Bài 17. Dấu của tam thức bậc hai

Giải bài 6.21 trang 18 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) \(f(x) =  - {x^2} + 6x + 7\);

b) \(g(x) = 3{x^2} - 2x + 2\);

c) \(h(x) =  - 16{x^2} + 24x - 9\);

d) \(k(x) = 2{x^2} - 6x + 1\).

Lời giải chi tiết

a) \(f(x) =  - {x^2} + 6x + 7\) có ∆’ = 16 > 0, a = -1 < 0 và có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} =  - 1\); \({x_2} = 7\)

Do đó ta có bảng xét dấu f(x):

 

Suy ra \(f(x) > 0\)với mọi \(x \in ( - 1;7)\) và \(f(x) < 0\) với mọi \(x \in ( - \infty ; - 1) \cup (7; + \infty )\)

b) \(g(x) = 3{x^2} - 2x + 2\) có ∆’ = -5 < 0 và a = 3 > 0 nên g(x) > 0 với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

c) \(h(x) =  - 16{x^2} + 24x - 9\) có ∆’ = 0 và a = -16 < 0 nên h(x) có nghiệm kép \(x = \frac{3}{4}\) và \(h(x) < 0\) với mọi \(x \ne \frac{3}{4}\)

d) \(k(x) = 2{x^2} - 6x + 1\) có ∆’ = 7 > 0, a = 2 > 0 và có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} = \frac{{3 - \sqrt 7 }}{2};{x_2} = \frac{{3 + \sqrt 7 }}{2}\)

Do đó ta có bảng xét dấu k(x):

 

Suy ra k(x) > 0 với mọi \(x \in \left( { - \infty ;\frac{{3 - \sqrt 7 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{3 + \sqrt 7 }}{2}; + \infty } \right)\) và k(x) < 0 với mọi \(x \in \left( {\frac{{3 - \sqrt 7 }}{2};\frac{{3 + \sqrt 7 }}{2}} \right)\)

Giải bài 6.22 trang 18 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Giải các bất phương trình sau:

a) \(3{x^2} - 36x + 108 > 0\)   

b) \( - {x^2} + 2x - 2 \ge 0\)

c) \({x^4} - 3{x^2} + 2 \le 0\)   

d) \(\frac{1}{{{x^2} - x + 1}} \le \frac{1}{{2{x^2} + x + 2}}\)

Lời giải chi tiết

a) Tam thức bậc hai \(f(x) = 3{x^2} - 36x + 108\) có a = 3 > 0, ∆’ = 0 nên f(x) có nghiệm kép x = 6 và f(x) = \(3{x^2} - 36x + 108\) > 0 với mọi \(x \ne 6\)

Vậy tập nghiệm của BPT \(3{x^2} - 36x + 108 > 0\) là \(\mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}6\} \)

b) Tam thức bậc hai \(g(x) =  - {x^2} + 2x - 2 \ge 0\) có a = -1 < 0, ∆’ = -1 < 0 nên g(x) < 0 với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vậy BPT \( - {x^2} + 2x - 2 \ge 0\) vô nghiệm

c) Đặt t = x² (t ≥ 0) khi đó ta thu được BPT \({t^2} - 3t + 2 \le 0\)

Tam thức bậc hai \(h(x) = {t^2} - 3t + 2\) có a = 1 > 0 và có hai nghiệm là \({x_1} = 1,{x_2} = 2\) nên ta có bảng xét dấu:

 

Từ bảng xét dấu, ta được nghiệm của BPT \({t^2} - 3t + 2 \le 0\)là 1 ≤ t ≤ 2

Suy ra 1 ≤ x² ≤ 2 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 1\\{x^2} \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le  - 1\end{array} \right.\\ - \sqrt 2  \le x \le \sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \sqrt 2  \le x \le  - 1\\1 \le x \le \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của BPT \({x^4} - 3{x^2} + 2 \le 0\) là \(\left[ { - \sqrt 2 ; - 1} \right] \cup \left[ {1;\sqrt 2 } \right]\)

d) \(\frac{1}{{{x^2} - x + 1}} \le \frac{1}{{2{x^2} + x + 2}}\)(*)

