Bài 19. Phương trình đường thẳng
Giải bài 7.1 trang 31 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(D\left( {0;2} \right)\) và hai vecto \(\overrightarrow n = \left( {1; - 3} \right)\), \(\overrightarrow u = \left( {1;3} \right)\).
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua D và nhận \(\overrightarrow n \) là một vecto pháp tuyến.
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua D và nhận \(\overrightarrow u \) là một vecto chỉ phương.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Phương trình tổng quát đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_1},{y_1}} \right)\) nhận \(\overrightarrow {{a_1}} = \left( {a;b} \right)\) làm vecto pháp tuyến là: \(a\left( {x - {x_1}} \right) + b\left( {y - {y_1}} \right) = 0\).
+ Nếu \(\overrightarrow {{a_2}} = \left( {c;d} \right)\) là vecto chỉ phương thì \(\overrightarrow {{a_3}} = \left( {d; - c} \right)\) là vecto pháp tuyến của đường thẳng đó.
Lời giải chi tiết
a) Phương trình tổng quát đường thẳng đi qua \(D\left( {0;2} \right)\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {1; - 3} \right)\) làm vecto pháp tuyến là:
\(1\left( {x - 0} \right) - 3\left( {y - 2} \right) = 0\)
\(\Rightarrow d:x - 3y + 6 = 0\).
b) Đường thẳng \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow u = \left( {1;3} \right)\) làm vecto chỉ phương, suy ra \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3; - 1} \right)\) là vecto pháp tuyến.
Phương trình tổng quát đường thẳng đi qua \(D\left( {0;2} \right)\) nhận \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3; - 1} \right)\) làm vecto pháp tuyến là:
\(3\left( {x - 0} \right) - 1\left( {y - 2} \right) = 0 \)
\(\Rightarrow \Delta :3x - y + 2 = 0\).
Giải bài 7.2 trang 31 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( {1;2} \right);B\left( {0; - 1} \right)\) và \(C\left( { - 2;3} \right)\). Lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương trình tổng quát đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_1},{y_1}} \right)\) nhận \(\overrightarrow {{a_1}} = \left( {a;b} \right)\) là vector pháp tuyến là: \(a\left( {x - {x_1}} \right) + b\left( {y - {y_1}} \right) = 0\).
Lời giải chi tiết
Phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC tức là đường thẳng này có vecto pháp tuyến là vecto chỉ phương của đường thẳng BC.
Tức là \(\overrightarrow n = \overrightarrow {BC} = \left( { - 2;4} \right) = - 2\left( {1; - 2} \right)\).
Viết phương trình đường thẳng biết đi qua điểm \(A\left( {1;2} \right)\) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right)\):
\(1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) = 0 \Rightarrow x - 2y + 3 = 0\).
Giải bài 7.3 trang 31 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {1;2} \right)\) và \(B\left( {2;3} \right)\). Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng AB và viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương trình tham số của đường thẳng AB: đi qua \(A\left( {a,b} \right)\), nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {c,d} \right)\) là vector chỉ phương: \(\left\{ \begin{array}{l}x = a + ct\\y = b + dt\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết
Vecto chỉ phương của đường thẳng AB là \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng AB: đi qua \(A\left( {1;2} \right)\), nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1} \right)\) là vector chỉ phương: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\end{array} \right.\).
Giải bài 7.4 trang 31 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta :2x - y + 5 = 0\). Tìm tất cả các vecto pháp tuyến có độ dài \(2\sqrt 5 \) của đường thẳng \(\Delta \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Vecto pháp tuyến của đường thẳng tổng quát: \(ax + by + c = 0\) là \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\).
+ Độ dài vecto \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\) là \(\left| {\overrightarrow n } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
Lời giải chi tiết
Vecto pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta :2x - y + 5 = 0\) là \(\overrightarrow n = \left( {2t; - t} \right)\).
Độ dài vecto \(\overrightarrow n = \left( {2t; - t} \right)\) là
\(\left| {\overrightarrow n } \right| = \sqrt {4{t^2} + {t^2}} \)
\(= \sqrt {5{t^2}} = \left| t \right|\sqrt 5 = 2\sqrt 5 \)
\(\Rightarrow \left| t \right| = 2 \Rightarrow t = \pm 2\).
Vậy các vecto phải tìm là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 4;2} \right)\).
Giải bài 7.5 trang 31 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường thẳng d có phương trình \(y = - 2x + 3\). Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Phương trình tổng quát đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_1},{y_1}} \right)\) nhận \(\overrightarrow {{a_1}} = \left( {a;b} \right)\) là vecto pháp tuyến là: \(a\left( {x - {x_1}} \right) + b\left( {y - {y_1}} \right) = 0\).
+ Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(A\left( {a,b} \right)\), nhận \(\overrightarrow v = \left( {c,d} \right)\) là vecto chỉ phương: \(\left\{ \begin{array}{l}x = a + ct\\y = b + dt\end{array} \right.\).
Lời giải chi tiết
\(y = - 2x + 3 \Rightarrow \) phương trình tổng quát là \(2x + y - 3 = 0\).
Phương trình \(2x + y - 3 = 0\) có veto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {1; - 2} \right)\).
Phương trình d có \(\overrightarrow u (1; - 2)\) và đi qua điểm \(A\left( {0;3} \right)\).
Suy ra, phương trình tham số của đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3 - 2t\end{array} \right.\).
