Bài 16. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Giải bài 5.17 trang 65 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1
Đề bài
Cho đường tròn (O) và điểm P.
a) Giả sử \(P \in \left( O \right)\). Vẽ đường thẳng a đi qua P và vuông góc với OP. Chứng minh rằng a là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại P.
b) Giả sử P nằm ngoài (O). Vẽ đường tròn đường kính OP. Đường tròn vừa vẽ cắt (O) tại A và B. Chứng minh rằng PA và PB là hai tiếp tuyến của (O).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Vì \(P \in \left( O \right)\) và \(a \bot OP\) tại P nên a là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại P.
b) + Gọi I là trung điểm của OP. Suy ra, bốn điểm O, A, P, B thuộc đường tròn tâm I, đường kính OP.
+ Chứng minh tam giác OBP vuông tại B, suy ra \(OB \bot BP\) tại B, suy ra PB là tiếp tuyến của (O) tại B.
+ Chứng minh tam giác OAP vuông tại A, do đó \(OA \bot AP\) tại A, suy ra PA là tiếp tuyến của (O) tại A.
Lời giải chi tiết
a) Vì \(P \in \left( O \right)\) và \(a \bot OP\) tại P nên a là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại P.
b) Gọi I là trung điểm của OP. Suy ra, bốn điểm O, A, P, B thuộc đường tròn tâm I, đường kính OP.
Tam giác OBP có BI là đường trung tuyến và \(BI = IP = OI = \frac{1}{2}OP\) nên tam giác OBP vuông tại B. Do đó, \(OB \bot BP\) tại B.
Vì B thuộc (O) và \(OB \bot BP\) tại B nên PB là tiếp tuyến của (O) tại B.
Tam giác OAP có AI là đường trung tuyến và \(AI = IP = OI = \frac{1}{2}OP\) nên tam giác OAP vuông tại A. Do đó, \(OA \bot AP\) tại A.
Vì A thuộc (O) và \(OA \bot AP\) tại A nên PA là tiếp tuyến của (O) tại A.
Giải bài 5.18 trang 65 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1
Đề bài
Cho đường thẳng a, điểm M thuộc a và số dương R.
Vẽ đường thẳng b đi qua M và vuông góc với a. Trên b xác định điểm A sao cho \(AM = R\) (đvđd). Chứng minh rằng đường tròn (A; R) tiếp xúc với a tại M. Ta có thể vẽ được mấy đường tròn như thế?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Vì M thuộc đường tròn (A; R) và \(a \bot AM\) tại M nên đường tròn (A; R) tiếp xúc với a tại M.
+ Vì có hai điểm thuộc đường thẳng b và cách M một khoảng bằng R nên có hai đường tròn thỏa mãn bài toán.
Lời giải chi tiết
Vì M thuộc đường tròn (A; R) và \(a \bot AM\) tại M nên đường tròn (A; R) tiếp xúc với a tại M.
Vì có hai điểm (A và A’) thuộc đường thẳng b và cách M một khoảng bằng R nên có hai đường tròn thỏa mãn bài toán.
Giải bài 5.19 trang 65 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1
Đề bài
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài (O). Từ M kẻ tiếp tuyến MA với (O), trong đó A là tiếp điểm. Đường thẳng qua A và vuông góc với MO cắt (O) tại B (khác A).
a) Chứng minh rằng MB là tiếp tuyến của (O);
b) Tính OM và diện tích phần của tam giác AMB nằm bên ngoài (O), biết bán kính của (O) bằng 3cm và \(\widehat {MAB} = {60^o}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Gọi H là giao điểm của MO và AB. Do đó, MO vuông góc với AB tại H.
+ Chứng minh \(\Delta AOH = \Delta BOH\left( {ch - cgv} \right)\) nên \(\widehat {AOH} = \widehat {BOH}\).
+ Chứng minh \(\Delta AOM = \Delta BOM\left( {c - g - c} \right)\) nên \(\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = {90^o}\) .
+ Suy ra \(MB \bot OB\) tại B. Do đó, MB là tiếp tuyến của (O)
b) + Chứng minh tam giác MAB cân tại M và \(\widehat {MAB} = {60^o}\) nên tam giác MAB đều, suy ra \(\widehat {AMB} = {60^o}\)
+ Ta có \(\widehat {AOB} + \widehat {OBM} + \widehat {BMA} + \widehat {MAO} = {360^o}\), từ đó tính được góc AOB và số đo cung nhỏ AB.
+ Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB (\({S_q}\)).
+ Tính được \(\widehat {AMO} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = {60^o}\).
+ Tam giác MOA vuông tại A nên \(AM = AO.\tan \widehat {AMO}\).
+ Chứng minh \({S_{\Delta AMO}} = {S_{\Delta BMO}} = \frac{1}{2}OA.AM\), từ đó tính diện tích tứ giác AOBM (\({S_{AOBM}}\)).
+ Diện tích phần của tam giác AMB nằm bên ngoài (O) là: \(S = {S_{AOBM}} - {S_q}\).
Lời giải chi tiết
a) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Do đó, MO vuông góc với AB tại H.
Tam giác AOH và tam giác BOH có:
OH chung, \(OA = OB\), \(\widehat {OHA} = \widehat {BHO} = {90^o}\)
nên \(\Delta AOH = \Delta BOH\left( {ch - cgv} \right)\)
nên \(\widehat {AOH} = \widehat {BOH}\) hay \(\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\).
