Bài 2. Các quy tắc tính xác suất - Toán 12 Cùng khám phá

Lý thuyết Các quy tắc tính xác suất Toán 12 Cùng khám phá

1. Công thức xác suất toàn phần

Cho hai biến cố A và B với 0 < P(B) < 1. Khi đó $P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)$ gọi là công thức xác suất toàn phần.

Ví dụ 1: Người ta khảo sát khả năng chơi nhạc cụ của một nhóm học sinh tại trường X. Nhóm này có 60% học sinh là nam. Kết quả khảo sát cho thấy 20% học sinh nam và 15% học sinh nữ biết chơi ít nhất một nhạc cụ.
Chọn ngẫu nhiên một sinh trong nhóm này. Tính xác suất để chọn được học sinh biết chơi ít nhất một nhạc cụ.

Giải:

Xét phép thử chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm.

Gọi A là biến cố "Chọn được một học sinh biết chơi ít nhất một nhạc cụ" và B, $\overline{B}$ lần lượt là các biến cố "Chọn được học sinh nam" và "Chọn được một học sinh nữ".

Theo đề bài: $P\left(B\right)=60\%=0,6$; ;

;

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

Vậy xác suất để chọn được một học sinh biết chơi nhạc cụ là 0,18 hay 18%.

Ví dụ 2: Có hai hộp đựng các viên bi cùng kích thước và khối lượng. Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh, hộp thứ hai chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai, sau đó lấy ra ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ hai. Tính xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ.

Giải:

Cách 1:

Gọi:

A là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ";

B là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ";

 là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh".

Ta có: ; .

Nếu viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi đỏ thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 7 bi đỏ và 4 bi xanh. Do đó .

Nếu viên bi được lấy ra từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai là bi xanh thì sau khi chuyển, hộp thứ hai có 6 bi đỏ và 5 bi xanh. Do đó .

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

.

Vậy xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ bằng .

Cách 2:

Gọi:

A là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ";

C là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi của hộp thứ nhất";

 là biến cố "Viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi của hộp thứ hai".

Sau khi chuyển một viên bi từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai thì hộp thứ hai có 11 viên bi.

Ta có: ; .

Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ của hộp thứ nhất: .

Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ của hộp thứ hai: .

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

.

Vậy xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ bằng .

2. Công thức Bayes

Với hai biến cố A, B mà P(A) > 0:

Lưu ý: Do nên công thức Bayes còn có dạng .

Ví dụ 1: Cho hai biến cố A, B sao cho P(A) = 0,6; P(B) = 0,4; P(A|B) = 0,3. Tính P(B|A).

Giải:

Áp dụng công thức Bayes, ta có: .

Ví dụ 2: Kết quả khảo sát tại một xã cho thấy có 20% cư dân hút thuốc lá. Tỉ lệ cư dân thường xuyên gặp các vấn đề sức khỏe về đường hô hấp trong số những người hút thuốc lá và không hút thuốc lá lần lượt là 70%, 15%.

a) Nếu ta gặp một cư dân của xã thì xác suất người đó thường xuyên gặp các vấn đề sức khỏe về đường hô hấp là bao nhiêu?

b) Nếu ta gặp một cư dân của xã thường xuyên gặp các vấn đề sức khỏe về đường hô hấp thì xác suất người đó có hút thuốc lá là bao nhiêu?

Giải:

Giả sử ta gặp một cư dân của xã, gọi A là biến cố "Người đó có hút thuốc lá" và B là biến cố "Người đó thường xuyên gặp các vấn đề sức khỏe về đường hô hấp". Ta có sơ đồ hình cây sau:

a) Ta có: 

Vậy nếu ta gặp một cư dân của xã thì xác suất người đó thường xuyên gặp các vấn đề sức khỏe về đường hô hấp là 26%.

b) Theo công thức Bayes, ta có: 
Vậy nếu ta gặp một cư dân của xã thường xuyên gặp các vấn đề sức khỏe về đường hô hấp thì xác suất người đó có hút thuốc lá là khoảng 54%.

Giải mục 1 trang 97, 98, 99 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Giải mục 2 trang 100, 101 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Giải bài tập 6.6 trang 101 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong một kì sát hạch lái xe có 65% thí sinh nam. Biết rằng 80% thí sinh nam và 70% thí sinh nữ đỗ kì sát hạch này.

a) Tính tỉ lệ thí sinh đỗ kì sát hạch này.

b) Chọn ngẫu nhiên một thí sinh đã đỗ kì sát hạch. Tính xác suất thí sinh đó là nữ.

