Bài 19. Lôgarit

Giải bài 6.11 trang 10 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tính:

a) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{1}{{64}}\);

b) \({\rm{log}}1000\);

c) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}1250 - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}10\);

d) \({4^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3}}\).

Lời giải chi tiết

a) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{1}{{64}} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}{2^{ - 6}} =  - 6\).

b) \({\rm{log}}1000 = {\rm{log}}{10^3} = 3\).

c) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}1250 - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}10 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}\frac{{1250}}{{10}} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}125 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}{5^3} = 3\)

d) \({4^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3}} = {\left( {{2^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3}}} \right)^2} = {3^2} = 9\)

Giải bài 6.12 trang 10 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Chứng minh rằng:

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

a)

.

b)

Giải bài 6.13 trang 10 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Biết $lo{g}_{2}3\approx 1,585$. Hãy tính:

a) $lo{g}_{2}48$

b) $lo{g}_{4}27$.

Lời giải chi tiết

a)

b)

Giải bài 6.14 trang 10 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Đặt \(a = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}5\), \(b = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}5\). Hãy biểu diễn \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{15}}10\) theo a và b.

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(b = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}5 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{{2^2}}}5 = \frac{1}{2}{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}5 \Rightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}5 = 2b\)

\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{15}}10 = \frac{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}10}}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}15}} = \frac{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}\left( {2 \cdot 5} \right)}}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}\left( {3 \cdot 5} \right)}} = \frac{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}2 + 1}}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}3 + 1}}\)

Mà \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}3 = \frac{1}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}5}} = \frac{1}{a}\) và \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}2 = \frac{1}{{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}5}} = \frac{1}{{2b}}\)

nên \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{15}}10 = \frac{{\frac{1}{{2b}} + 1}}{{\frac{1}{a} + 1}} = \frac{{\left( {1 + 2b} \right)a}}{{2b\left( {a + 1} \right)}}\)

Giải bài 6.15 trang 10 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm , biết .

Lời giải chi tiết

Ta có:

Do nên .

Suy ra

Giải bài 6.16 trang 10 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

So sánh các số sau:

a) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}4\) và \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}\frac{1}{3}\);

b) \({2^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_6}3}}\) và \({3^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_6}\frac{1}{2}}}\).

Lời giải chi tiết

a) \({\log _4}\frac{1}{3} < {\log _3}4\) vì \({\log _4}\frac{1}{3} < 1 < {\log _3}4\).

b) Ta có \({2^{{{\log }_6}3}} = {3^{{{\log }_6}2}} > {3^{{{\log }_6}\frac{1}{2}}}\) do \({\log _6}2 > {\log _6}\frac{1}{2};3 > 1\).

Vậy \({2^{{{\log }_6}3}} > {3^{{{\log }_6}\frac{1}{2}}}\).

Giải bài 6.17 trang 10 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Biết rằng số chữ số của một số nguyên dương viết trong hệ thập phân được cho bởi công thức , ở đó [log là phần nguyên của số thực dương . Tìm số các chữ số của khi viết trong hệ thập phân.

Lời giải chi tiết

Số chữ số của là:

.

Giải bài 6.18 trang 10 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Khi gửi tiết kiệm \(P\) (đồng) theo thể thức trả lãi kép định kì với lãi suất mỗi kì là \(r\) (\(r\) cho dưới dạng số thập phân) thì số tiền \(A\) (cả vốn lẫn lãi) nhận được sau \(t\) kì gửi là \(A = P{(1 + r)^t}\) (đồng). Tính thời gian gửi tiết kiệm cần thiết để số tiền ban đầu tăng gấp đôi.

Lời giải chi tiết

Để số tiền ban đầu tăng gấp đôi thì \(A = 2P\).

Thay \(A = 2P\) vào công thức lãi kép ta có:

\(2P = P{(1 + r)^t}\), suy ra:

\(2P = P{(1 + r)^t} \Leftrightarrow {(1 + r)^t} = 2 \Leftrightarrow t = {\log _{1 + r}}2\).

Giải bài 6.19 trang 11 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Một người gửi tiết kiệm 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 6 tháng với lãi suất một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau bao lâu người đó nhận được ít nhất 120 triệu đồng?

Lời giải chi tiết

Lãi suất năm là nên lãi suất kì hạn 6 tháng sẽ là . Thay và vào công thức , ta được:

Suy ra , hay .

Vậy sau 5 kì gửi tiết kiệm kì hạn 6 tháng, tức là sau 30 tháng, người đó sẽ nhận được ít nhất 120 triệu đồng.

Giải bài 6.20 trang 11 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Nồng độ cồn trong máu (BAC) là chỉ số dùng để đo lượng cồn trong máu của một người. Chẳng hạn, $BAC0,02\%$ hay $0,2mg/ml$, nghĩa là có $0,02g$ cồn trong máu. Nếu một người với bằng có nguy cơ bị tai nạn ô tô cao gấp 1,4 lần so với một người không uống rượu, thì nguy cơ tương đối của tai nạn với là 1,4. Nghiên cứu y tế gần đây cho thấy rằng nguy cơ tương đối của việc gặp tai nạn khi đang lái ô tô có thể được mô hình hoá bằng một phương trình có dạng

trong đó là nồng độ cồn trong máu và là một hằng số.

a) Nghiên cứu chỉ ra rằng nguy cơ tương đối của một người bị tai nạn với bằng là 1,4. Tìm hằng số trong phương trình.

b) Nguy cơ tương đối là bao nhiêu nếu nồng độ cồn trong máu là ?

c) Tìm BAC tương ứng với nguy cơ tương đối là 100.

d) Giả sử nếu một người có nguy cơ tương đối từ 5 trở lên sẽ không được phép lái xe, thì một người có nồng độ cồn trong máu từ bao nhiêu trở lên sẽ không được phép lái xe?

Lời giải chi tiết

a) Thay và vào công thức, ta được: Suy ra .

b) .

c) Thay vào công thức, ta được: . Suy ra .

d) Với thì , tức là một người có nồng độ cồn trong máu từ khoảng trở lên thì không được lái xe.