Bài 17. Phương trình mặt cầu

Giải bài 5.21 trang 34 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm và .

a) Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.

b) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và mặt cầu (S) đi qua A.

Lời giải chi tiết

a) Gọi (C) là mặt cầu đường kính AB, khi đó (C) có tâm là trung điểm của cạnh AB.

Bán kính của (C) là .

Phương trình mặt cầu đường kính AB là

(C): .

b) Bán kính của (S) là .

Phương trình mặt cầu đường (S) là (S): .

Giải bài 5.22 trang 34 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho điểm và mặt phẳng .

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là I và tiếp xúc với mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) nên bán kính của (S) là .

Phương trình mặt cầu (S) là .

Giải bài 5.23 trang 34 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu và điểm .

a) Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

b) Chứng minh rằng điểm A nằm trong mặt cầu (S).

Lời giải chi tiết

a) Từ phương trình mặt cầu ta có tâm của (S) là , bán kính là .

b) Ta có suy ra .

Vậy điểm A nằm trong mặt cầu (S).

Giải bài 5.24 trang 34 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) .

b) .

c)

Lời giải chi tiết

a) Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu có dạng .

Xét phương trình , ta có .

Suy ra , do đó phương trình đã cho là phương trình mặt cầu.

Mặt cầu có tâm và bán kính .

b) Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu có dạng .

Xét phương trình , ta có .

Suy ra , do đó phương trình đã cho không là phương trình mặt

cầu.

c) Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu có dạng .

Xét phương trình .

Ta có .

Suy ra , do đó phương trình đã cho là phương trình mặt cầu.

Mặt cầu có tâm và bán kính .

Giải bài 5.25 trang 34 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm và . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc thuộc trục Ox và (S) đi qua hai điểm A và B.

Lời giải chi tiết

Do I thuộc trục Ox nên I có tọa độ .

(S) đi qua hai điểm A và B suy ra I nằm trên đường trung trực của cạnh AB.

Ta có

Gọi d là đường trung trực của cạnh AB.

Khi đó d đi qua trung điểm của cạnh AB và nhận làm vectơ chỉ phương

(do ).

Phương trình tham số của d là . Do nên thay vào d ta được:

. Bán kính mặt cầu (S) là .

Suy ra (S): .

Giải bài 5.26 trang 34 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, giả sử bề mặt Trái Đất (S) có phương trình .

Từ vị trí , người ta dự định đào một đường hầm xuyên qua lòng đất theo hướng . Tính độ dài đường hầm cần đào.

Lời giải chi tiết

Đường hầm nằm trên đường thẳng d đi qua A và nhận là vectơ chỉ phương.

Suy ra phương trình tham số của d là

Gọi B là điểm cuối của đường hầm cần đào. Khi đó B là giao điểm của đường thẳng d và mặt cầu (S). Do B thuộc d nên với để B không trùng với A.

Vì B thuộc (S) nên ta có:

(do trường hợp không thỏa mãn).

Suy ra .

Vậy độ dài đường hầm cần đào là .

Giải bài 5.27 trang 35 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một quả bóng hình cầu có bán kính 2 m được treo lơ lửng trên một mặt đất phẳng. Tâm quả bóng cách mặt đất 10 m. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ O là hình chiếu vuông góc của tâm quả cầu trên mặt đất, tia Oz chứa tâm của quả cầu, các trục Ox, Oy thuộc mặt đất như hình vẽ. Viết phương trình của mặt cầu bề mặt quả bóng.

Lời giải chi tiết

Do tâm quả bóng thuộc tia Oz và cách mặt đất 10 m nên quả cầu có tâm .

Bán kính quả bóng bằng 2, do đó ta có phương trình của mặt cầu bề mặt quả bóng là

.