Bài 2. Biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức và áp dụng

Giải mục 1 trang 15, 16, 17 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Giải mục 2 trang 17, 18, 19, 20 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Giải bài 1.6 trang 20 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tại một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử, các linh kiện được sắp xếp vào từng hộp một cách độc lập, mỗi hộp 10 linh kiện. Hộp được xếp loại I nếu hộp đó có nhiều nhất một linh kiện không đạt tiêu chuẩn. Biết rằng xác suất để nhà máy sản xuất ra một linh kiện điện tử không đạt tiêu chuẩn là 0,01. Hỏi tỉ lệ những hộp linh kiện điện tử loại I là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Gọi X là số linh kiện không đạt tiêu chuẩn thì X là một biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với tham số n = 10, p = 0,01 tức là

Hộp được xếp loại I nếu hộp đó có nhiều nhất một linh kiện không đạt tiêu chuẩn tức là .

Theo chú ý về phân bố nhị thức ta có:

Vậy tỉ lệ những hộp linh kiện điện tử loại I là 99,6%.

Giải bài 1.7 trang 20 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một bài thi trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm, mỗi câu trả lời sai trừ 1 điểm. Một thí sinh làm bài bằng cách ở mỗi câu hỏi chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Tính xác suất để thí sinh đó sau khi hoàn thành hết 10 câu trong bài thi, có kết quả:

a) 15 điểm;

b) Bị âm điểm.

Lời giải chi tiết

Gọi X là số câu trả lời đúng của thí sinh. X là một biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với tham số tức là .

a) Thí sinh đạt 15 điểm thì có 5 câu trả lời đúng và 5 câu trả lời sai, tức là .

Khi đó, xác suất để thí sinh đó sau khi hoàn thành hết 10 câu trong bài thi, có kết quả 15 điểm là

b) Thí sinh bị điểm âm tức là thí sinh trả lời đúng nhiều nhất 1 câu, tức là .

Theo chú ý về phân bố nhị thức ta có, xác suất để thí sinh đó sau khi hoàn thành hết 10 câu trong bài thi, bị âm điểm là:

Giải bài 1.8 trang 20 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong một trò chơi, mỗi ván người chơi gieo đồng thời 3 xúc xắc cân đối, đồng chất. Nếu có ít nhất 2 xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm thì người chơi giành chiến thắng ván chơi đó. Bác Hưng tham gia chơi 3 ván. Tính xác suất để bác Hưng thắng ít nhất 2 ván.

Lời giải chi tiết

Xác suất để một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm là $\frac{1}{6}$.

Gọi X là số con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm. Khi đó,

Bác Hưng thắng cuộc 1 ván khi X ≥ 2.

Xác suất để bác Hưng thắng cuộc 1 ván là:

Gọi Y là số ván thắng của bác Hưng. Khi đó,

Xác suất để bác Hưng thắng ít nhất 2 ván là:

Giải bài 1.9 trang 20 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Màu hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình: màu vàng và màu xanh. Có hai gene ứng với hai kiểu hình này là allele trội A và allele lặn a. Khi cho lai hai cây đậu Hà Lan, cây con lấy ngẫu nhiên một gene từ cây bố và một gene từ cây mẹ để hình thành một cặp gene. 

Bốn bạn An, Bình, Sơn và Dương, mỗi bạn độc lập với nhau, thực hiện phép thử là lai hai cây đậu Hà Lan, trong đó cây bố có kiểu gene là Aa, cây mẹ có kiểu gene là Aa.

Gọi X là số cây con có hạt màu vàng trong số 4 cây con.

a) Lập bảng phân bố xác suất của X.

b) Hỏi trung bình có bao nhiêu cây con có hạt màu xanh?

Lời giải chi tiết

a)

Xét phép thử T: “Lai hai cây đậu Hà Lan”. Kết quả về kiểu gene của cây con là \(\left\{ {{\rm{AA}}{\rm{,Aa}}{\rm{,aA}}{\rm{,aa}}} \right\}\)trong đó, 3 kiểu gene \(\left\{ {{\rm{AA}}{\rm{,Aa}}{\rm{,aA}}} \right\}\) có kiểu hình hạt màu vàng, kiểu gene aa có kiểu hình hạt màu xanh. Khi đó X là số cây con có hạt màu vàng trong số 4 cây con có phân bố nhị thức tức là \(X \sim B\left( {4;\frac{3}{4}} \right)\).

Giá trị của X thuộc tập {0; 1; 2; 3; 4}.

