Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm Toán 11 Cùng khám phá
Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm - SGK Toán 11 Cùng khám phá
A. Lý thuyết
1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
| Hàm số \(y = {x^n}\) \((n \in {\mathbb{N}^*})\) có đạo hàm tại mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \(({x^n})' = n{x^{n - 1}}\). |
Ghi chú:
+ c’ = 0.
+ x’ = 1.
+ \((\sqrt x )' = \frac{1}{{2\sqrt x }}\) \((x \ne 0)\).
+ \(\left( {\frac{1}{x}} \right)' = - \frac{1}{{{x^2}}}\) \((x \ne 0)\).
2. Các quy tắc tính đạo hàm
a) Đạo hàm của tổng, hiệu hai hàm số
|
Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì (u + v)’= u’ + v’; (u – v)’ = u’ – v’. |
b) Đạo hàm của tích, thương hai hàm số
|
Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm trên khoảng xác định thì (u.v)’ = u’v + uv’; \(\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\) \((v = v(x) \ne 0)\). |
Lưu ý:
+ (k.u)’ = ku’ với \(k \in \mathbb{R}\).
+ \(\left( {\frac{k}{v}} \right)' = \frac{{kv'}}{{{v^2}}}\) với \(k \in \mathbb{R}\).
c) Đạo hàm của hàm hợp
* Hàm hợp
Cho hai hàm số f(u) và u = u(x). Hàm số y = f(u(x)) được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f(u) và u(x).
* Đạo hàm của hàm hợp
|
Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm tại x là u’(x) và u = f(u) có đạo hàm tại u là f’(u) thì hàm hợp g(x) = f(u(x)) có đạo hàm tại x là g’(x) = f’(u).u’(x). |
3. Đạo hàm của một số hàm số khác
a) Đạo hàm của hàm số lượng giác
|
+ (sinx)’ = cosx + (cosx)’ = -sinx + \((\tan x)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\), \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\) + \((\cot x)' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\), \(x \ne k\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\) |
b) Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit
|
Cho a > 0, \(a \ne 1\). + \(({a^x})' = {a^x}\ln a\) + \(({e^x})' = {e^x}\), \(x \in \mathbb{R}\) + \(({\log _a}x)' = \frac{1}{{x\ln a}}\), x > 0 + \((\ln x)' = \frac{1}{x}\), x > 0 |
B. Bài tập
Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số \(y = {x^5} - {x^3} + x - 10\).
Giải:
\(y' = \left( {{x^5}} \right)' - \left( {{x^3}} \right)' + \left( x \right)' - \left( {10} \right)' = 5{x^4} - 3{x^2} + 1\).
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = 4{x^2} - \frac{{\sqrt x }}{2} + \frac{5}{x}\).
b) \(y = (2{x^3} + 1)(\sqrt x - 3)\).
c) \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\).
Giải:
a) Với x > 0, ta có \(y = 4\left( {{x^2}} \right)' - \frac{1}{2}\left( {\sqrt x } \right)' + 5\left( {\frac{1}{x}} \right)' = 8x - \frac{1}{{4\sqrt x }} - \frac{5}{{{x^2}}}\).
b) Với x > 0, ta có \(y' = (2{x^3} + 1)'(\sqrt x - 3) + (2{x^3} + 1)(\sqrt x - 3)' = 6{x^2}(\sqrt x - 3) + (2{x^3} + 1)\frac{1}{{2\sqrt x }}\).
c) Với \(x \ne - 1\), ta có \(y' = \frac{{\left( {2x - 1} \right)'\left( {x + 1} \right) - \left( {2x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)'}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2(x + 1) - (2x - 1)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = {({x^2} + x)^8}\).
b) \(y = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}\).
Giải:
a) \(y = \left[ {{{({x^2} + x)}^8}} \right]' = ({x^2} + x)'.8{({x^2} + x)^{8 - 1}} = 8(2x + 1){({x^2} + x)^7}\).
b) \(y' = \left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right)' = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)'}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\frac{1}{{2\sqrt x }}\).
Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = 2\sin x - 3\cos x\).
b) \(y = x\tan x\).
c) \(y = \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right)\).
d) \(y = {\cos ^3}3x\).
Giải:
a) \(y' = 2\left( {\sin x} \right)' - 3\left( {\cos x} \right)' = 2\cos x + 3\sin x\).
b) Với \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \) \((k \in \mathbb{Z})\), ta có \(y = x'.\tan x + x.(\tan x)' = \tan x + \frac{x}{{{{\cos }^2}x}}\).
c) \(y = \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right)\).
d) \(y' = 3{\cos ^2}3x.(\cos 3x)' = - 3{\cos ^2}3x.(3x)'.\sin 3x = - 9{\cos ^2}3x.\sin 3x\).
Bài 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = {3^{2{x^2} - x}}\).
b) \(y = {\log _2}({x^2} + 2x + 3)\).
c) \(y = x{e^x}\).
Giải:
a) \(y' = (2{x^2} - x)'{.3^{2{x^2} - x}}.\ln 3 = (4x - 1){.3^{2{x^2} - x}}.\ln 3\).
b) \(y' = \frac{{({x^2} + 2x + 3)'}}{{({x^2} + 2x + 3)\ln 2}} = \frac{{2x + 2}}{{({x^2} + 2x + 3)\ln 2}}\).
c) \(y' = (x)'{e^x} + x({e^x})' = {e^x} + x{e^x}\).
Giải mục 1 trang 38, 39 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Hoạt động 1
a, Tính đạo hàm của hàm số \(y = {x^3}\) trên R
b, Dự đoán đạo hàm của hàm số \(y = {x^4},y = {x^5}\) trên R.
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số
Lời giải chi tiết:
a, Với mọi \({x_0} \in R\) ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^3} - x_0^3}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{(x - {x_0}).({x^2} + x.{x_0} + x_0^2)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} ({x^2} + x.{x_0} + x_0^2) = 3x_0^2\)
Suy ra \({y'}({x_0}) = 3x_0^2\)
Vậy đạo hàm của hàm số \(y = {x^3}\) trên R là \(3{x^2}\)
b, Dự đoán đạo hàm của hàm số \(y = {x^4},y = {x^5}\) trên R lần lượt là \(4{x^3},5{x^4}\)
Luyện tập 1
Tính đạo hàm của các hàm số \(f(x) = {x^{10}},g(x) = \sqrt[3]{x}\)
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức \({({x^n})'} = n.{x^{n - 1}}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \({({x^{10}})'} = 10{x^9}\)
\({(\sqrt[3]{x})'} = {({x^{\frac{1}{3}}})'} = \frac{1}{3}{x^{\frac{1}{3} - 1}} = \frac{1}{3}{x^{\frac{{ - 2}}{3}}} = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}}\)
Giải mục 2 trang 39, 40, 41, 42 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Hoạt động 2
Cho hàm số \(u(x) = {x^2}\) và \(v(x) = x\)
a, Tính \({u'}(x)\) và \({v'}(x)\)
b, Ở Ví dụ 4 của Bài 1 ta đã biết \({({x^2} + x)'} = 2x + 1\). Có nhận xét gì về mối liên hệ \({{\rm{[}}u(x) + v(x){\rm{]}}'}\) và \({u'}(x)\)+ \({v'}(x)\)
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức \({({x^n})'} = n.{x^{n - 1}}\)
Lời giải chi tiết:
a, Ta có: \({({x^2})'} = 2.{x^{2 - 1}} = 2x\)
\({x'} = 1.{x^{1 - 1}} = 1\)
b, Từ kết quả câu a, ta có: \({{\rm{[}}u(x) + v(x){\rm{]}}'}\)= \({u'}(x)\)+ \({v'}(x)\)
Luyện tập 2
Tính \({f'}(1)\) và \({f'}(4)\)biết \(f(x) = {x^2} + \sqrt x - \frac{1}{x}\)
Phương pháp giải:
Tính \({f'}(x)\) dựa vào công thức: \({({x^n})'} = n.{x^{n - 1}}\), \({(\sqrt x )'} = \frac{1}{{2\sqrt x }}\) và \({(\frac{1}{x})'} = \frac{{ - 1}}{{{x^2}}}\)
Thay x=1, x=4 để tính \({f'}(1)\), \({f'}(4)\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({f'}(x) = {({x^2} + \sqrt x - \frac{1}{x})'} = 2x + \frac{1}{{2\sqrt x }} + \frac{1}{{{x^2}}}\)
\({f'}(1) = 2.1 + \frac{1}{{2.1}} + \frac{1}{{{1^2}}} = 2 + \frac{1}{2} + 1 = \frac{7}{2}\)
\({f'}(4) = 2.4 + \frac{1}{{2.\sqrt 4 }} + \frac{1}{{{4^2}}} = 8 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} = \frac{{133}}{{16}}\)
Hoạt động 3
Cho hàm số \(u(x) = {x^3}\) và \(v(x) = {x^2}\)
a, Tính đạo hàm của hàm số y= u(x).v(x)
b, Hoàn thành bảng 7.2
c, So sánh kết quả câu a và b và rút ra nhận xét.
