Bài 2. Các phép toán vecto trong không gian - Toán 12 Cùng khám phá

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 55 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hình 2.7). Một vật bắt đầu di chuyển từ điểm A theo độ dịch chuyển bằng \(\overrightarrow {DC} \), sau đó tiếp tục di chuyển theo độ dịch chuyển bằng \(\overrightarrow {B'C'} \). Hỏi vật sẽ di chuyển đến điểm nào?

Phương pháp giải:

1. Xác định điểm đến sau khi di chuyển theo vectơ đầu tiên.

2. Xác định điểm đến tiếp theo sau khi di chuyển theo vectơ thứ hai.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Di chuyển từ A theo độ dịch chuyển \(\overrightarrow {DC} \)

Điểm A dịch chuyển theo \(\overrightarrow {DC} \) tức là di chuyển theo đoạn DC nhưng bắt đầu từ A. Vì \(D\) và A nằm trên cùng một mặt phẳng, nên khi dịch chuyển từ A theo độ dịch chuyển \(\overrightarrow {DC} \), vật sẽ đến điểm B (do A, D, B, C tạo thành một hình chữ nhật).

Bước 2: Di chuyển tiếp tục từ B theo độ dịch chuyển \(\overrightarrow {B'C'} \)

Điểm B dịch chuyển theo \(\overrightarrow {B'C'} \) tức là di chuyển theo đoạn B'C' nhưng bắt đầu từ B. Do B và B’ nằm trên cùng một mặt phẳng, nên khi dịch chuyển từ B theo độ dịch chuyển \(\overrightarrow {B'C'} \), vật sẽ đến điểm C (do B, B', C, C' tạo thành một hình chữ nhật).

Vậy, sau khi thực hiện hai bước di chuyển, vật sẽ đến điểm C.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 56 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC} \)_.

Phương pháp giải:

- Áp dụng quy tắc ba điểm.

- Sử dụng tính chất kết hợp và giao hoán của phép cộng vectơ.

Lời giải chi tiết:

- Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có: \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} \).

- Sử dụng tính chất kết hợp và giao hoán của phép cộng vectơ, ta suy ra: \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC} \).

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 56 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (Hình 2.10).

a) Tìm liên hệ giữa \(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).

b) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AC'} \).

Phương pháp giải:

a) Áp dụng quy tắc hình bình hành.

b) Sử dụng mối liên hệ đã chứng minh ở câu a và phép cộng của hai vectơ.

Lời giải chi tiết:

a) Trong hình hộp ABCD.A’B’C’D’ thì có đáy ABCD là hình bình hành.

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta được: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \).

b) Sử dụng phép cộng của hai vectơ, ta suy ra:

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {AC'} \).

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 57 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (Hình 2.10). Tìm vectơ \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {B'C'}  + \overrightarrow {DD'} \).

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc hình hộp vào hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

Lời giải chi tiết:

Vì BB’C’C là hình chữ nhật nên \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {B'C'} \).

Vì BB’D’D là hình chữ nhật nên \(\overrightarrow {D'D}  = \overrightarrow {B'B} \).

Thay \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {B'C'} \) và \(\overrightarrow {D'D}  = \overrightarrow {B'B} \) , đồng thời áp dụng quy tắc hình hộp, ta suy ra:

\(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {B'C'}  + \overrightarrow {DD'}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {BD'} \).

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 57 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (Hình 2.10). Tìm tổng của vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và vectơ đối của \(\overrightarrow {C'C} \).

Phương pháp giải:

- Sử dụng các tính chất của hình hộp.

- Xác định vectơ đối của \(\overrightarrow {C'C} \) dựa trên khái niệm: “Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng có cùng độ dài và ngược hướng. Vectơ đối của \(\vec a\) được kí hiệu là \( - \vec a\).”

- Áp dụng các tính chất của phép cộng hai vectơ và quy tắc hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

- Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật nên: \(\overrightarrow {C'C}  = \overrightarrow {A'A} \).

- Suy ra vectơ đối của \(\overrightarrow {C'C} \) cũng là vectơ đối của \(\overrightarrow {A'A} \).