Lời giải chi tiết

* Theo đề bài, ta có các dữ kiện:

- Tỉ lệ thí sinh nam: $P\left(B\right)=65\%=0,65$.

- Tỉ lệ thí sinh nữ: $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=0,35$.

- Xác suất thí sinh nam đỗ: $P\left(A|B\right)=80\%=0,8$.

- Xác suất thí sinh nữ đỗ: $P\left(A|\overline{B}\right)=70\%=0,7$.

* Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

$P\left(A\right)=P\left(A|B\right)\cdot P\left(B\right)+P\left(A|\overline{B}\right)\cdot P\left(\overline{B}\right).$

$P\left(A\right)=(0,8\cdot 0,65)+(0,7\cdot 0,35).$

$P\left(A\right)=0,52+0,245=0,765.$

 Vậy tỉ lệ thí sinh đỗ kì sát hạch là $P\left(A\right)=76,5\%$.

b) Áp dụng công thức Bayes:

$P\left(\overline{B}|A\right)=\frac{P\left(A|\overline{B}\right)\cdot P\left(\overline{B}\right)}{P\left(A\right)}.$

$P\left(\overline{B}|A\right)=\frac{0,7\cdot 0,35}{0,765}.$

 Vậy xác suất thí sinh đỗ là nữ là .

Giải bài tập 6.7 trang 101 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Bạn Nam tham gia một gian hàng trò chơi dân gian trong hội xuân của trường. Trò chơi có hai lượt chơi. Xác suất để Nam thắng ở lượt chơi thứ nhất là 0,6. Nếu Nam thắng ở lượt chơi thứ nhất thì xác suất Nam thắng ở lượt chơi thứ hai là 0,8. Ngược lại, nếu Nam thua ở lượt chơi thứ nhất thì xác suất Nam thắng ở lượt chơi thứ hai là 0,3.

a) Vẽ sơ đồ hình cây mô tả các khả năng xảy ra và xác suất tương ứng khi Nam tham gia trò chơi này.

b) Biết Nam đã thắng ở lượt chơi thứ hai, tính xác suất Nam thắng ở lượt chơi thứ nhất.

Lời giải chi tiết

a)

Gọi:

- $A$: Biến cố Nam thắng ở lượt thứ nhất.

- $B$: Biến cố Nam thắng ở lượt thứ hai.

Sơ đồ hình cây mô tả các khả năng và xác suất tương ứng như sau:

- $P\left(A\right)=0,6$, $P\left(\overline{A}\right)=0,4$.

- Nếu $A$ (Nam thắng lượt thứ nhất): $P\left(B|A\right)=0,8$, $P\left(\overline{B}|A\right)=0,2$.

- Nếu $\overline{A}$ (Nam thua lượt thứ nhất): $P\left(B|\overline{A}\right)=0,3$, $P\left(\overline{B}|\overline{A}\right)=0,7$.

b)

* Tính $P\left(B\right)$ bằng công thức xác suất toàn phần:

$P\left(B\right)=P\left(B|A\right)\cdot P\left(A\right)+P\left(B|\overline{A}\right)\cdot P\left(\overline{A}\right).$

$P\left(B\right)=(0,8\cdot 0,6)+(0,3\cdot 0,4)=0,48+0,12=0,6.$

* Tính $P\left(A|B\right)$ bằng định lý Bayes:

$P\left(A|B\right)=\frac{P\left(B|A\right)\cdot P\left(A\right)}{P\left(B\right)}.$

$P\left(A|B\right)=\frac{0,8\cdot 0,6}{0,6}=0,8.$

Giải bài tập 6.8 trang 102 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Giả sử có khoảng 40% thư điện tử (email) gửi đến một địa chỉ là thư rác. Người ta sử dụng một thuật toán để phân loại thư rác, biết rằng thuật toán này có thể phân loại đến 99% thư rác và tỉ lệ sai sót khi phân loại thư bình thường thành thư rác là 5%. Tính xác suất một thư điện tử là thư bình thường nếu thư này đã được phân loại đúng.

Lời giải chi tiết

Gọi

- : Thư điện tử là thư bình thường.

- : Thư điện tử là thư rác.

- : Thuật toán phân loại đúng.

Dữ kiện bài toán:

- , .

- Nếu thư là thư rác (), xác suất được phân loại đúng: .

- Nếu thư là thư bình thường (), xác suất được phân loại đúng:

.

Tính :

Tính : Áp dụng định lý Bayes:

Xác suất một thư điện tử là thư bình thường nếu thư này đã được phân loại đúng là khoảng .