Bài 2.22 trang 57

Đề bài

Dãy số $(u_{n})$ nào có công thức dưới đây là dãy số tăng?

A. $u_{n} = \frac{5}{n} - 1$

B. $u_{n} = \frac{n + 1}{3 n + 2}$

C. $u_{n} = n + \sin^{2} n$

D. $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Nếu $u_{n + 1} > u_{n} \forall n \in N^{*}$ thì $(u_{n})$ là dãy số tăng.

Lời giải chi tiết

Đáp án A.

$\begin{array}{l} u_{n + 1} - u_{n} = \frac{5}{n + 1} - 1 - \frac{5}{n} + 1 = 5 (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n}) < 0 \\ \Rightarrow u_{n + 1} < u_{n} \end{array}$

Đáp án B.

$\begin{array}{l} u_{n} = \frac{n + 1}{3 n + 2} = \frac{1}{3} + \frac{\frac{1}{3}}{3 n + 2} \\ \Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{3} + \frac{\frac{1}{3}}{3 n + 5} - \frac{1}{3} - \frac{\frac{1}{3}}{3 n + 2} = \frac{1}{3} (\frac{1}{3 n + 5} - \frac{1}{3 n + 2}) < 0 \\ \Rightarrow u_{n + 1} < u_{n} \end{array}$

Đáp án C.

$\begin{array}{l} u_{n + 1} - u_{n} = n + 1 + \sin^{2} (n + 1) - n - \sin^{2} n = \sin^{2} (n + 1) + 1 - \sin^{2} n \\ = \sin^{2} (n + 1) + \cos^{2} n > 0 \\ \Rightarrow u_{n + 1} > u_{n} \end{array}$

Đáp án D.

$\begin{array}{l} \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{1}{\sqrt{n + 1}} : \frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}} < 1 \\ \Rightarrow u_{n + 1} < u_{n} \end{array}$

Vậy chọn đáp án C.