Bài 2. Căn thức bậc hai - Toán 9 Cùng khám phá

Giải mục 1 trang 59 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 59 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Một tấm thảm hình chữ nhật có đường chéo là 5dm và chiều rộng là x(dm). Giải thích vì sao chiều dài của thảm là .

Phương pháp giải:

+ Xét hình chữ nhật ABCD có độ dài đường chéo , chiều rộng .

+ Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B để tính chiều dài AB.

Lời giải chi tiết:

Xét hình chữ nhật ABCD có .

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B ta có:

nên .

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 59 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Chỉ ra các căn thức bậc hai trong các biểu thức sau và tìm điều kiện để chúng xác định:

; ; ; ; .

Phương pháp giải:

+ Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi là căn bậc hai của A.

+ xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm.

Lời giải chi tiết:

Các biểu thức là căn thức bậc hai là: ; .

Ta thấy: với mọi số thực x nên với mọi số thực x. Do đó, xác định với mọi số thực x.

xác định khi , tức là .

Giải mục 2 trang 60 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 60 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Hãy chép lại và hoàn thành Bảng 3.1. Em có nhận xét gì về giá trị của và ?

Phương pháp giải:

Thay từng giá trị của x vào các căn thức và để tính giá trị tương ứng, từ đó rút ra nhận xét.

Lời giải chi tiết:

Ta thấy: .

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 60 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Rút gọn:

a) ;

b) với ;

c) với .

Phương pháp giải:

Với mọi biểu thức đại số A, ta có: .

Lời giải chi tiết:

a) (vì );

b) (vì nên );

c) (vì nên ).

Giải mục 3 trang 60, 61 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 60 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Hãy chép lại và hoàn thành Bảng 3.2. Em có nhận xét gì về giá trị của \(\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} \) và \(\sqrt {x + 1} .\sqrt {x + 3} \)?

Phương pháp giải:

Thay từng giá trị của x vào các căn thức \(\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} \) và \(\sqrt {x + 1} .\sqrt {x + 3} \) để tính giá trị tương ứng, từ đó rút ra nhận xét.

Lời giải chi tiết:

Ta thấy: \(\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} = \sqrt {x + 1} .\sqrt {x + 3} \).

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 61 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(\sqrt {36{x^8}{{\left( {2 - y} \right)}^2}} \) với \(y \ge 2\);

b) \(\sqrt {\frac{{7z}}{3}} .\sqrt {\frac{3}{{28z}}} \) với \(z > 0\).

Phương pháp giải:

Với hai biểu thức A và B không âm, ta có: \(\sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B \).

Lời giải chi tiết:

a) \(\sqrt {36{x^8}{{\left( {2 - y} \right)}^2}} \)\( = \sqrt {36} .\sqrt {{x^8}} .\sqrt {{{\left( {2 - y} \right)}^2}} \)\( = 6.\sqrt {{{\left( {{x^4}} \right)}^2}} .\left| {2 - y} \right|\)\( = 6{x^4}\left( {y - 2} \right)\) (vì \(y \ge 2\) nên \(2 - y \le 0\))

b) \(\sqrt {\frac{{7z}}{3}} .\sqrt {\frac{3}{{28z}}} \)\( = \sqrt {\frac{{7z}}{3}.\frac{3}{{28z}}} \)\( = \sqrt {\frac{1}{4}} \)\( = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} \)\( = \frac{1}{2}\).

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 61 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Một hình chữ nhật có chiều dài là \(\sqrt {\frac{a}{3}} \) mét và chiều rộng là \(\sqrt {\frac{a}{{12}}} \) (mét) \(\left( {a > 0} \right)\). Tính diện tích của hình chữ nhật theo a.

Phương pháp giải:

+ Với hai biểu thức A và B không âm, ta có: \(\sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B \).

+ Diện tích hình chữ nhật bằng chiều dài nhân chiều rộng.

Lời giải chi tiết:

Diện tích của hình chữ nhật là:

\(\sqrt {\frac{a}{3}} .\sqrt {\frac{a}{{12}}} = \sqrt {\frac{a}{3}.\frac{a}{{12}}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{{36}}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{6}} \right)}^2}} = \left| {\frac{a}{6}} \right| = \frac{a}{6}\) (do \(a > 0\) nên \(\frac{a}{6} > 0\)).