Phương pháp giải:
a, Tính u(x). v(x) rồi tính đạo hàm theo công thức \({({x^n})'} = n.{x^{n - 1}}\)
b, Tính \({u'}(x)\) và \({v'}(x)\) theo công thức \({({x^n})'} = n.{x^{n - 1}}\) và hoàn thành bảng
Lời giải chi tiết:
a, Ta có: \(u(x).v(x) = {x^3}.{x^2} = {x^5}\)
\( \Rightarrow {{\rm{[}}u(x).v(x){\rm{]}}'} = {({x^5})'} = 5{x^4}\)
b, Bảng 7,2
c, Nhận xét: \({{\rm{[}}u(x).v(x){\rm{]}}'} = \)\({u'}(x).v(x) + u(x).{v'}(x)\)
Luyện tập 3
Tính đạo hàm các hàm số sau:
a, \(y = ( - 2{x^2} + 3x + 1).\sqrt x \)
b, \(y = \frac{{2{x^2} - 1}}{{1 - 3x}}\)
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức đạo hàm: \({(u.v)'} = {u'}.v + u.{v'}\)
\({(\frac{u}{v})'} = \frac{{{u'}.v - u.{v'}}}{{{v^2}}}\)
Lời giải chi tiết:
a, Ta có: \(\begin{array}{l}{y'} = {( - 2{x^2} + 3x + 1)'}.\sqrt x + ( - 2{x^2} + 3x + 1).{(\sqrt x )'}\\ = ( - 4x + 3).\sqrt x + ( - 2{x^2} + 3x + 1).\frac{1}{{2\sqrt x }}\\ = - 4x\sqrt x + 3\sqrt x - x\sqrt x + \frac{3}{2}\sqrt x + \frac{1}{{2\sqrt x }}\\ = - 5x\sqrt x + \frac{9}{2}\sqrt x + \frac{1}{{2\sqrt x }}\end{array}\)
b, Ta có: \(\begin{array}{l}{y'} = \frac{{{{(2{x^2} - 1)}'}.(1 - 3x) - (2{x^2} - 1).{{(1 - 3x)}'}}}{{{{(1 - 3x)}^2}}}\\ = \frac{{4x.(1 - 3x) - (2{x^2} - 1).( - 3)}}{{{{(1 - 3x)}^2}}} = \frac{{4x - 12{x^2} + 6{x^2} - 3}}{{{{(1 - 3x)}^2}}}\\ = \frac{{4x - 6{x^2} - 3}}{{{{(1 - 3x)}^2}}}\end{array}\)
Vận dụng 1
Điện lượng Q ( đơn vị: C) truyền trong một dây dẫn tại thời điểm t ( giây) được tính bởi \(Q(t) = {t^3} - 3{t^2} + 5t + 1\). Biết rằng cường độ dòng điện tại thời điểm t là I(t) ( đơn vị :A) có giá trị bằng với \({Q'}(t)\)
a, Tính cường độ dòng điện tại thời điểm \(t = \frac{1}{2}\) giây và t= 2 giây. Tại thời điểm nào thì cường độ dòng điện lớn hơn.
b, Tìm thời điểm mà cường độ dòng điện đạt giá trị nhỏ nhất.
