Bài 2. Cấp số cộng Toán 11 Cùng khám phá

Hoạt động 1

Chỗ ngồi trong một giảng đường được xếp thành các dãy theo dạng hình quạt tròn (Hình 1.24). Số chỗ ngồi của dãy sau tăng thêm 6 so với dãy trước. Nếu giảng đường có 10 dãy ghế thì số chỗ ngồi của dãy cuối cùng là bao nhiêu và giảng đường có tất cả bao nhiêu chỗ ngồi, biết dãy đầu tiên có 10 chỗ ngồi?

Phương pháp giải:

Ta lấy số chỗ ngồi của dãy trước cộng thêm 6 sẽ được số chỗ ngồi của dãy sau.

Lời giải chi tiết:

Dãy đầu có 10 chỗ ngồi, dãy sau hơn dãy trước 6 chỗ nên dãy thứ hai có 10 + 6 =16 chỗ, dãy thứ ba có 16 + 6 = 22 chỗ, dãy thứ tư có 22 + 6 = 28 chỗ, dãy thứ năm có 28 + 6 = 34 chỗ, dãy thứ sáu có 34 + 6 = 40 chỗ, dãy thứ bảy có 40 + 6 = 46 chỗ, dãy thứ tám có 46 + 6 = 52 chỗ, dãy thứ chín có 52 + 6 = 58 chỗ, dãy thứ mười có 58 + 6 = 64 chỗ.

Luyện tập 1

Viết mười số hạng đầu của một cấp số cộng có công sai bằng 5 và số hạng thứ năm là 6.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức \({u_{n + 1}} = {u_n} + d\left( {{u_n} = {u_{n + 1}} - d} \right)\) với d là công sai.

Lời giải chi tiết:

Theo bài ra, ta có: \({u_5} = 6,d = 5\)

\( \Rightarrow {u_4} = 6 - 5 = 1;{u_3} = 1 - 5 =  - 4;{u_2} =  - 4 - 5 =  - 9;{u_1} =  - 9 - 5 =  - 14\)

Và \({u_6} = 6 + 5 = 11;{u_7} = 11 + 5 = 16;{u_8} = 16 + 5 = 21;{u_9} = 21 + 5 = 26;{u_{10}} = 26 + 5 = 31\)

Hoạt động 2

Cho một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\)có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\).

a) Biểu diễn \({u_2},{u_3},{u_4},{u_5}\) theo \({u_1}\) và \(d\).

b) Hãy dự đoán công thức tính \({u_{10}},{u_{100}}\) theo \({u_1}\) và \(d\).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức \({u_{n + 1}} = {u_n} + d\).

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_2} = {u_1} + d;\\{u_3} = {u_2} + d = {u_1} + 2d;\\{u_4} = {u_3} + d = {u_1} + 3d;\\{u_5} = {u_4} + d = {u_1} + 4d.\end{array}\)

b) Dự đoán công thức tính \({u_{10}},{u_{100}}\) theo \({u_1}\) và \(d\) là: \({u_{10}} = {u_1} + 9d;{u_{100}} = {u_1} + 99d\).

Luyện tập 2

Kiến vàng là loài kiến có lợi trong nông học, sinh học. Nó giúp nhà nông ngăn ngừa côn trùng, giảm sử dụng các loại thuốc trừ sâu. Ở đồng bằng sông Cửu Long, nhà nông thường tách đàn kiến sang cây trồng khác để bảo vệ cây. Giả sử một đàn kiến vàng có 4 000 con vào đầu tháng 6 năm 2018, mỗi tháng đàn kiến tăng thêm 900 con. Một nhà nông muốn tách đàn khi đàn kiến đạt khoảng 20 000 con. Đến thời điểm nào người đó có thể tách đàn?

Phương pháp giải:

Dựa theo đề bài, xác định \({u_1},d,{u_n}\). Áp dụng công thức \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\) để tìm n.

Lời giải chi tiết:

Lời giải

Theo đề bài, mỗi thàng đàn kiến tăng thêm 900 con thì lập thành cấp số cộng với công sai \(d = 900\).

Đàn kiến vàng có 4 000 con vào đầu tháng 6 năm 2018 thì \({u_1} = 4000\).

Gọi n là thời gian để đàn kiến đạt khoảng 20000 con nên \({u_n} = 20000\). Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_n} = {u_1} + (n - 1)d \Leftrightarrow 20000 = 4000 + 900\left( {n - 1} \right)\\ \Leftrightarrow n - 1 = \frac{{160}}{9} \Leftrightarrow n \approx 19\end{array}\)

Vậy đến tháng 1 năm 2020 thì đàn kiến có thể tách đàn.

Hoạt động 3

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 4\) và \(d = 3\).

a) Viết 13 số hạng đầu tiên của \(\left( {{u_n}} \right)\).

b) Gọi S là tổng 13 số hạng của cấp số cộng. Ta viết S bằng hai cách

\(\begin{array}{l}S = 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 + 31 + 34 + 37 + 40;\\S = 40 + 37 + 34 + 31 + 28 + 25 + 22 + 19 + 16 + 13 + 10 + 7 + 4.\end{array}\)

Từ nhận xét \(4 + 40 = 37 + 7 = 10 + 34 = ... = 40 + 4\), hãy suy ra đẳng thức\(S = \frac{{13\left( {4 + 40} \right)}}{2}\).