- Áp dụng các tính chất của phép cộng hai vectơ và quy tắc hình bình hành, ta suy ra: \(\overrightarrow {AD}  + \left( { - \overrightarrow {C'C} } \right) = \overrightarrow {AD}  + \left( { - \overrightarrow {A'A} } \right) = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AD'} \).

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 58 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hình hộp ABCD.EFGH (Hình 2.12). Hãy tìm:

a) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {GH}  + \overrightarrow {EH} \);

b) \(\overrightarrow {FA}  - \overrightarrow {BD} \).

Phương pháp giải:

1. Sử dụng tính chất của các vectơ trong hình hộp để xác định các vectơ cần tìm.

2. Áp dụng quy tắc cộng và trừ vectơ.

Lời giải chi tiết:

a) Tìm \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {GH}  + \overrightarrow {EH} \):

Ta có:

\(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {DA} \)

và

\(\overrightarrow {GH}  = \overrightarrow {FE} ,\overrightarrow {EH}  = \overrightarrow {FG} \)

Nên:

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {GH}  + \overrightarrow {EH}  = \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {FE}  + \overrightarrow {FG}  = \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {FH}  = \overrightarrow {DB}  - \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow 0 \)

b) Tìm \(\overrightarrow {FA}  - \overrightarrow {BD} \):

Ta có:

\(\overrightarrow {FA}  = \overrightarrow {FE}  + \overrightarrow {EA} \)

và

\(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD} \)

Nên:

\(\overrightarrow {FA}  - \overrightarrow {BD}  = (\overrightarrow {FE}  + \overrightarrow {EA} ) - (\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD} )\)

Vì ABCD.EFGH là hình hộp nên ta có:\(\overrightarrow {FE}  = \overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {EA}  = \overrightarrow {FB} \)

Do đó:

\(\overrightarrow {FA}  - \overrightarrow {BD}  = (\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {FB} ) - (\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD} ) = \overrightarrow {FB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {FB}  - \overrightarrow {FG}  = \overrightarrow {GB} \).

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 58 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Một chất điểm chịu tác động bởi 3 lực \(\overrightarrow {{F_1}} \), \(\overrightarrow {{F_2}} \), \(\overrightarrow {{F_3}} \) có chung điểm đặt \(A\) và có giá vuông góc với nhau từng đôi một. Biết cường độ của các lực \(\overrightarrow {{F_1}} \), \(\overrightarrow {{F_2}} \), \(\overrightarrow {{F_3}} \) lần lượt là 10 N, 8 N và 5 N, xác định hợp lực của 3 lực và tính cường độ của hợp lực (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Phương pháp giải:

- Vì các lực \(\overrightarrow {{F_1}} \), \(\overrightarrow {{F_2}} \), \(\overrightarrow {{F_3}} \) có giá vuông góc với nhau từng đôi một, ta có thể coi chúng là các cạnh của một hình hộp chữ nhật trong không gian.

- Hợp lực \(\vec F\) của 3 lực này sẽ là đường chéo của hình hộp chữ nhật đó.

- Tính hợp lực: \(\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|}^2}} \)

Lời giải chi tiết:

Hợp lực \(\vec F\) của 3 lực này sẽ là đường chéo của hình hộp chữ nhật tạo bởi 3 lực đó.

Xác định độ lớn của các lực:

\(|\overrightarrow {{F_1}} | = 10{\rm{N}}\)

\(|\overrightarrow {{F_2}} | = 8{\rm{N}}\)

\(|\overrightarrow {{F_3}} | = 5{\rm{N}}\)

Tính hợp lực:

\(\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {{{10}^2} + {8^2} + {5^2}}  = \sqrt {189}  \approx 14N\)

Vậy hợp lực của 3 lực \(\overrightarrow {{F_1}} \), \(\overrightarrow {{F_2}} \), \(\overrightarrow {{F_3}} \) có cường độ xấp xỉ \(14{\rm{N}}\).

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 58 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hình hộp ABCD.EFGH có O và P tương ứng là giao điểm các đường chéo của hai đáy ABCD và EFGH. M là trung điểm của đoạn thẳng EP (Hình 2.14). Xét mối quan hệ về hướng và độ dài của các cặp vectơ:

a) và .

b) và .

Phương pháp giải:

- Kiểm tra xem hai vectơ có cùng phương hay không (cùng phương, ngược phương hay không cùng phương).