Phương pháp giải:
a, Tính I(t) = \({Q'}(t)\). Thay giá trị \(t = \frac{1}{2}\) và t= 2
b, Áp dụng hằng đẳng thức tìm min.
Lời giải chi tiết:
a, Ta có: I(t) = \({Q'}(t) = {({t^3} - 3{t^2} + 5t + 1)'} = 3{t^2} - 6t + 5\)
Thay giá trị \(t = \frac{1}{2}\) và t= 2 ta được:
\(I(\frac{1}{2}) = 3.{(\frac{1}{2})^2} - 6.\frac{1}{2} + 5 = \frac{3}{4} - 3 + 5 = \frac{{11}}{4}\)
\(I(2) = {3.2^2} - 6.2 + 5 = 5\)
b, Ta có: \(I(t) = 3{t^2} - 6t + 5 = 3.({t^2} - 2t + 1) + 2 = 3.{(t - 1)^2} + 2\)
Vì \({(t - 1)^2} \ge 0 \Rightarrow 3.{(t - 1)^2} + 2 \ge 2\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của cường độ dòng điện là 2(A) tại t= 2 giây.
Hoạt động 4
Cho hai hàm số \(f(u) = {u^4}\) và \(u(x) = 2{x^2} + 1\)
a, Tính giá trị của u(1) và f(u(1)
b, Trong biểu thức của f(u), nếu ta thay biến u bởi u(x) thì ta thu được một biểu thức theo biến x. Hãy viết ra biểu thức này.
Phương pháp giải:
Thay x=1 để tính u(1) và thay u(1) để tính f(u(1))
Lời giải chi tiết:
a, Thay x=1 ta được: \(u(1) = {2.1^2} + 1 = 3\)
Thay u(1)=3 vào f(u) ta được: f(u(1))=\({3^4} = 81\)
b, Ta có: \(f(u) = {u^4} = {(2{x^2} + 1)^4}\)
Luyện tập 4
Hàm số \(y = {e^{3x - {x^2}}}\) là hàm hợp của hai hàm số nào?
Phương pháp giải:
Hàm số là hàm hợp của \({e^u}\) và \(u = 3x - {x^2}\)
Lời giải chi tiết:
Hàm số là hàm hợp của \({e^u}\) và \(u = 3x - {x^2}\)
Hoạt động 5
Cho hàm số \(f(u) = {u^2}\) và \(u(x) = {x^2} + 1\). Hàm hợp của hàm số f và u là \(y = f(u(x)) = {({x^2} + 1)^2}\)
a, Tìm \({y'}\)bằng cách khai triển biểu thức \({({x^2} + 1)^2}\)và áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm tổng
b, Một học sinh cho rằng: Vì \({({u^2})'} = 2u\) nên \({y'} = {\rm{[}}{({x^2} + 1)^2}{\rm{]}} = 2({x^2} + 1)\). Kết quả này đúng hay sai.
c, Tính \({f'}(u).{u'}(x)\) và so sánh kết quả \({y'}\) ở câu a, sau đó rút ra nhận xét.
