Bài 18. Xác suất có điều kiện

Giải bài 6.1 trang 42 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho . Tính và .

Lời giải chi tiết

Ta có do đó .

Suy ra ; .

Giải bài 6.2 trang 42 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một túi đựng 5 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Sơn lấy ngẫu nhiên một viên bi đưa cho Tùng rồi Tùng lấy ngẫu nhiên tiếp một viên bi. Tính xác suất để hai viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi đỏ.

Lời giải chi tiết

Gọi E là biến cố: “Trong hai viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi đỏ”.

Biến cố đối là biến cố: “Cả hai viên bi rút ra đều là viên bi xanh”.

Gọi A là biến cố: “Sơn lấy được viên bi xanh”.

B là biến cố: “Tùng lấy được viên bi xanh”.

Khi đó . Ta có .

. Suy ra .

Giải bài 6.3 trang 42 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một hộp chứa 20 tấm thẻ đánh số $\left\{1;2;...;20\right\}$. Nam rút ngẫu nhiên một tấm thẻ đưa cho Hà rồi Hà rút ngẫu nhiên tiếp một tấm thẻ. Tính xác suất để cả hai thẻ Hà nhận được đều ghi số nguyên tố.

Lời giải chi tiết

Gọi E là biến cố: “Hai thẻ Hà nhận được đều ghi số nguyên tố”.

Gọi A là biến cố: “Nam rút được tấm thẻ ghi số nguyên tố”.

B là biến cố: “Hà rút được tấm thẻ ghi số nguyên tố”.

Khi đó $E=AB$.

Trong hộp có 8 tấm thẻ ghi số nguyên tố $\left\{2;3;5;7;11;13;17;19\right\}$ suy ra .

Ta có .

Nếu A xảy ra thì trong hộp còn 19 thẻ với 7 thẻ số nguyên tố, do đó .

Suy ra .

Giải bài 6.4 trang 43 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một hộp chứa 17 viên bi đỏ, 13 viên bi xanh. An lấy ngẫu nhiên một viên bi đưa cho Bình rồi Bình lấy ngẫu nhiên tiếp một viên bi. Tính xác suất để hai viên bi Bình nhận được:

a) Đều là bi đỏ;

b) Là hai viên bi khác màu.

Lời giải chi tiết

a) Gọi E là biến cố: “Hai viên bi Bình nhận được đều là bi đỏ”.

Gọi A là biến cố: “An lấy được một viên bi đỏ”.

B là biến cố: “Bình lấy được một viên bi đỏ”.

Khi đó .

Ta có ; .

Suy ra .

b) Xét các biến cố đối:

là biến cố: “An lấy được một viên bi xanh”.

là biến cố: “Bình lấy được một viên bi xanh”.

Khi đó với D là biến cố : “Hai viên bi Bình nhận được là hai viên bi khác màu” ta có:

.

Ta có ; .

Suy ra .

Ta có suy ra .

Vậy .

Giải bài 6.5 trang 43 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hai biến cố A và B với , . Chứng minh rằng nếu thì độc lập.

Lời giải chi tiết

Giả sử với .

Ta có ; .

Suy ra việc xảy ra biến cố B không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố A và ngược lại.

Do đó A và B độc lập.

Giải bài 6.6 trang 43 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tung con xúc xắc cân đối liên tiếp hai lần. Xét các biến cố sau:

A: “Xuất hiện mặt một chấm ở lần gieo thứ nhất”;

B: “Xuất hiện mặt hai chấm ở lần gieo thứ hai”;

C: “Tổng số chấm xuất hiện ở hai lần gieo bằng 7”.

Chứng minh rằng:

a) Hai biến cố A và B độc lập;

b) Hai biến cố B và C độc lập;

c) Hai biến cố A và C độc lập.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(A = \left\{ {\left( {1,1} \right);\left( {1,2} \right);\left( {1,3} \right);\left( {1,4} \right);\left( {1,5} \right);\left( {1,6} \right)} \right\}\);

\(B = \left\{ {\left( {1,2} \right);\left( {2,3} \right);\left( {3,2} \right);\left( {4,2} \right);\left( {5,2} \right);\left( {6,2} \right)} \right\}\); \(AB = \left\{ {\left( {1,2} \right)} \right\}\)

Suy ra \(P\left( A \right) = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6};P\left( B \right) = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6};P\left( {AB} \right) = \frac{1}{6} \Rightarrow P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)\).

Vậy hai biến cố A và B độc lập.

b) Ta có \(C = \left\{ {\left( {1,6} \right);\left( {2,5} \right);\left( {3,4} \right);\left( {4,3} \right);\left( {5,2} \right);\left( {6,1} \right)} \right\}\); \(BC = \left\{ {\left( {5,2} \right)} \right\}\).

Suy ra \(P\left( C \right) = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6} \Rightarrow P\left( {BC} \right) = P\left( B \right) \cdot P\left( C \right)\).

Vậy hai biến cố B và C độc lập.

c) Ta có \(AC = \left\{ {\left( {1,6} \right)} \right\}\) nên \(P\left( {AC} \right) = \frac{1}{6} \Rightarrow P\left( {AC} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( C \right)\).

Vậy hai biến cố A và C độc lập.