Phương pháp giải:

a) Áp dụng công thức \({u_{n + 1}} = {u_n} + d\).

b) Cộng 2 cách viết của S với nhau, nhóm các số theo hướng dẫn của đề bài.

Lời giải chi tiết:

a) 13 số hạng đầu tiên của dãy là:

\(\begin{array}{l}{u_1} = 4;{u_2} = 4 + 3 = 7;{u_3} = 7 + 3 = 10;{u_4} = 10 + 3 = 13;{u_5} = 13 + 3 = 16;\\{u_6} = 16 + 3 = 19;{u_7} = 19 + 3 = 22;{u_8} = 22 + 3 = 25;{u_9} = 25 + 3 = 28;\\{u_{10}} = 28 + 3 = 31;{u_{11}} = 31 + 3 = 34;{u_{12}} = 34 + 3 = 37;{u_{13}} = 37 + 3 = 40.\end{array}\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}S = 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 + 31 + 34 + 37 + 40;\\S = 40 + 37 + 34 + 31 + 28 + 25 + 22 + 19 + 16 + 13 + 10 + 7 + 4.\\ \Rightarrow 2S = \left( {4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 + 31 + 34 + 37 + 40} \right) + \\\left( {40 + 37 + 34 + 31 + 28 + 25 + 22 + 19 + 16 + 13 + 10 + 7 + 4} \right)\\ \Leftrightarrow 2S = \left( {4 + 40} \right) + \left( {7 + 37} \right) + \left( {10 + 34} \right) + \left( {13 + 31} \right) + \left( {16 + 28} \right) + \left( {19 + 25} \right) + \\\left( {22 + 22} \right) + \left( {25 + 19} \right) + \left( {28 + 16} \right) + \left( {31 + 13} \right) + \left( {34 + 10} \right) + \left( {37 + 7} \right) + \left( {40 + 4} \right)\\ \Leftrightarrow 2S = 13\left( {4 + 40} \right)\\ \Leftrightarrow S = \frac{{13\left( {4 + 40} \right)}}{2}\end{array}\)

Luyện tập 3

Tính tổng các số nguyên dương lẻ và có ba chữ số.

Phương pháp giải:

Công thức tính số số hạng của dãy số: (số cuối -số đầu ): khoảng cách +1

Áp dụng công thức tính tổng cấp số cộng \(S = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\).

Lời giải chi tiết:

Các số nguyên dương lẻ và có ba chữ số liên tiếp cách đều nhau 2 đơn vị nên ta lập thành cấp số cộng với \({u_1} = 101,d = 2\).

Dãy số có số số hạng là \(\frac{{\left( {999 - 101} \right)}}{2} + 1 = 450\)

\( \Rightarrow {u_{450}} = 999\)

\( \Rightarrow S = \frac{{450\left( {101 + 999} \right)}}{2} = 247500\)

Vậy tổng các số nguyên dương lẻ và có 3 chữ số là 247500.

Vận dụng

Một công ty X cho người lao động trẻ, có trình độ kĩ thuật cao được tự chọn phương án khi kí hợp đồng lao động có thời hạn 10 năm với công ty. Có hai phương án để chọn:

Phương án 1: Năm đầu tiên nhận lương 100 triệu đồng, mỗi năm tiếp theo tăng thêm 12 triệu đồng.

Phương án 2: Quý đầu tiên nhận 30 triệu đồng, mỗi quý tiếp theo sẽ tăng thêm 2,5 triệu đồng.

Giả sử anh An quyết định kí hợp đồng để làm việc cho công ty X trong 10 năm. Anh nên chọn phương án nào để tống tiền lương nhận được trong 10 năm là lớn hơn?

Phương pháp giải:

Xác định \({u_1},d,{u_n}\) của mỗi phương án và tính tổng bằng công thức \(S = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\). So sánh tổng của 2 phương án.

Lời giải chi tiết:

Phương án 1: Mỗi năm tăng 12 triệu đồng nên ta lập được cấp số cộng với \(d = 12\), năm đầu tiên nhận lương 100 triệu đồng thì \({u_1} = 100\).

Tiền lương năm thứ 10 là \({u_{10}} = {u_1} + 9d = 100 + 9.12 = 208\).

Vậy tổng số tiền lương nhận được trong 10 năm là \(S = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_{10}}} \right)}}{2} = \frac{{10\left( {100 + 208} \right)}}{2} = 1540\) (triệu đồng).

Phương án 2: Mỗi quý tăng 2,5 triệu đồng nên ta lập được cấp số cộng với \(d = 2,5\), quý đầu tiên nhận 30 triệu đồng thì \({u_1} = 30\).

Một năm có 4 quý nên 10 năm có 40 quý. Tiển lương quý cuối cùng năm thứ 10 là\({u_{40}} = {u_1} + 39d = 30 + 39.2,5 = 127,5\).

Vậy tổng số tiền lương nhận được trong 10 năm là \(S = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_{40}}} \right)}}{2} = \frac{{40\left( {30 + 127,5} \right)}}{2} = 3150\) (triệu đồng).

Vậy An nên chọn phương án 2.