Phương pháp giải:
a, Sử dụng khai triển hằng đẳng thức và áp dụng quy tắc tính đạo hàm
b, Dụa vào kết quả câu a và kết luận
c, Tính \({f'}(u).{u'}(x)\)
Lời giải chi tiết:
a, Ta có: \({({x^2} + 1)^2} = {x^4} + 2{x^2} + 1\)
\( \Rightarrow {y'} = {({x^4} + 2{x^2} + 1)'} = 4{x^3} + 4x\)
b, Kết quả của câu b là sai
c, Ta có:
\(\begin{array}{l}f'(u) = 2u\\u'(x) = 2x\\ \Rightarrow f'(u).u'(x) = 2u.2x = 2.({x^2} + 1).2x = 4{x^3} + 4x\end{array}\)
Nhận xét: \(f'(x) = f'(u).{u'}(x)\)
Luyện tập 5
Tính đạo hàm các hàm số sau:
a, \(y = \sqrt {7 - 3x} \)
b, \(y = {(2\sqrt x + \frac{1}{x})^3}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng đạo hàm của hàm hợp \(f'(x) = f'(u).{u'}(x)\) và các quy tắc tính đạo hàm
Lời giải chi tiết:
a, Ta có: \({y'} = {(\sqrt {7 - 3x} )'} = \frac{1}{{2\sqrt {7 - 3x} }}.{(7 - 3x)'} = \frac{{ - 3}}{{2.\sqrt {7 - 3x} }}\)
b, Ta có: \(\begin{array}{l}{y'} = 3.{(2\sqrt x + \frac{1}{x})^2}.{(2\sqrt x + \frac{1}{x})'} = 3.(2\sqrt x + \frac{1}{x}).(2.\frac{1}{{2\sqrt x }} - \frac{1}{{{x^2}}})\\ = 3.(2.\sqrt x + \frac{1}{x}).(\frac{1}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{{x^2}}})\end{array}\)
Giải mục 3 trang 42, 43, 44, 45 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Hoạt động 6
Xét hàm số \(y = \sin x\)
Cho biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1\). Bằng định nghĩa hãy tính đạo hàm của hàm số \(y = \sin x\) tại điểm \({x_0}\) bất kì.
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số
Lời giải chi tiết:
Với mọi \({x_0} \in R\) ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}{{\rm{x}}_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2.\cos \frac{{x + {x_0}}}{2}.\sin \frac{{x - {x_0}}}{2}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \cos \frac{{x + {x_0}}}{2}.\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sin \frac{{x - {x_0}}}{2}}}{{\frac{{x - {x_0}}}{2}}} = \cos {x_0}\)
Vậy \({y'} = \cos x\)
Hoạt động 7
a, Từ công thức \(\cos x = \sin (\frac{\pi }{2} - x)\) và quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp, chứng minh rằng: \({(\cos x)'} = - \sin x\)
b, Từ các công thức \(\tan x = \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{\cos x}}\), \(\cot x = \frac{{\cos x}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}\) và các quy tắc tính đạo hàm của thương, chứng minh rằng: \({(\tan x)'} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) và \({(\cot x)'} = \frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\)
Phương pháp giải:
a, Sử dụng hàm hợp và \({({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}})'} = \cos x\)
b, Sử dụng quy tắc \({(\frac{u}{v})'} = \frac{{{u'}.v - u.{v'}}}{{{v^2}}}\)
Lời giải chi tiết:
a, Ta có: \({(\cos x)'} = {{\rm{[}}\sin (\frac{\pi }{2} - x){\rm{]}}'} = \cos (\frac{\pi }{2} - x).{(\frac{\pi }{2} - x)'} = - \cos (\frac{\pi }{2} - x) = - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\)
b, Ta có: \({(\tan x)'} = \frac{{{{({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx)}}}'}.\cos x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}.{{(\cos x)}'}}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)
\({(\cot x)'} = \frac{{{{(\cos x)}'}.{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - \cos x.{{({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}})}'}}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{i}}{{\rm{n}}^2}{\rm{x}}}} = \frac{{ - ({{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x)}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\)