Giải bài 7.6 trang 31 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {2;1} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 2t\end{array} \right.\). Tìm điểm N thuộc đường thẳng \(\Delta \) sao cho \(MN = \sqrt 2 \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Độ dài đường thẳng MN có \(\overrightarrow {MN} = \left( {a;b} \right)\) là \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
Lời giải chi tiết
N thuộc đường thẳng \(\Delta \Rightarrow N\left( {2 - t;2t} \right)\).
\(\overrightarrow {MN} = \left( { - t;2t - 1} \right)\) có độ dài là:
\(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{\left( { - t} \right)}^2} + {{\left( {2t - 1} \right)}^2}} \)
\(= \sqrt {5{t^2} - 4t + 1} = \sqrt 2 \).
\( \Rightarrow 5{t^2} - 4t + 1 = 2 \)
\(\Rightarrow 5{t^2} - 4t - 1 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \frac{{ - 1}}{5}\end{array} \right.\)
Vậy \(N\left( {1;2} \right)\) hoặc \(N\left( {\frac{{11}}{5};\frac{{ - 2}}{5}} \right)\).
Giải bài 7.7 trang 31 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh \(A\left( {0; - 1} \right)\), \(B\left( {2;3} \right)\) và \(C\left( { - 4;1} \right)\). Lập phương trình tham số của đường trung bình ứng với cạnh BC của tam giác ABC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(A\left( {a,b} \right)\), nhận \(\overrightarrow v = \left( {c,d} \right)\) là vecto chỉ phương: \(\left\{ \begin{array}{l}x = a + ct\\y = b + dt\end{array} \right.\).
Lời giải chi tiết
Đường trung bình ứng với cạnh BC là đường thẳng đi qua trung điểm của AB và AC \(\Rightarrow\) Đường thẳng này song song với đường thẳng BC \(\Rightarrow\) Vecto chỉ phương của đường thẳng này cùng phương với vecto chỉ phương của đường thẳng BC \(\Rightarrow\overrightarrow v = \overrightarrow {BC} = \left( { - 6; - 2} \right)\).
Viết phương trình tham số biết đường thẳng đi qua trung điểm của AB là \(M\left( {1;1} \right)\) và vecto chỉ phương \(\overrightarrow v = \left( {3;1} \right)\): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 1 + t\end{array} \right.\)
Giải bài 7.8 trang 32 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hình vuông ABCD có \(A\left( { - 1;0} \right)\) và \(B\left( {1;2} \right)\).
a) Lập phương trình đường thẳng BC.
b) Tìm tọa độ của điểm C biết rằng hoành hộ của điểm C là số dương.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương trình tổng quát đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_1},{y_1}} \right)\) nhận \(\overrightarrow {{a_1}} = \left( {a;b} \right)\) là vecto pháp tuyến là: \(a\left( {x - {x_1}} \right) + b\left( {y - {y_1}} \right) = 0\).
Lời giải chi tiết
a) Phương trình đường thẳng BC đi qua \(B\left( {1;2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;2} \right) = 2\left( {1;1} \right)\) là vecto pháp tuyến.
Phương trình tổng quát của BC:
\(1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 2} \right) = 0 \Rightarrow x + y - 3 = 0\).
b) C thuộc đường thẳng BC \( \Rightarrow C\left( {t;3 - t} \right)\).
+ \(AB = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 \)
+ \(\overrightarrow {BC} = \left( {t - 1;1 - t} \right) \)
\(\Rightarrow BC = \sqrt {{{\left( {t - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - t} \right)}^2}} = \left| {t - 1} \right|\sqrt 2 \).
+ \(AB = BC \Rightarrow \left| {t - 1} \right|\sqrt 2 = 2\sqrt 2 \)
\(\Rightarrow \left| {t - 1} \right| = 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = - 1\end{array} \right.\)
Với hoành độ của C là số dương \(\Rightarrow C\left( {3;0} \right)\).
Giải bài 7.9 trang 32 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Đề bài
Nhà bạn Nam định đổi tủ lạnh và dự định kê vào vị trí dưới cầu thang. Biết vị trí kê tủ lạnh có mặt cát là một hình thang vuông với hai đáy lần lượt là 150 cm và 250 cm, chiều cao là 150 cm (như hình vẽ). Bố mẹ Nam định mua một tủ lạnh 2 cánh (Slide by slide) có chiều cao là 183 cm và bề ngang 90 cm. Bằng cách sử dụng tọa độ trong mặt phẳng, em hãy giúp Nam tính xem bố mẹ Nam có thể kê vừa chiếc tủ lạnh vào vị trí cần kê không?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\), đặt vị trí các điểm nút.
Lời giải chi tiết
+ Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
+ Để tận dung tối đa chiều cao thể khi kê tủ lạnh thì bố mẹ Nam sẽ kê tủ sát vào trục Oy, Do đó để kê được một chiếc tủ lạnh 2 cánh với bề ngang 90 cm thì chiều cao của tủ phải nhỏ hơn tung độ của điểm E thuộc đường thẳng BC với hoành độ điểm E bằng 90.
+ Ta có: \(B\left( {150;150} \right)\), \(C\left( {0;250} \right)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow {BC} = \left( { - 150;100} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {100;150} \right)\).
+ Phương trình đường thẳng BC là:
\(100\left( {x - 0} \right) + 150\left( {y - 250} \right) = 0\)
\(\Rightarrow 2x + 3y - 750 = 0\).
+ Điểm E thuộc đường thẳng BC có hoành độ bằng 90 nên tung độ của E là 190.
+ Do 183 cm < 190 cm nên bố mẹ bạn Nam có thể kê chiếc tủ lạnh có bề ngang là 90 cm và chiều cao là 183 cm.
Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP10
Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!