Bài 2.4 trang 46

Đề bài

Trong các dãy số $(u_{n})$ sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) $u_{n} = n - 1$ ;

b) $u_{n} = \frac{n + 1}{n + 2}$ ;

c) $u_{n} = \sin n$ ;

d) $u_{n} = {(- 1)}^{n - 1} n^{2}$ .

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Dãy số $(u_{n})$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho $u_{n} \leq M$ , $n \in N^{*}$ .

- Dãy số $(u_{n})$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số M sao cho $u_{n} \geq m$ , $n \in N^{*}$ .

- Dãy số $(u_{n})$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho $m \leq u_{n} \leq M$ , $n \in N^{*}$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $n \geq 1 \Rightarrow n - 1 \geq 0$

$\Rightarrow u_{n} \geq 0$ , $\forall n \in N^{*}$ .

Do đó, $(u_{n})$ bị chặn dưới bởi 0.

$(u_{n})$ không bị chặn trên vì không tồn tại số M nào để $n - 1 < M$ , $\forall n \in N^{*}$ .

b) Ta có: $\forall n \in N^{*}$ , $u_{n} = \frac{n + 1}{n + 2} > 0$ .

$u_{n} = \frac{n + 1}{n + 2} = \frac{n + 2 - 1}{n + 2}$

$= 1 - \frac{1}{n + 2} < 1$ , $\forall n \in N^{*}$ .

$\Rightarrow 0 < u_{n} < 1$ .

Vậy $(u_{n})$ bị chặn.

c) Ta có: $- 1 \leq \sin n \leq 1$

$\Rightarrow - 1 \leq u_{n} \leq 1$ , $\forall n \in N^{*}$ .

Vậy $(u_{n})$ bị chặn.

d) Ta có:

Nếu n chẵn, $u_{n} = - n^{2} < 0$ , $\forall n \in N^{*}$ .

Nếu n lẻ, $u_{n} = n^{2} > 0$ , $\forall n \in N^{*}$ .

Vậy $(u_{n})$ không bị chặn.