Luyện tập 6
Tính đạo hàm các hàm số sau:
a, \(y = 3\cot x - \frac{{\tan x}}{2} + 1\)
b, \(y = \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{x}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng các quy tắc :\({(\tan x)'} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) ,\({(\cot x)'} = \frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\), \({({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}})'} = \cos x\)
Lời giải chi tiết:
a, \({y'} = {(3\cot x - \frac{{\tan x}}{2} + 1)'} = \frac{{ - 3}}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{1}{{2{{\cos }^2}x}}\)
b, \({y'} = {(\frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{x})'} = \frac{{{{({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}})}'}.x - {x'}.{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{{x^2}}} = \frac{{\cos x.x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{{{x^2}}}\)
Vận dụng 2
Phương trình chuyển động của một con lắc lò xo quanh vị trí cân bằng O là \(x = 4.\cos 2t\), trong đó t được tính bằng giây và x được tính bằng cm. Biết rằng vận tốc của con lắc ở thời điểm t được tính bởi \(v(t) = {x'}(t)\)
a, Tính vận tốc của con lắc tại thời điểm \(t = \frac{{7\pi }}{{12}}\)
b, Tìm thời điểm đầu tiên con lắc đạt vận tốc lớn nhất
Phương pháp giải:
a, Tính \(v(t) = {x'}(t)\) và thay \(t = \frac{{7\pi }}{{12}}\)
b, Từ câu a tìm thời điểm con lắc đạt vận tốc lớn nhất
Lời giải chi tiết:
a, Ta có: \(v(t) = {x'}(t) = {(4.\cos 2t)'} = 4.2. - \sin 2t = - 8.\sin 2t\)
Thay \(t = \frac{{7\pi }}{{12}}\) ta được: \(v(\frac{{7\pi }}{{12}}) = - 8\sin \left( {2.\frac{{7\pi }}{{12}}} \right) = - 8.\sin \left( {\frac{{7\pi }}{6}} \right) = 4\) (cm/s)
b, Ta có: \( - 1 \le \sin 2t \le 1\)\( \Rightarrow - 8 \le - 8\sin 2t \le 8\)
Con lắc đạt vận tốc lớn nhất khi sin 2t=-1\( \Rightarrow 2t = \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow t = \frac{{3\pi }}{4}\)
Hoạt động 8
Xét hàm số \(y = {e^x}\)
Cho biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1.\)Bằng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số \(y = {e^x}\) tại điểm \({x_0}\) bất kì.
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm
Lời giải chi tiết:
Với mọi \({x_0} \in R\) ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{e^x} - {e^{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{({e^{x - {x_0}}} - 1){e^{{x_0}}}}}{{x - {x_0}}} = {e^{{x_0}}}\)
Vậy \({y'} = {e^x}\).
Hoạt động 9
a, Từ công thức \({a^x} = {e^{x\ln a}}\) và quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp, hãy tìm công thức tính đạo hàm của hàm số \(y = {a^x}\)
b, Từ công thức \({\log _a}x = \frac{{\ln x}}{{\ln a}}\) và các quy tắc tính đạo hàm đã biết, hãy tìm công thức tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _a}x\)
Phương pháp giải:
a, Sử dụng công thức \({({e^x})'} = {e^x}\)
b, Sử dụng quy tắc \({(\frac{u}{v})'} = \frac{{{u'}.v - u.{v'}}}{{{v^2}}}\)
Lời giải chi tiết:
a, Ta có: \({({a^x})'} = {({e^{x\ln a}})'} = {(x.\ln a)'}.{e^{x.\ln a}} = \ln a.{e^{x.\ln a}} = \ln a.{a^x}\)
b, Ta có: \({({\log _a}x)'} = {(\frac{{\ln x}}{{\ln a}})'} = \frac{{{{(\ln x)}'}.\ln a - \ln x.{{(\ln a)}'}}}{{{{\ln }^2}a}} = \frac{{\frac{1}{x}.\ln a}}{{{{\ln }^2}a}} = \frac{1}{{x.\ln a}}\)
