Bài 2.30 trang 57

Đề bài

Tìm ba số, biết theo thứ tự đó chúng lập thành cấp số cộng và có tổng bằng 21, và nếu lần lượt cộng thêm các số 2; 3; 9 vào ba số đó thì được ba số lập thành một cấp số nhân.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân:

$u_{k} = \frac{u_{k - 1} + u_{k + 1}}{2}$ .

$u_{k}^{2} = u_{k - 1} . u_{k + 1}$ .

Lời giải chi tiết

Gọi 3 số cần tìm lần lượt là: $u_{n - 1}, u_{n}, u_{n + 1}$ .

Theo tính chất của cấp số cộng ta có:

$u_{n - 1} + u_{n + 1} = 2 u_{n}$ .

Mà $u_{n - 1} + u_{n} + u_{n + 1} = 21$ , suy ra:

$3 u_{n} = 21 \Leftrightarrow u_{n} = 7$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} u_{n - 1} = u_{n} - d = 7 - d \\ u_{n + 1} = u_{n} + d = 7 + d \end{cases}$ (*)

Lần lượt cộng thêm các số 2, 3, 9 vào ba số ta được:

$u_{n - 1} + 2 = 9 - d$ ;

$u_{n} + 3 = 10$ ;

$u_{n + 1} + 9 = 16 + d$ .

Theo tính chất của cấp số nhân ta có:

$(9 - d) (16 + d) = 10^{2}$

$\Leftrightarrow d^{2} + 7 d - 44 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} d = - 11 \\ d = 4 \end{array}$ .

Thay các kết quả d vừa tìm được vào hệ (*), được ba số cần tìm là: 18; 7; -4 hoặc 3; 7; 11.