Giải mục 4 trang 61, 62 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 61 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Cho biểu thức A không âm và biểu thức B dương.

a) Giải thích vì sao .

b) Chứng minh .

Phương pháp giải:

Với hai biểu thức A và B không âm, ta có: .

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: .

b) Vì nên .

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 62 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Rút gọn các biểu thức sau:

a) với ;

b) với .

Phương pháp giải:

+ Với biểu thức A không âm và biểu thức B dương, ta có: .

+ Với mọi biểu thức đại số A, ta có: .

Lời giải chi tiết:

a) (vì nên );

b) (do ).

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 62 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Giải bài toán nêu trong phần Khởi động.

Công suất P (W), hiệu điện thế U (V) và điện trở R trong một đoạn mạch một chiều liên hệ với nhau theo công thức (nguồn: https://dinhnghia.vn/dinh-nghia-cong-suat-cua-dong-dien-mot-chieu-xoay-chieu.html). Nếu công suất và điện trở trong đoạn mạch tăng gấp đôi thì tỉ số giữa hiệu điện thế lúc đó và hiệu điện thế ban đầu bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải:

+ Tính công suất và điện trở trong đoạn mạch khi tăng gấp đôi, từ đó tính hiệu điện thế mới đó.

+ Lập tỉ số giữa hiệu điện thế lúc đó và hiệu điện thế ban đầu.

Lời giải chi tiết:

Khi công suất trong đoạn mạch tăng gấp đôi thì công suất mới là 2P.

Khi điện trở trong đoạn mạch tăng gấp đôi thì điện trở mới là 2R.

Do đó, hiệu điện thế lúc này là: .

Hiệu điện thế ban đầu là: .

Tỉ số giữa hiệu điện thế lúc đó và hiệu điện thế ban đầu là: .

Giải mục 5 trang 62, 63, 64 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 62 SGK Toán 9 Cùng khám phá

a) Nhân cả tử và mẫu của biểu thức với rồi biến đổi biểu thức đó về dạng không còn căn thức ở mẫu.

b) Nhân cả tử và mẫu của biểu thức với rồi biến đổi biểu thức đó về dạng không còn căn thức ở mẫu.

c) Nhân cả tử và mẫu của biểu thức với rồi biến đổi biểu thức đó về dạng không còn căn thức ở mẫu.

Phương pháp giải:

Với hai biểu thức A và B không âm, ta có: .

Lời giải chi tiết:

a) .

b) .

c) .

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 64 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Trục căn thức ở mẫu (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):

a) ;

b) ;

c) .

Phương pháp giải:

a) Với các biểu thức A, B mà , ta có: .

b) Với các biểu thức A, B, C mà và , ta có: .

c) Với các biểu thức A, B, C mà và , ta có: .

Lời giải chi tiết:

a) ;

b) ;

c) .

Giải bài tập 3.13 trang 64 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(\sqrt {25{a^4}} - 2{a^2}\);

b) \(3\sqrt {4{b^6}} + 7{b^3}\) với \(b < 0\);

c) \(\frac{1}{{x - y}}\sqrt {{x^4}{{\left( {x - y} \right)}^2}} \) với \(x > y\);

d) \(\sqrt {0,3} .\sqrt {270{z^2}} \).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a, b, c) Sử dụng kiến thức để tính: Với mọi biểu thức đại số A, ta có: \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\).

d) Sử dụng kiến thức để tính: Với hai biểu thức A và B không âm, ta có: \(\sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B \); \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\).

Lời giải chi tiết

a) \(\sqrt {25{a^4}} - 2{a^2}\)

\( = \sqrt {{{\left( {5{a^2}} \right)}^2}} - 2{a^2}\)

\( = 5{a^2} - 2{a^2}\)\( = 3{a^2}\);

b) \(3\sqrt {4{b^6}} + 7{b^3}\)

\( = 3\sqrt {{{\left( {2{b^3}} \right)}^2}} + 7{b^3}\)

\( = 3\left| {2{b^3}} \right| + 7{b^3}\)

\( = - 6{b^3} + 7{b^3}\)