Luyện tập 7
Tính đạo hàm các hàm số sau:
a,\(y = {4^{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x}}\)
b, \(y = \ln (1 + \sqrt x )\)
c, \(y = \frac{{\ln x}}{x}\)
Phương pháp giải:
a, Sử dụng đạo hàm hàm hợp \({y'} = {({a^u})'} = {u'}{a^u}.\ln a\)
b, Sử dụng đạo hàm hàm hợp \({y'} = {(\ln u)'} = \frac{{{u'}}}{u}\)
c, Sử dụng quy tắc \({(\frac{u}{v})'} = \frac{{{u'}.v - u.{v'}}}{{{v^2}}}\)
Lời giải chi tiết:
a, Ta có: \(\begin{array}{l}{y'} = {({4^{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x}})'} = {({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x)'}{.4^{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x}}.\ln 4\\ = (\cos x - \sin x){.4^{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x}}.\ln 4\end{array}\)
b, Ta có: \({y'} = {{\rm{[}}\ln (1 + \sqrt x ){\rm{]}}'} = \frac{{{{(1 + \sqrt x )}'}}}{{1 + \sqrt x }} = \frac{1}{{2\sqrt x .(1 + \sqrt x )}}\)
c, Ta có: \({y'} = {(\frac{{\ln x}}{x})'} = \frac{{{{(\ln x)}'}.x - {x'}.\ln x}}{{{x^2}}} = \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}\)
Vận dụng 3
Nồng độ C (\(\eta g/l\)) của loại thuốc A một người uống vào sau t giờ cho bởi hàm số sau \(C(t) = 6,2.{t^4}.{e^{ - 0,5t}}\). Biết rằng nồng độ C sẽ tăng lên trong 8 giờ đầu tiên và tốc độ tăng của nồng độ C tại thời điểm t được tính bởi công thức \({C'}(t)\):
a, Tính tốc độ tăng nồng độ của thuốc A tại thời điểm \({t_0} = 1\)
b, Trong hai thời điểm \({t_0} = 1\) và \({t_1} = 5\) thời điểm nào nồng độ thuốc A tăng nhanh hơn?
Phương pháp giải:
a, Tính đạo hàm của hàm số C(t) và thay \({t_0} = 1\)
b, Thay \({t_0} = 1\) và \({t_1} = 5\) và so sánh
Lời giải chi tiết:
a, Ta có:
\(\begin{array}{l}{C'}(t) = {(6,2.{t^4}.{e^{ - 0,5t}})'} = 6,2.(4{t^3}.{e^{ - 0,5t}} + {t^4}.( - 0,5).{e^{ - 0,5t}})\\ = 24,8{t^3}.{e^{ - 0,5t}} - 3,1.{t^4}.{e^{ - 0,5t}}\end{array}\)
\({C'}(1) = 24,{8.1^3}.{e^{ - 0,5}} - 3,{1.1^4}.{e^{ - 0,5}} = 21,7.{e^{ - 0,5}} \approx 13,1617\)
b, \({C'}(5) = 24,{8.5^3}.{e^{ - 0,5.5}} - 3,{1.5^4}.{e^{ - 0,5.5}} \approx 95,4238\)
Vậy nồng độ tại thời điểm t=5 giây có nồng độ cao hơn.
Bài 7.6 trang 45 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) \(y = {x^4} + 3{x^3} - 2\sqrt x \).
b) \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\).
c) \(y = ({x^2} + 1).\cot x\).
d) \(y = {e^x}.{\log _2}x\).
e) \(y = \sqrt {{2^x} + 1} \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng công thức \({({x^n})'} = n.{x^{n - 1}}\), \({(\sqrt x )'} = \frac{1}{{2\sqrt x }}\).
b) Sử dụng quy tắc \({(\frac{u}{v})'} = \frac{{{u'}.v - u.{v'}}}{{{v^2}}}\).
c) Sử dụng quy tắc \({(u.v)'} = {u'}v + u.{v'}\).
d) Sử dụng quy tắc \({(u.v)'} = {u'}v + u.{v'}\).
e) Sử dụng đạo hàm của hàm hợp \({(\sqrt u )'} = \frac{{{u'}}}{{2\sqrt u }}\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(y' = ({x^4} + 3{x^3} - 2\sqrt x )' = 4{x^3} + 9{x^2} - \frac{1}{{\sqrt x }}\).
b) Ta có: \(y' = (\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}})' = \frac{{({x^2} + 2x + 2)'.(x + 1) - ({x^2} + 2x + 2).(x + 1)'}}{{{{(x + 1)}^2}}}\)
\(\frac{{(2x + 2).(x + 1) - ({x^2} + 2x + 2)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{2.({x^2} + 2x + 1) - ({x^2} + 2x + 2)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{(x + 1)}^2}}}\).