Ta có: Tam thức bậc hai \({x^2} - x + 1\) và \(2{x^2} + x + 2\) đều có a > 0, ∆ > 0 nên \({x^2} - x + 1\) > 0; \(2{x^2} + x + 2\) > 0 với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Khi đó (*) \( \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 \ge 2{x^2} + x + 2\) \( \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 \le 0\)

Tam thức bậc hai \(k(x) = {x^2} + 2x + 1\) có a = 1 > 0, ∆’ = 0 và có nghiệm kép x = -1

Suy ra k(x) > 0 với mọi x ≠ -1 và k(x) = 0 với x = -1

Vậy tập nghiệm của BPT \(\frac{1}{{{x^2} - x + 1}} \le \frac{1}{{2{x^2} + x + 2}}\) là {-1}

Giải bài 6.23 trang 18 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \({x^2} - 2(m - 1)x + 4{m^2} - m = 0\) (1)

a) Có hai nghiệm phân biệt 

b) Có hai nghiệm trái dấu

Lời giải chi tiết

Tam thức bậc hai \({x^2} - 2(m - 1)x + 4{m^2} - m = 0\) có ∆’ = \({(m - 1)^2} - 4{m^2} + m =  - 3{m^2} - m + 1\)

a) PT (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆’ > 0 \( \Leftrightarrow  - 3{m^2} - m + 1 > 0\) \( \Leftrightarrow \frac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{6} < m < \frac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{6}\)

Vậy với \(m \in \left( {\frac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{6};\frac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{6}} \right)\) thì PT (1) có hai nghiệm phân biệt.

b) PT (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac < 0 \( \Leftrightarrow 4{m^2} - m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < \frac{1}{4}\)

Vậy với \(m \in \left( {0;\frac{1}{4}} \right)\) thì PT (1) có hai nghiệm trái dấu.

Giải bài 6.24 trang 18 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm các giá trị của tham số m để:

a) \( - {x^2} + (m + 1)x - 2m + 1 \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

b) \({x^2} - (2m + 1)x + m + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Lời giải chi tiết

a) Tam thức bậc hai \( - {x^2} + (m + 1)x - 2m + 1 \le 0\) có ∆ = \({(m + 1)^2} + 4( - 2m + 1) = {m^2} - 6m + 5\)

Vì a = -1 < 0 nên \( - {x^2} + (m + 1)x - 2m + 1 \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi ∆ ≤ 0

Ta có: ∆ ≤ 0 \( \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 5 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le m \le 5\)

Vậy với \(m \in \left[ {1;5} \right]\) thì \( - {x^2} + (m + 1)x - 2m + 1 \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

b) Tam thức bậc hai \({x^2} - (2m + 1)x + m + 2 > 0\) có ∆ = \({(2m + 1)^2} - 4(m + 2) = 4{m^2} - 7\)

Vì a = 1 > 0 nên \({x^2} - (2m + 1)x + m + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi ∆ < 0

Ta có: ∆ < 0 \( \Leftrightarrow 4{m^2} - 7 < 0 \Leftrightarrow  - \frac{{\sqrt 7 }}{2} < m < \frac{{\sqrt 7 }}{2}\)

Vậy với \(m \in \left( { - \frac{{\sqrt 7 }}{2};\frac{{\sqrt 7 }}{2}} \right)\) thì \({x^2} - (2m + 1)x + m + 2 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Giải bài 6.25 trang 18 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Một công ti đồ gia dụng sản xuất bình đựng nước thấy rằng khi đơn giá của bình đựng nước là x nghìn đồng thì doanh thu R (tính theo đơn vị nghìn đồng) sẽ là \(R(x) =  - 560{x^2} + 50000x\).

a) Theo mô hình doanh thu này, thì đơn giá nào là quá cao dẫn đến doanh thu từ việc bán bình đựng nước bằng 0 (tức là sẽ không có người mua)?

b) Với khoảng đơn giá nào của bình đựng nước thì doanh thu từ việc bán bình đựng nước vượt mức 1 tỉ đồng?

