Bài 18. Lũy thừa với số mũ thực

Giải bài 6.1 trang 6 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tính:

a) $\sqrt[3]{{ - 27}}$

b) ${25^{\frac{3}{2}}}$;

c) ${32^{ - \frac{2}{5}}}$

d)${\left( {\frac{{27}}{8}} \right)^{\frac{2}{3}}}$.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Với $a > 0,b > 0$ và $m,n$ là các số thực, ta có:

${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}$;

$\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}$;

${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}};$

${\left( {ab} \right)^m} = {a^m}{b^m}$;

${\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}$

Cho số thực dương $a$, $m$ là một số nguyên và $n$ là số nguyên dương. ${a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$.

Lời giải chi tiết

a)$\sqrt[3]{{ - 27}} = \sqrt[3]{{{{( - 3)}^3}}} = {\left( { - 3} \right)^1} = - 3$.

c) ${32^{ - \frac{2}{5}}} = {\left( {{2^5}} \right)^{ - \frac{2}{5}}} = {2^{ - \frac{2}{5}.2}} = {2^{ - 2}} = \frac{1}{4}$

b)${25^{\frac{3}{2}}} = {\left( {{5^2}} \right)^{\frac{3}{2}}} = {5^{\frac{3}{2}.2}} = {5^3} = 125$.

d)${\left( {\frac{{27}}{8}} \right)^{\frac{2}{3}}} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{3.\frac{2}{3}}} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{9}{4}$.

Giải bài 6.2 trang 6 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

So sánh cơ số a (a > 0) với 1; biết rằng:

a) ${a^{\frac{3}{4}}} > {a^{\frac{5}{6}}}$.

b) ${a^{\frac{{11}}{6}}} < {a^{\frac{{15}}{8}}}$.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng tính chất

Nếu $a > 1$ thì ${a^m} > {a^n}$ khi và chỉ khi $m > n$.
Nếu $0 < a < 1$ thì ${a^m} > {a^n}$ khi và chỉ khi $m < n$.

Lời giải chi tiết

a) Do $\frac{3}{4} < \frac{5}{6}$ và ${a^{\frac{3}{4}}} > {a^{\frac{5}{6}}}$ nên $a < 1$.

b) Do $\frac{{11}}{6} < \frac{{15}}{8}$ và ${a^{\frac{{11}}{6}}} < {a^{\frac{{15}}{8}}}$ nên$a > 1$.

Giải bài 6.3 trang 6 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt[5]{{32{x^{15}}{y^{20}}}}$;

b) $6\sqrt[3]{{9{x^2}}} \cdot 3\sqrt[3]{{24x}}$.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng các công thức sau:

Cho số thực dương $a$, $m$ là một số nguyên và $n$ là số nguyên dương. ${a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$.

Giả sử $n,k$ là các số nguyên dương, $m$ là số nguyên. Khi đó:

$\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{{ab}}$;

$\frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{{\frac{a}{b}}}$;

${\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$;

$\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left| a \right|$ nếu n chẵn;

$\sqrt[m]{{{a^m}}} = a$ nếu $m$ lẻ.

Lời giải chi tiết

a) $\sqrt[5]{{32{x^{15}}{y^{20}}}} = \sqrt[5]{{{2^5} \cdot {{\left( {{x^3}} \right)}^5} \cdot {{\left( {{y^4}} \right)}^5}}} = 2{x^3}{y^4}$.

b) $6\sqrt[3]{{9{x^2}}} \cdot 3\sqrt[3]{{24x}} = 18\sqrt[3]{{9{x^2} \cdot 24x}} $

$= 18\sqrt[3]{{{6^3} \cdot {x^3}}} = 18 \cdot 6 \cdot x = 108x$.

Giải bài 6.4 trang 6 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Rút gọn các biểu thức sau:

b) .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng các công thức sau:

Cho số thực dương , là một số nguyên và là số nguyên dương. .

Giả sử là các số nguyên dương, là số nguyên. Khi đó:

;

nếu n chẵn;

nếu lẻ.

Lời giải chi tiết

Giải bài 6.5 trang 6 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho a là số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) ${(a^{\sqrt{6}})}^{\sqrt{24}}$

b) $a^{\sqrt{2}} {(\frac{1}{a})}^{\sqrt{2} - 1}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng tính chất của lũy thừa với số mũ thực.

Với và là các số thực, ta có:

;

Cho số thực dương , là một số nguyên và là số nguyên dương. .

Giả sử là các số nguyên dương, là số nguyên. Khi đó:

;

Lời giải chi tiết

a) .

b) .

c) .