c) Ta có: \(y' = {\rm{[}}({x^2} + 1).\cot x{\rm{]'}} = ({x^2} + 1)'.\cot x + ({x^2} + 1).(\cot x)'\)
\( = 2x.\cot x + ({x^2} + 1).\frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\).
d) Ta có: \(y' = ({e^x}.{\log _2}x)' = ({e^x})'.{\log _2}x + {e^x}.({\log _2}x)' = {e^x}.{\log _2}x + {e^x}.\frac{1}{{x.\ln 2}}\).
e) Ta có: \(y' = (\sqrt {{2^x} + 1} )' = \frac{{({2^x} + 1)'}}{{2\sqrt {{2^x} + 1} }} = \frac{{{2^x}.\ln 2}}{{2\sqrt {{2^x} + 1} }}\).
Bài 7.7 trang 45 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Tính đạo hàm các hàm số sau:
a, \(y = {e^{\tan x}}\)
b, \(y = {\ln ^2}(2x + 1)\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a, Sử dụng công thức \({({e^u})'} = {u'}.{e^u}\)
b, Sử dụng công thức hàm hợp \(y = {u^2},u = \ln (2x + 1)\)
Lời giải chi tiết
a, Ta có: \({y'} = {({e^{\tan x}})'} = {(\tan x)'}.{e^{\tan x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}.{e^{\tan x}}\)
b, Ta có: \({y'} = {{\rm{[}}{\ln ^2}(2x + 1){\rm{]}}'} = 2\ln (2x + 1).{{\rm{[}}\ln (2x + 1){\rm{]}}'} = 2.\ln (2x + 1).\frac{2}{{2x + 1}} = \frac{{4.\ln (2x + 1)}}{{2x + 1}}\)
Bài 7.8 trang 45 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Cho parabol (P) . Viết phương trình tiếp tuyến của (P) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 5.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tính \({y'}\) và giải phương trình \({y'} = {f'}({x_0}) = 5\) để xác định tọa độ tiếp điểm
Lời giải chi tiết
Ta có: \({y'} = {(2{x^2} - 3x + 1)'} = 4x - 3\)
Vì hệ số góc của tiếp tuyến bằng 5 ta có: \({y'} = {f'}({x_0}) = 5 \Rightarrow 4{x_0} - 3 = 5 \Rightarrow {x_0} = 2\)\( \Rightarrow f({x_0}) = {2.2^2} - 3.2 + 1 = 3\)
Vậy phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 5 tại điểm (2,3) là:
y = 5. (x – 2)+3= 5x – 7
Bài 7.9 trang 45 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Nếu một quả bóng được ném lên từ vị trí cách mặt đất 1 mét với vận tốc đầu là 24,5 m/s thì chiều cao của quả bóng sau t giây ( trước khi quả bóng chạm đất) được tính bởi \(h(t) = 1 + 24,5t - 4,9{t^2}\). Biết rằng vận tốc của quả bóng tại thời điểm t được tính bởi \(v(t) = {h'}(t)\)
a, Tính vận tốc của quả bóng sau 1 giây và sau 3 giây
b, Tại thời điểm quả bóng rơi xuống còn cách mặt đất 1m thì vận tốc của nó bằng bao nhiêu?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tính \(v(t) = {h'}(t)\) và thay t=1 và t=3
Cho h(t)=1 để tìm t. Từ đó xác định được vận tốc của quả bóng
Lời giải chi tiết
a, Ta có: \(v(t) = {h'}(t) = {(1 + 24,5t - 4,9{t^2})'} = 24,5 - 9,8t\)
Thay t =1 và t =3 ta được:
\(v(1) = 24,5 - 9,8.1 = 24,5 - 9,8 = 14,7\)m/s
\(v(3) = 24,5 - 9,8.3 = 24,5 - 29,4 = - 5,1\)
b, Ta có: h(t)=1\( \Rightarrow 1 + 24,5t - 4,9{t^2} = 1 \Rightarrow t.(24,5 - 4,9t) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 5\end{array} \right.\)
\(v(5) = 24,5 - 9,8.5 = 24,5 - 49 = - 24,5\)
Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP11
Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!