\( = {b^3}\) (vì \(b < 0\) nên \({b^3} < 0\));

c) \(\frac{1}{{x - y}}\sqrt {{x^4}{{\left( {x - y} \right)}^2}} \)

\( = \frac{1}{{x - y}}\sqrt {{{\left[ {{x^2}\left( {x - y} \right)} \right]}^2}} \)

\( = \frac{1}{{x - y}}\left| {{x^2}\left( {x - y} \right)} \right|\)

\( = \frac{{{x^2}\left( {x - y} \right)}}{{x - y}}\)

\( = {x^2}\) (vì \(x > y\) nên \(x - y > 0\));

d) \(\sqrt {0,3} .\sqrt {270{z^2}} \)\( = \sqrt {0,3.270{z^2}} \)\( = \sqrt {81{z^2}} \)\( = \sqrt {{{\left( {9z} \right)}^2}} \)\( = 9\left| z \right|\).

Giải bài tập 3.14 trang 64 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức sau:

a) tại ;

b) tại ;

c) tại ;

d) tại .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Sử dụng kiến thức để rút gọn biểu thức: Với mọi biểu thức đại số A, ta có: .

+ Thay vào biểu thức vừa rút gọn để tính giá trị biểu thức.

b) + Sử dụng kiến thức để rút gọn biểu thức: Với mọi biểu thức đại số A, ta có: .

+ Thay vào biểu thức vừa rút gọn để tính giá trị biểu thức.

c) + Sử dụng kiến thức để rút gọn biểu thức: Với mọi biểu thức đại số A, ta có: .

+ Thay vào biểu thức vừa rút gọn để tính giá trị biểu thức.

d) + Sử dụng kiến thức để rút gọn biểu thức: Với biểu thức A không âm và biểu thức B dương, ta có: , .

+ Thay vào biểu thức vừa rút gọn để tính giá trị biểu thức.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

Với thay vào biểu thức ta có giá trị của biểu thức là:

b) Ta có:

Với thay vào biểu thức ta có giá trị của biểu thức là:

c) Ta có:

.

Với thay vào biểu thức ta có giá trị của biểu thức là:

.

d) Ta có:

Với thay vào biểu thức ta có giá trị của biểu thức là:

.

Giải bài tập 3.15 trang 64 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Tìm x, biết:

a) ;

b) .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức: Với mọi biểu thức đại số A, ta có: .

Lời giải chi tiết

a)

Vậy

b)

Vậy .

Giải bài tập 3.16 trang 64 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trục căn thức ở mẫu (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

g) .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a, g) Với các biểu thức A, B mà , ta có: .

b) Với các biểu thức A, B, C mà và , ta có:

c, d, e) Với các biểu thức A, B, C mà và , ta có: .

Lời giải chi tiết

a)

b)

c)

d)

e)

g) .

Giải bài tập 3.17 trang 64 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Rút gọn các biểu thức sau (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Phân tích tử số của phần thức thành , từ đó rút gọn biểu thức.

b) Phân tích tử số của phần thức thành , từ đó rút gọn biểu thức.

c) Phân tích tử số của phần thức thành , từ đó rút gọn biểu thức.

d) Phân tích tử số của phần thức thành , từ đó rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

Giải bài tập 3.18 trang 65 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần:

a) và ;

b) và .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Sử dụng công thức khi để đưa các thừa số vào trong dấu căn.

+ So sánh các căn thức vừa biến đổi được và rút ra kết luận.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: ; ; ;

Vì nên các số trên được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: .

b) Ta có: ; ; ;

Vì nên các số trên được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: .

Giải bài tập 3.19 trang 65 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Diện tích A của hình tròn bán kính r được tính bởi công thức .

a) Viết biểu thức tính r theo A từ công thức trên.

b) Diện tích của hình tròn gấp 9 lần diện tích của hình tròn thì bán kính của hình tròn gấp bao nhiêu lần bán kính của hình tròn ?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng kiến thức căn bậc hai của một biểu thức để tìm r: Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi là căn thức bậc hai của A.

b) + Tính diện tích của hai hình tròn và theo bán kính.

+ Lập tỉ số diện tích hình tròn và hình tròn theo hai bán kính, từ đó tính được bán kính của hình tròn gấp bao nhiêu lần bán kính của hình tròn .