Tam giác AOM và tam giác BOM có:
OM chung, \(OA = OB\), \(\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\)
nên \(\Delta AOM = \Delta BOM\left( {c - g - c} \right)\)
nên \(\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = {90^o}\) .
Do đó, \(MB \bot OB\) tại B.
Do đó, MB là tiếp tuyến của (O).
b) Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của (O) nên \(MA = MB\).
Do đó, tam giác MAB cân tại M.
Mà \(\widehat {MAB} = {60^o}\) nên tam giác MAB đều.
Do đó, \(\widehat {AMB} = {60^o}\).
Tứ giác AOBM có:
\(\widehat {AOB} + \widehat {OBM} + \widehat {BMA} + \widehat {MAO} = {360^o}\)
Suy ra:
\(\widehat {AOB} = {360^o} - \left( {\widehat {OBM} + \widehat {BMA} + \widehat {MAO}} \right) \\= {360^o} - \left( {{{90}^o} + {{90}^o} + {{60}^o}} \right) = {120^o}\)
Vì AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB nên sđ$\overset\frown{AB}$nhỏ \( = {120^o}\).
Do đó, diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB là:
\({S_q} = \frac{{120}}{{360}}.\pi {.3^2} = 3\pi \left( {c{m^2}} \right)\)
Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của (O) nên OM là phân giác của góc AOB nên \(\widehat {AOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = {60^o}\).
Tam giác MOA vuông tại A nên
\(AM = AO.\tan \widehat {AOM} = 3.\tan {60^o} = 3\sqrt 3 \left( {cm} \right)\).
Vì \(\Delta AOM = \Delta BOM\left( {cmt} \right)\)
nên \({S_{\Delta AMO}} = {S_{\Delta BMO}} \) \(= \frac{1}{2}OA.AM = \frac{1}{2}.3.3\sqrt 3 \) \( = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}\left( {c{m^2}} \right)\).
Do đó diện tích tứ giác AOBM là:
\({S_{AOBM}} = 2{S_{\Delta AMO}} = 9\sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right)\).
Vậy diện tích phần của tam giác AMB nằm bên ngoài (O) là:
\(S = {S_{AOBM}} - {S_q} = 9\sqrt 3 - 3\pi \left( {c{m^2}} \right)\).
Giải bài 5.20 trang 65 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1
Đề bài
Cho AM và AN là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O), trong đó M và N là hai tiếp điểm. Gọi E là một điểm thuộc cung nhỏ MN. Tiếp tuyến của (O) tại E cắt AM tại B và cắt AN tại C. Biết , và . Tính độ dài của các đoạn thẳng AM, AN, BM và CN.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Dựa vào tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có , , .
+ , từ đó tính được AM, AN.
+ .
Lời giải chi tiết
Vì AM và AN là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên .
Vì BM và BE là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên .
Vì CE và CN là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên .
Ta có:
Suy ra nên
.
Giải bài 5.21 trang 65 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1
Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH.
a) Chứng minh rằng BC tiếp xúc với đường tròn (A) bán kính AH;
b) Gọi M và N là các điểm đối xứng với H lần lượt qua AB và AC. Chứng minh rằng BM và CN là hai tiếp tuyến của (A);
c) Chứng minh rằng MN là một đường kính của (A);
d) Tính diện tích của tứ giác BMNC, biết và .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Chỉ ra tại H, H thuộc (A, AH) nên BC tiếp xúc với đường tròn (A) bán kính AH.
b) + Chứng minh .
Do đó, .
+ Chứng minh M thuộc đường tròn (A). Suy ra, BM vuông góc với AM tại M nên BM là tiếp tuyến của (A) tại M.
+ Chứng minh .
Do đó, .
+ Chỉ ra N thuộc đường tròn (A).
+ Suy ra, CN vuông góc với AN tại N nên AN là tiếp tuyến của (A) tại N.
c) + Chứng minh , , .
+ Do đó,
+ Suy ra, ba điểm M, A, N thẳng hàng. Vậy MN là đường kính của (A).
d) + Chứng minh , .
+ Do đó,
+ Chứng minh nên , từ đó tính được AH, tính được MN.
+ Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang vuông.
+ Diện tích hình thang BMNC là: .
Lời giải chi tiết
a) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên tại H. Mà H thuộc (A, AH) nên BC tiếp xúc với đường tròn (A) bán kính AH.
b) Vì M đối xứng với H qua AB nên và , AB chung nên .
Do đó, .
Lại có nên M thuộc đường tròn (A).
Suy ra, BM vuông góc với AM tại M nên BM là tiếp tuyến của (A) tại M.
Vì N đối xứng với H qua AC nên và , AC chung nên .
Do đó, .
Lại có nên N thuộc đường tròn (A).
Suy ra, CN vuông góc với AN tại N nên AN là tiếp tuyến của (A) tại N.
c) Vì nên .
Vì nên .
Vì tại H nên .
Do đó,
Suy ra, ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Mà nên MN là đường kính của (A).
d) Vì MB và BH là hai tiếp tuyến cắt nhau tại B của (A) nên .
Vì CN và CH là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C của (A) nên .
Do đó, .
Ta có:
nên .
Mà nên
nên ,
suy ra .
Suy ra .
Do đó, .
Ta có: nên BM//NC.
Do đó, tứ giác BMNC là hình thang vuông.
Diện tích hình thang BMNC là:
.
Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP9
Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!