Bài 16. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn trang 111, 112, 113 Vở thực hành Toán 9

Giải câu hỏi trắc nghiệm trang 112, 113 vở thực hành Toán 9

Giải bài 1 trang 113 vở thực hành Toán 9

Đề bài

Bạn Thanh cắt 4 hình tròn bằng giấy có bán kính lần lượt là 4 cm, 6 cm, 7 cm và 8 cm để dán trang trí trên một mảnh giấy, trên đó có vẽ trước hai đường thẳng a và b. Biết rằng a và b là hai đường thẳng song song với nhau và cách nhau một khoảng 6 cm (nghĩa là mọi điểm trên đường thẳng b đều cách a một khoảng 6 cm). Hỏi nếu bạn Thanh dán sao cho tâm của cả 4 hình tròn đều nằm trên đường thẳng b thì hình tròn nào sẽ che khuất một phần của đường thẳng a, hình tròn nào sẽ không che khuất một phần của đường thẳng a?

Lời giải chi tiết

Giả sử bốn hình tròn bằng giấy có tâm lần lượt là A, B, C và D. Khi đó, ta có các đường tròn (A; 4cm), (B; 6cm), (C; 7cm), (D; 8cm). Tâm của các đường tròn này thuộc đường thẳng b nên đều cách a một khoảng .

+ Đường tròn (A; 4cm) có bán kính 4cm

+ Đường tròn (B; 6cm) có bán kính 6cm = d nên đường tròn (B; 6cm) tiếp xúc với đường thẳng a.

+ Đường tròn (C; 7cm) có bán kính 7cm>d nên đường tròn (C; 7cm) cắt đường thẳng a.

+ Đường tròn (D; 8cm) có bán kính 8cm>d nên đường tròn (D; 8cm) cắt đường thẳng a.

Từ đó các hình tròn bán kính 4cm, 6cm không đè lên đường thẳng a; các hình tròn bán kính 7cm, 8cm đè lên đường thẳng a.

Giải bài 2 trang 113 vở thực hành Toán 9

Đề bài

Cho đường tròn (O) đi qua ba đỉnh A, B và C của một tam giác cân tại A. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua A và song song với BC là một tiếp tuyến của (O).

Lời giải chi tiết

(H.5.29)

Gọi d là đường thẳng đi qua A và song song với BC.

Ta có: O khác A và .

Mặt khác, tam giác ABC cân tại A nên .

Từ đó suy ra OA là đường trung trực của BC, tức là ; mà d//BC nên .

Do đó d tiếp xúc với (O) tại A, hay d là tiếp tuyến của (O). (theo dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến).

Giải bài 3 trang 113, 114 vở thực hành Toán 9

Đề bài

Cho góc xOy với đường phân giác Ot và điểm A trên cạnh Ox, điểm B trên cạnh Oy sao cho . Đường thẳng qua A vuông góc với Ox cắt Ot tại M. Chứng minh rằng OA và OB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (M; MA).

Lời giải chi tiết

(H.5.30)

Theo đề bài, ta có Ox vuông góc với MA tại A nên Ox là tiếp tuyến của (M) tại A.

Do Ot là tia phân giác của góc xOy và nên .

Hai tam giác OMA và OMB có: cạnh OM chung; ; .

Do đó .

Suy ra , tức là OB vuông góc với MB tại B.

Do vậy OB là tiếp tuyến của (M) (theo dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến).

Giải bài 4 trang 114 vở thực hành Toán 9

Đề bài

Cho SA và SB là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O) (A và B là hai tiếp điểm). Gọi M là một điểm tùy ý trên cung nhỏ AB. Tiếp tuyến của (O) tại M cắt SA tại E và cắt SB tại F.

a) Chứng minh rằng chu vi của tam giác SEF=SA+SB.

b) Giả sử M là giao điểm của đoạn SO với đường tròn (O). Chứng minh rằng .

Lời giải chi tiết

(H.5.31)

a) Xét hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại E ta có . Tương tự, có .

Chu vi của tam giác SEF là

(điều phải chứng minh)

b) Giả sử M trùng với giao điểm của SO và (O).

Xét hai tiếp tuyến SA, SB của (O) cắt nhau tại S, ta có và SO là tia phân giác của góc ASB.

Tam giác SAB cân tại S (do ) có SO là đường phân giác nên đồng thời là đường cao của tam giác, tức là .

EF là tiếp tuyến của (O) tại M nên .

Từ đó suy ra EF//AB (cùng vuông góc với SO).

Tam giác SAB có EF//AB nên , mà , do đó (điều phải chứng minh)

Giải bài 5 trang 114, 115 vở thực hành Toán 9

Đề bài

Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với dường tròn tâm O; B, C là các tiếp điểm.

a) Chứng minh AO là đường trung trực của BC.

b) Kẻ đường kính CD. Chứng minh BD song song với AO.

c) Kẻ OM vuông góc với OB (M thuộc AC). Chứng minh .

Lời giải chi tiết

(H.5.32)

a) Xét hai tiếp tuyến AB, AC của (O) cắt nhau tại A, ta có nên A thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC. Mặt khác, (cùng bằng bán kính). Do đó O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Vậy OA là đường trung trực của BC.

b) Xét tam giác BCD có BO là đường trung tuyến, , suy ra tam giác CBD vuông tại B, hay . Mặt khác (do AO là đường trung trực của BC)

Từ đó suy ra BD song song với AO.

c) Theo giả thiết, ta có , suy ra . (1)

Ta có (do A là giao điểm của hai tiếp tuyến của (O)) 

Vì AB là tiếp tuyến của (O) nên . Do đó, , suy ra (2)

Từ (1) và (2) suy ra: , do đó cân tại M nên .