\(\begin{array}{l}P(X = 0) = C_4^0{\left( {\frac{3}{4}} \right)^0}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^4} = \frac{1}{{256}}{\rm{                   }}P(X = 1) = C_4^1{\left( {\frac{3}{4}} \right)^1}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^3} = \frac{{12}}{{256}}\\P(X = 2) = C_4^2{\left( {\frac{3}{4}} \right)^2}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} = \frac{{54}}{{256}}{\rm{                   }}P(X = 3) = C_4^3{\left( {\frac{3}{4}} \right)^3}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^1} = \frac{{108}}{{256}}\\P(X = 4) = C_4^4{\left( {\frac{3}{4}} \right)^4}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^0} = \frac{{81}}{{256}}\end{array}\)

Ta có bảng phân bố xác suất của \(X\) là:

b)

Gọi Y là số cây con có hạt màu xanh. Khi đó, \(Y \sim B\left( {4;\frac{1}{4}} \right)\)

Trung bình có \(E(Y) = 4.\frac{1}{4} = 1\) cây con có hạt màu xanh.

Giải bài 1.10 trang 21 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong một lớp học có 6 bóng đèn hoạt động độc lập với nhau. Mỗi bóng có xác suất bị hỏng là 0,25. Gọi X là số bóng sáng.

a) Gọi tên phân bố xác suất biến ngẫu nhiên X.

b) Biết rằng lớp học có đủ ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng sáng. Tính xác suất để lớp học đủ ánh sáng.

c) Tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.

Lời giải chi tiết

a) X là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với $n=6$; $p=0,75$.

b) Lớp học có đủ ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng sáng tức là $X\ge 4$.

Theo chú ý về phân bố nhị thức ta có:

$P\left(X\ge 4\right)=P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)$

$=C_6^4.{\left(\frac{3}{4}\right)}^4.{\left(\frac{1}{4}\right)}^2+C_6^5.{\left(\frac{3}{4}\right)}^5.{\left(\frac{1}{4}\right)}^1+C_6^6.{\left(\frac{3}{4}\right)}^6\approx 0,8306$.

c) $X\sim B(6;0,75)\Rightarrow \{\begin{array}{c}E\left(X\right)=6.0,75=4,5\\ V\left(X\right)=6.0,75.0,25=1,125\\ \sigma \left(X\right)=\sqrt{6.0,75.0,25}=1,061\end{array}$

Giải bài 1.11 trang 21 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Sơn và Tùng thi đấu bóng bàn với nhau. Trận đấu gồm 5 ván độc lập. Xác suất thắng của Sơn trong mỗi ván là $\frac{1}{4}$. Biết rằng mỗi ván không có kết quả hòa. Người thắng trận đấu nếu thắng ít nhất 3 ván đấu.

a) Gọi X là số trận thắng của Sơn. Hỏi X là biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất gì?

b) Tính xác suất để Sơn thắng Tùng trong trận đấu.

Lời giải chi tiết

a) X là biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất nhị thức với tham số $n=5;p=\frac{1}{4}$.

b) Sơn thắng Tùng trong trận đấu tức là X ≥ 3.

Theo chú ý về phân bố nhị thức ta có:

Giải bài 1.12 trang 21 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cam xuất khẩu được đóng thành từng thùng. Xác suất để một quả cam không đạt chất lượng là 0,03. Vì số lượng cam trong mỗi thùng rất lớn nên không thể kiểm tra toàn bộ số cam trong thùng, người ta lấy ngẫu nhiên từ thùng cam 20 lần một cách độc lập, mỗi lần lấy 1 quả để kiểm tra rồi trả lại nó vào thùng. Gọi X là số quả cam không đạt chất lượng.

a) Gọi tên phân bố xác suất biến ngẫu nhiên X.

b) Các thùng cam được phân thành ba loại theo cách sau:

Trong 20 lần lấy đó:

- Nếu tất cả các quả cam lấy ra đều đạt chất lượng thì thùng được xếp loại I;

- Nếu có 1 hoặc 2 quả cam không đạt chất lượng thì thùng được xếp loại II;

- Nếu có ít nhất 3 quả cam không đạt chất lượng thì thùng được xếp loại III.

Tính tỉ lệ các thùng cam được xếp loại I, II, III.

Lời giải chi tiết

a) X là biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất nhị thức với tham số

b)

Gọi A là biến cố: “Thùng cam được xếp loại I”

Khi đó,

Gọi B là biến cố: “Thùng cam được xếp loại II” tức là có 1 hoặc 2 quả cam không đạt chất lượng

Gọi C là biến cố: “Thùng cam được xếp loại III” tức là có ít nhất 3 quả cam không đạt chất lượng là biến cố: “Có nhiều nhất 2 quả cam không đạt chất lượng”

Vậy tỉ lệ các thùng cam được xếp loại I, II, III tương ứng là