Giải bài 6.6 trang 7 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho và là hai số dương, . Rút gọn biểu thức sau:

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào kiến thức đã học để trả lời

Lời giải chi tiết

Tacó:

nên

Do đó

Giải bài 6.7 trang 7 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Giả sử một lọ nuôi cấy có 100 con vi khuẩn lúc ban đầu và số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi sau mỗi 2 giờ. Khi đó số vi khuẩn N sau t (giờ) sẽ là $N = 100 \cdot 2^{\frac{t}{2}}$ (con). Hỏi sau $3 \frac{1}{2}$ giờ sẽ có bao nhiêu con vi khuẩn?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tính $N = 100 \cdot 2^{\frac{t}{2}}$ khi $t = 3 \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$ (giờ).

Lời giải chi tiết

Thay $t = 3 \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$ (giờ) vào công thức ta được số vi khuẩn sau $3 \frac{1}{2}$ giờ là:

$N = 100 \cdot 2^{\frac{t}{2}} = 100 \cdot 2^{\frac{7}{4}} \approx 336$ (con).

Giải bài 6.8 trang 7 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Chu kì dao động (tính bằng giây) của một con lắc có chiều dài (tính bằng mét) được cho bởi . Nếu một con lắc có chiều dài 19,6 m, hãy tính chu kì của con lắc này (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tính khi L = 19,6 m (giờ).

Lời giải chi tiết

Thay L = 19,6 vào công thức ta được chu kì dao động của con lắc là:

(giây).

Giải bài 6.9 trang 7 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Định luật thứ ba của Kepler nói rằng bình phương của chu kì quỹ đạo $p$ (tính bằng năm Trái Đất) của một hành tinh chuyển động xung quanh Mặt Trời (theo quỹ đạo là một đường elip với 'Mặt Trời nằm ở một tiêu điểm) bằng lập phương của bán trục lớn d (tính bằng đơn vị thiên văn $A U$ ).

a) Tính theo .

b) Nếu Sao Thổ có chu kì quỹ đạo là 29,46 năm Trái Đất, hãy tinh bán trục lớn quỹ đạo của Sao Thổ đến Mặt Trời (kết quả tính theo đơn vị thiên văn và làm tròn đến hàng phần trăm).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Từ giả thiết ta có .

Lời giải chi tiết

a) Theo đinh luật thứ ba của Kepler, ta có:

b) Thay vào công thức , ta được AU.

Giải bài 6.10 trang 7 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Khoảng cách từ một hành tinh đến Mặt Trời có thể xấp xỉ bằng một hàm số của độ dài năm của hành tinh đó. Công thức của hàm số đó là $d = \sqrt[3]{{6{t^2}}}$, trong đó d là khoảng cách từ hành tinh đó đến Mặt Trời (tính bằng triệu dặm) và t là độ dài năm của hạnh tinh đó (tính bằng số ngày Trái Đất).

(Theo Algebra 2, NXB MacGraw-Hill, 2008).

a) Nếu độ dài của một năm trên Sao Hoả là 687 ngày Trái Đất thì khoảng cách từ Sao Hoả đến Mặt Trời là bao nhiêu?

b) Tính khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời (coi một năm trên Trái Đất có 365 ngày).

(Kết quả của câu a và câu b tính theo đơn vị triệu dặm và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Áp dụng công thức của hàm số đó là $d = \sqrt[3]{{6{t^2}}}$ với $t = 687$.

b) Áp dụng công thức của hàm số đó là $d = \sqrt[3]{{6{t^2}}}$ với $t = 365$.

Lời giải chi tiết

a) Thay $t = 687$ vào công thức ta được khoàng cách từ Sao Hoà đến Mặt Trời là:

$d = \sqrt[3]{{6{t^2}}} = \sqrt[3]{{6 \cdot {{687}^2}}} \approx 141,48$ (triệu dặm).

b) Thay $t = 365$ vào công thức ta được khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời là:

$d = \sqrt[3]{{6{t^2}}} = \sqrt[3]{{6 \cdot {{365}^2}}} \approx 92,81$ (triệu dặm).

Thử sức kiểm tra kiến thức

Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP11

Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.

✓ Chấm điểm ngay✓ Lời giải chi tiết✓ 100% Miễn phí

Luyện trắc nghiệm ngay

Ứng dụng di động

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub

Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!

✓ Chấm điểm tức thì✓ Tích điểm & thăng hạng✓ Luyện tập mọi lúc mọi nơi