Bài 2.4 trang 49

Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un), biết:

Đề bài

Xét tính tăng, giảm của các dãy số (u_n), biết:

a) $u_{n} = - 4 - \frac{1}{n};$

b) $u_{n} = \frac{n - 5}{n + 2};$

c) $u_{n} = {(- 1)}^{n} n! .$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

So sánh $u_{n + 1}$ và $u_{n}$

Nếu $u_{n + 1} > u_{n} \forall n$ thì là dãy số tăng.

Nếu $u_{n + 1} < u_{n} \forall n$ thì là dãy số giảm.

Lời giải chi tiết

$\begin{array}{l} u_{n + 1} - u_{n} = - 4 - \frac{1}{n + 1} - (- 4 - \frac{1}{n}) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} > 0 \\ \Rightarrow u_{n + 1} > u_{n} \forall n \end{array}$

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

$\begin{array}{l} u_{n} = \frac{n - 5}{n + 2} = 1 - \frac{7}{n + 2} \\ u_{n + 1} - u_{n} = 1 - \frac{7}{n + 3} - (1 - \frac{7}{n + 2}) = \frac{7}{n + 2} - \frac{7}{n + 3} = 7 (\frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3}) > 0 \\ \Rightarrow u_{n + 1} > u_{n} \forall n \end{array}$

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{{(- 1)}^{n + 1} (n + 1)!}{{(- 1)}^{n} n!} = \frac{{(- 1)}^{n} . (- 1) n! (n + 1)}{{(- 1)}^{n} n!} = - (n + 1) < 0$

Do đó, $- (n + 1) < 1$

$\Rightarrow u_{n + 1} < u_{n} \forall n$

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.