

và

Lời giải chi tiết

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là .

Ta có .

Suy ra .

Giải bài 5.18 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

a) Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (Oxy).

b) Tính góc giữa đường thẳng và trục Oy.

Lời giải chi tiết

a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng là . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy) là .

Ta có . Suy ra .

b) Vectơ chỉ phương của Oy là .

Ta có . Suy ra .

Giải bài 5.19 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, đường băng của một sân bay thuộc trục Oy. Một máy bay sau khi chạy đà trên đường băng đó đã cất cánh tại điểm với vận tốc không đổi trong khoảng thời gian ngắn ban đầu, vectơ vận tốc . Hỏi trong khoảng thời gian ngắn nói trên, máy bay chuyển động trên đường thẳng nào và góc cất cánh của máy bay bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Trong khoảng thời gian ngắn đó, máy bay chuyển động trên đường thẳng d đi qua A, nhận là vectơ chỉ phương. Suy ra d: .

Góc cất cánh của máy bay là góc tạo bởi d và Oy.

Ta có .

Giải bài 5.20 trang 32 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, hai con đường tại một nút giao thông tương ứng thuộc hai đường thẳng:

${\Delta }_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{1}$ và ${\Delta }_2:\frac{x+1}{3}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{4}$.

a) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?

b) Tại nút giao thông nói trên, hai con đường tạo với nhau một góc bằng bao nhiêu độ?

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng ${\Delta }_1$ đi qua điểm $A\left(1;-1;0\right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=\left(1;2;1\right)$.

Đường thẳng ${\Delta }_2$ đi qua điểm $B\left(-1;2;-1\right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=\left(3;1;4\right)$.

Ta có $\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]=\left(7;-1;5\right)$ suy ra $\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]\cdot \overrightarrow{AB}=-19\ne 0$.

Do đó ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$ chéo nhau. Vậy nút giao thông đó là nút giao thông khác mức.

b) Đường thẳng ${\Delta }_1$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}=\left(2;2;1\right)$, ${\Delta }_2$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_2}=\left(3;1;4\right)$Ta có $\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\frac{\left|\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}\right|}{\left|\overrightarrow{u_1}\right|\left|\overrightarrow{u_2}\right|}=\frac{\left|3+2+4\right|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{26}}=\frac{9}{\sqrt{156}}\Rightarrow \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)\approx 43,9^{\circ }$.

Vậy hai con đường tạo với nhau một góc khoảng $43,9^{\circ }$.