Bài 2.5 trang 49

Đề bài

Chứng minh rằng các dãy số (u_n) cho bởi các công thức sau đây bị chặn:

a) $u_n=2+\frac{1}{n};$

b) $u_n=\frac{1}{n\left(n+1\right)};$

c) $u_n=\sin \left(n\right)+\cos \left(n\right).$

Lời giải chi tiết

a)

$\begin{array}{c}{u}_n=2+\frac{1}{n}\\ n\ge 1\iff 0<\frac{1}{n}\le 1\iff 2<2+\frac{1}{n}\le 3\end{array}$

Vậy dãy số đã cho là dãy bị chặn.

b)

$\begin{array}{c}{u}_n=\frac{1}{n\left(n+1\right)}\\ n\ge 1\iff n+1\ge 2\Rightarrow n\left(n+1\right)\ge 2\\ \Rightarrow 0<\frac{1}{n\left(n+1\right)}\le \frac{1}{2}\end{array}$

Vậy dãy số đã cho là dãy bị chặn.

c)

$\begin{array}{c}{u}_n=\sin \left(n\right)+\cos \left(n\right)\\ \{\begin{array}{c}-1\le \sin \left(n\right)\le 1\\ -1\le \cos \left(n\right)\le 1\end{array}\\ \Rightarrow -2\le \sin \left(n\right)+\cos \left(n\right)\le 2\end{array}$

Vậy dãy số đã cho là dãy bị chặn.