Lời giải chi tiết

a) Vì nên nên (do bán kính của hình tròn luôn lớn hơn 0).

b) Gọi bán kính của hình tròn và lần lượt là: và .

Diện tích của hình tròn là: .

Vì nên , hay .

Do đó, . Do đó, nên .

Giải bài tập 3.20 trang 65 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Vào ngày 06/01/2020, ông Thành đầu tư hết 100 triệu đồng vào một tài khoản đầu tư chứng khoán. Đến cuối ngày 06/01/2021, tài khoản đầu tư của ông tăng gấp k lần. Đến cuối ngày 06/01/2022, tài khoản đó tăng thêm 0,8k lần so với tài khoản cuối ngày 06/01/2021. Gọi S (triệu đồng) là số tiền trong tài khoản đầu tư của ông Thành cuối ngày 06/01/2022.

a) Viết biểu thức tính S theo k.

b) Viết biểu thức tính k theo S. Nếu số tiền trong tài khoản đầu tư của ông Thành cuối ngày 06/01/2022 là 180 triệu đồng thì giá trị của k bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Tính số tiền có trong tài tài khoản đầu tư của ông Thành đến cuối ngày 06/01/2021.

+ Tính số tiền có trong tài tài khoản đầu tư của ông Thành đến cuối ngày 06/01/2022.

b) Sử dụng kiến thức căn thức bậc hai của một bình phương để tính: Với mọi biểu thức đại số A, ta có:

Lời giải chi tiết

a) Đến cuối ngày 06/01/2021, tài khoản đầu tư của ông Thành có số tiền là: (triệu đồng).

Đến cuối ngày 06/01/2022, tài khoản đầu tư của ông Thành có số tiền là: (triệu đồng).

b) Theo a ta có: nên , do đó .

Với ta có:

.

Giải bài tập 3.21 trang 65 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong một nghiên cứu về loài khủng long, người ta dùng công thức sau để ước tính tốc độ di chuyển của khủng long: , trong đó Fr là số Froude, v(m/s) là tốc độ di chuyển của khủng long, l(m) là chiều dài chân của khủng long và là gia tốc trọng trường.

(Nguồn: R.McNeill Alexander, How Dinosaur Ran, Scientific American, Vol.264, No.4 (April 1991), pp. 130 – 137)

a) Viết biểu thức tính v theo l và Fr từ công thức trên.

b) Ước tính tốc độ di chuyển của loài khủng long Triceratops có chiều dài chân là 2,8m và có số Froude là 0,16 (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng kiến thức căn bậc hai của một biểu thức để tìm v: Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi là căn thức bậc hai của A.

b) + Thay vào biểu thức tính vận tốc vừa làm ở phần a.

+ Sử dụng kiến thức căn thức bậc hai của một bình phương để tính: Với mọi biểu thức đại số A, ta có: .

Lời giải chi tiết

a) Vì nên .

Do đó, .

b) Với ta có:

Lý thuyết Căn thức bậc hai Toán 9 Cùng khám phá

1. Căn thức bậc hai

Khái niệm căn thức bậc hai

Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.

Ví dụ: , là các căn thức bậc hai.

Lưu ý:

xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm.

Ví dụ: Căn thức xác định khi hay .

2. Căn thức bậc hai của một bình phương

Với mọi biểu thức đại số, ta có:

.

Ví dụ: Với , ta có 1 – x > 0. Do đó .

3. Căn thức bậc hai của một tích

Với hai biểu thức A và B không âm, ta có

.

Lưu ý:

- Tính chất trên có thể mở rộng cho tích của nhiều biểu thức không âm.

Với các biểu thức không âm A, B, C, ta có:

- Với biểu thức A không âm, ta có: .

Ví dụ: Với thì .

4. Căn thức bậc hai của một thương

Với biểu thức A không âm và biểu thức B dương, ta có

.

Ví dụ: ;

;

Với thì .

5. Trục căn thức ở mẫu

- Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có:

.

- Với các biểu thức A, B, C mà , ta có:

.

- Với các biểu thức A, B, C mà , ta có:

.

Ví dụ:

;

.

Bài 2. Căn thức bậc hai - Toán 9 Cùng khám phá

Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP9

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub

Tải ứng dụng Tri Thức Hub