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(R(x) = 0 \Leftrightarrow  - 560{x^2} + 50000x = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{625}}{7}\\x = 0\end{array} \right. \Rightarrow x \approx 89\).

Vậy với đơn giá khoảng 89 nghìn đồng thì không có doanh thu bán bình đựng nước.

b) Ta có:

\(R(x) > 1000000 \Leftrightarrow  - 560{x^2} + 50000x > 1000000\)

\( \Leftrightarrow 7{x^2} - 625x + 12500 < 0 \Leftrightarrow 30,25 < x < 59,04\).

Vậy với đơn giá từ khoảng 31 nghìn đồng đến 59 nghìn đồng thì doanh thu bán bình đựng nước vượt mức 1 tỉ đồng.

Giải bài 6.26 trang 18 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Một viên đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu 500 m/s, hợp với phương ngang một góc bằng 45⁰. Biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí, quỹ đạo chuyển động của một vật ném xiên sẽ tuân theo phương trình: \(y = \frac{{ - g}}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \), trong đó x là khoảng cách (tính bằng mét) vật bay được theo phương ngang, vận tốc ban đầu v₀ của vật hợp với phương ngang một góc \(\alpha \) và g = 9,8 m/s² là gia tốc trọng trường.

a) Viết phương trình chuyển động của viên đạn.

b) Để viên đạn bay qua một ngọn núi cao 4 000 mét thì khẩu pháo phải đặt cách chân núi một khoảng bao xa?

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(y = \frac{{ - g}}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \)

\( = \frac{{ - 9,8}}{{{{2.500}^2}.{{\cos }^2}{{45}^0}}}{x^2} + x.\tan {45^0}\)

\( = \frac{{ - 9,8}}{{250000}}{x^2} + x\).

b) Ta có: \(y > 4 000 \Leftrightarrow \frac{{ - 9,8}}{{250000}}{x^2} + x > 4000 \)

\(\Leftrightarrow 9,8{x^2} - 250000x + 1000000000 < 0\)

\( \Leftrightarrow 4967,17 < x < 20543,03\).

Vậy để viên đạn bay qua một ngọn núi cao 4 000 mét thì khẩu pháo phải đặt cách chân núi một khoảng từ 4 967 mét đến 20 543 mét.

Giải bài 6.27 trang 19 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

\({b^2}{x^2} - ({b^2} + {c^2} - {a^2})x + {c^2} > 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Lời giải chi tiết

Tam thức bậc hai \({b^2}{x^2} - ({b^2} + {c^2} - {a^2})x + {c^2}\) có:

\(\Delta = {({b^2} + {c^2} - {a^2})^2} - 4{b^2}{c^2}\)

\( = ({b^2} + {c^2} - {a^2} - 2bc)({b^2} + {c^2} - {a^2} + 2bc)\)

\( = \left[ {{{(b - c)}^2} - {a^2}} \right]\left[ {{{(b + c)}^2} - {a^2}} \right]\)

\( = (b - c - a)(b - c + a)(b + c - a)(b + c + a)\)

\( =  - (a + c - b)(a + b - c)(b + c - a)(a + b + c)\).

Do a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên a > 0, b > 0, c > 0 và a + b + c > 0.

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

\(a + b > c \Leftrightarrow a + b - c > 0\);

\(b + c > a \Leftrightarrow b + c - a > 0\);

\(a + c > b \Leftrightarrow a + c - b > 0\).

Do đó:

\((a + c - b)(a + b - c)(b + c - a)(a + b + c) > 0\)

\( \Rightarrow  - (a + c - b)(a + b - c)(b + c - a)(a + b + c) < 0\)

\( \Rightarrow \Delta  < 0\) với mọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.

Vì hệ số \(a = b^2 > 0\) và \(\Delta < 0\) nên BPT \({b^2}{x^2} - ({b^2} + {c^2} - {a^2})x + {c^2} > 0\) nghiệm đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\)

Vậy \({b^2}{x^2} - ({b^2} + {c^2} - {a^2})x + {c^2} > 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).