- Tính độ dài của các vectơ để so sánh.

Lời giải chi tiết:

a) Vectơ và :

Vì ABCD.EFGH là hình hộp nên (cùng hướng và có độ dài bằng nhau vì đều là đường chéo của hai đáy hình hộp).

Lại có: do P là trung điểm của PH nên .

Suy ra: .

b) Vectơ và :

Tương tự, vì ABCD.EFGH là hình hộp nên .

Lại có: mà ngược hướng với nên .

Suy ra: .

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 59 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hình chóp S.ABC. Điểm thuộc cạnh SA và .

a) Viết hệ thức liên hệ giữa các cặp vectơ và , và .

b) Tìm điểm sao cho .

Phương pháp giải:

a) Sử dụng định nghĩa và tính chất của vectơ để thiết lập các mối quan hệ giữa các vectơ đã cho.

b) Sử dụng hệ thức liên quan đến vectơ để tìm tọa độ của điểm N thỏa mãn điều kiện đã cho.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: .

Vì thuộc SA, nên . Do đó:

.

Ta cũng có: .

Suy ra: .

b) Tìm điểm sao cho .

Ta có: .

Suy ra: .

Tam giác SAB có đoạn thẳng MN song song với AB và thì từ định lý Talet ta suy ra N thuộc cạnh SB:

.

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 59 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trọng lực là lực hấp dẫn do Trái Đất tác dụng lên một vật, được tính theo công thức , trong đó là khối lượng của vật (đơn vị: kg), còn là vectơ gia tốc rơi tự do, có hướng đi xuống và có độ lớn . Xác định hướng và độ lớn của trọng lực (đơn vị: N) tác dụng lên quả bưởi có khối lượng .

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tính trọng lực:

- Thay các giá trị đã cho vào công thức để tính toán.

Lời giải chi tiết:

- Khối lượng của quả bưởi: .

- Gia tốc rơi tự do: .

- Trọng lực tác dụng lên quả bưởi được tính theo công thức: .

- Thay các giá trị vào: .

- Hướng của trọng lực: Hướng xuống dưới (theo chiều của vectơ ).

Kết luận:

- Độ lớn của trọng lực tác dụng lên quả bưởi là .

- Hướng của trọng lực là hướng xuống dưới.

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 60 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên các đường chéo AC và BF lấy các điểm , sao cho , (Hình 2.17).

a) Biểu diễn các vectơ , theo , , .

b) Từ đó suy ra MN//DE.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành kết hợp với các tính chất của phép nhân một số với một vectơ.

b) Tìm k (k≠0) sao cho thì hai vectơ đó song song.

Lời giải chi tiết:

a)

Do , nên .

- Biểu diễn

Sử dụng quy tắc ba điểm vào :

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

Thay vào (*) ta có:

- Biểu diễn

Sử dụng quy tắc ba điểm vào :

b) Từ câu a ta thấy suy ra MN // DE.

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 60 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có . Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc cạnh bên AA' (Hình 2.18).

a) Vẽ hai vectơ và lần lượt bằng và . ABC.MPQ có phải là hình lăng trụ không? Vì sao?

b) Trong mặt phẳng (MPQ), hãy xác định góc giữa hai vectơ , và so sánh góc đó với .

Phương pháp giải:

- Sử dụng định nghĩa và tính chất của vectơ kết hợp với khái niệm và các tính chất của hình lăng trụ.

- Hình lăng trụ là hình đa diện bao gồm 2 đáy nằm trên hai mặt phẳng song song và là hai đa giác bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: suy ra MP = AB và MP // AB (1)

Tương tự: suy ra MQ = A’C’ = AC và MQ // A’C’ // AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra .

ABC.MPQ có hai đáy song song và bằng nhau nên ABC.MPQ là hình lăng trụ.

b) Vì nên .

Mà góc giữa hai vectơ và là góc.

Vậy .

LT6

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 61 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hình lập phương . Tìm góc giữa vectơ và

a) vecto ;

b) vectơ ;

c) vectơ .

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất của hình lập phương để xác định góc của các vectơ.

Lời giải chi tiết:

Gọi độ dài cạnh của hình lập phương là .

a) Tìm góc giữa vectơ và vectơ :

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên .

Mà góc giữa và là và vì ABCD là hình vuông nên .

Suy ra .

b) Tìm góc giữa vectơ và vectơ :

Tương tự như câu a ta có: .

Mà góc giữa và là và vì ABCD là hình vuông nên .

Suy ra .

c) Tìm góc giữa vectơ và vectơ :

Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hình vuông ABCD và A’B’C’D’.

Vì O và O’ lần lượt là trung điểm của cạnh BD và B’D’ nên OO’ là đường trung bình của BB’D’D, suy ra .

Mà nên .

HĐ6

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 62 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trong không gian, cho hai vectơ khác . Từ một điểm tuỳ ý trong không gian, vẽ các vectơ sao cho , . (P) là mặt phẳng chứa giá của hai vectơ và (Hình 2.21).

a) Trong mặt phẳng , hãy viết biểu thức tính .

b) Hãy so sánh với .

Phương pháp giải:

1. Sử dụng định nghĩa của tích vô hướng trong mặt phẳng .

2. Sử dụng công thức của tích vô hướng để so sánh các biểu thức.

Lời giải chi tiết:

a) Trong mặt phẳng , biểu thức tính được tính như sau:

trong đó là góc giữa hai vectơ và .

b) Vì và , nên:

Do đó, ta có:

trong đó là góc giữa hai vectơ và .

Biểu thức này cho thấy rằng tích vô hướng của hai vectơ và trong mặt phẳng là bằng tích của độ lớn của hai vectơ và với cosin của góc giữa chúng. Vì vậy:

Điều này chứng minh rằng tích vô hướng của và trong mặt phẳng bằng tích vô hướng của và .

LT7

Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 63 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hãy tính:

a)

b)

c)

Phương pháp giải:

- Xác định độ dài của các vectơ và góc giữa chúng dựa vào tính chất của hình lập phương.

- Sử dụng công thức tích vô hướng để tính.

Lời giải chi tiết:

Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hình vuông ABCD và A’B’C’D’.

a) Tính .

Độ dài của (vì AB' và A'C' là các cạnh đường chéo của các mặt bên của hình lập phương).

ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên .

Góc giữa và là vì chúng là hai cạnh của tam giác đều AB’C.

Do đó: .

b) Tính .

Độ dài của và (cả hai đều là đường chéo của các mặt bên của hình lập phương).

Từ B vẽ một vectơ bằng với vectơ .

Vì D đối xứng với E qua tâm của hình vuông BB’C’C nên đường trung tuyến của tam giác cân BED có độ dài là .

Suy ra: .

Góc giữa và cũng là góc giữa và là .

Do đó: .

c) Tính .

Độ dài của và .

ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên .

Do và vuông góc với nhau nên góc giữa và Là 90°.

Suy ra: .

LT8

Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 63 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho tứ diện ABCD có , , và . Tính góc giữa hai vectơ và .

Phương pháp giải:

- Tính tích vô hướng của , từ đó suy ra mối liên hệ với tích vô hướng của hai vectơ và .

- Sử dụng công thức tích vô hướng giữa hai vectơ để tính cosin của góc giữa chúng:

.

Lời giải chi tiết:

Ta có: .

Mà: .

Suy ra: (vì nên ).

Sử dụng công thức tích vô hướng giữa hai vectơ để tính cosin của góc giữa chúng:

.

Vậy góc giữa hai vectơ và là .

LT9

Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 64 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Một chất điểm ở vị trí đỉnh của hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chất điểm chịu tác động bởi ba lực , , lần lượt cùng hướng với , và như Hình 2.25. Cường độ của các lực , và tương ứng là , và . Tính cường độ hợp lực của , và (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức quy tắc hình bình hành để tính tổng hợp lực của , .

_.

- Sau đó sử dụng kết quả vừa tính để tính tổng hợp lực với .

Lời giải chi tiết:

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên góc giữa và là 90°.

Suy ra lực vuông góc với . Vậy hợp lực của hai lực và là:

.

Vì tam giác ACC’ là tam giác vuông tại C nên ta có:

(vì CC’ là cạnh bên của hình lập phương còn AC là đường chéo của mặt bên nên ).

.

Hợp lực của , và là:

.