Bài 2. Công thức nhân xác suất Toán 11 Cùng khám phá

Lý thuyết Công thức nhân xác suất - SGK Toán 11 Cùng khám phá

A. Lý thuyết

1. Biến cố độc lập

Hai biến cố được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.

Nhận xét: Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì:

- A và \(\overline B \) là hai biến cố độc lập.

- \(\overline A \) và B là hai biến cố độc lập.

- \(\overline A \) và \(\overline B \) là hai biến cố độc lập.

2. Công thức nhân xác suất của hai biến cố độc lập

Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì P(AB) = P(A).P(B).

Lưu ý: Nếu \(P(AB) \ne P(A).P(B)\) thì A và B không độc lập.

3. Sử dụng công thức tổ hợp và sơ đồ hình cây tính xác suất

 

B. Bài tập

Bài 1: Gieo đồng thời hai con xúc xắc cần đối đồng chất, một màu đỏ một màu xanh và quan sát số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc. Gọi A là biến cố "Số chấm trên mặt xuất hiện của xúc xắc màu đỏ là chẵn" và B là biến cố "Số chấm trên mặt xuất hiện của xúc xắc màu xanh là lẻ". Chỉ ra một cặp biến cố độc lập của phép thử trong và tính xác suất của các biến cố đó.

Giải:

Xét cặp biến cố sau:

A: "Xúc xác màu đỏ xuất hiện mặt 6 chấm".

B: "Xúc xác màu xanh xuất hiện mặt một chấm".

Số phần tử của không gian mẫu, biến cố A và biến cố B lần lượt là:

n(Ω) = 6.6 = 36; n(A) = 6; n(B) = 6.

Do số chấm xuất hiện trên con xúc xác màu đỏ không phụ thuộc vào số chấm xuất hiện trên con xúc xác màu xanh và ngược lại nên việc xảy ra hay không xảy ra biến cố A không làm ảnh hưởng đến xác suất của biến cố B và ngược lại. Do đó biến cố A và B là độc lập. Xác suất của biến cố A và B lần lượt là:

\(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\); \(P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\).

Bài 2: Có hai giỏ trái cây chứa hai loại táo xanh và táo đỏ. Giỏ thứ nhất chứa 5 quả táo xanh và 5 quả táo đỏ. Giỏ thứ hai chứa 4 quả táo xanh và 6 quả táo đỏ. Từ mỗi giỏ lấy ngẫu nhiên một quả táo. 

Xét các biến cố: 

A: "Quả táo lấy ra từ giỏ thứ nhất màu đỏ".

B: "Quả táo lấy ra từ giỏ thứ hai màu đỏ".

a) Tính P(A), P(B) và P(AB). 

b) Tính xác suất để trong hai quả táo lấy ra có ít nhất một quả màu xanh.

Giải:

a) Số phần tử không gian mẫu là n(Ω) = 10.10 = 100. 

Số phần tử của biến cố A và B lần lượt là n(A) = 5.10 = 50; n(B) = 6.10 = 60. 

Xác suất của các biến cố A và B lần lượt là:

\(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{50}}{{100}} = 0,5\); \(P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{60}}{{100}} = 0,6\).

Do A và B là hai biến cố độc lập nên P(AB) = P(A).P(B) = 0,5.0,6 = 0,3. 

b) Gọi C là biến cố "Hai quả táo lấy ra có ít nhất một quả màu xanh". Khi đó, C là biến cố đối của biến cố AB. Xác suất trong hai quả táo lấy ra có ít nhất một quả màu xanh là:

\(P(C) = P(\overline {AB} ) = 1 - P(AB) = 1 - 0,3 = 0,7\).

Bài 3: Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 4 quả cầu xanh, 4 quả cầu đỏ và 4 quả cầu vàng. Hộp thứ hai chứa 5 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ và 5 quả cầu vàng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 3 quả cầu. Tính xác suất để lấy được 6 quả cầu đỏ.

Giải:

Xét các biến cố:

A: "Ba quả cầu trong hộp thứ nhất là màu đỏ";

B: "Ba quả cầu trong hộp thứ hai là màu đỏ".

Số phần tử của không gian mẫu Ω và các biến cố A, B lần lượt là:

\(n(\Omega ) = C_{12}^3.C_{15}^3\); \(n(A) = C_4^3.C_{15}^3\); \(n(B) = C_5^3.C_{12}^3\).

Xác suất của các biến cố A, B lần lượt là P(A) và P(B):

\(P(A) = \frac{{C_4^3.C_{15}^3}}{{C_{12}^3.C_{15}^3}} = \frac{4}{{220}} = \frac{1}{{55}}\); \(P(A) = \frac{{C_5^3.C_{12}^3}}{{C_{12}^3.C_{15}^3}} = \frac{{10}}{{445}} = \frac{2}{{91}}\).

Do A và B là hai biến cố độc lập nên xác suất để lấy được 6 quả cầu đỏ là:

\(P(AB) = P(A).P(B) = \frac{1}{{55}}.\frac{2}{{91}} = \frac{2}{{5005}}\).

Bài 4: Minh và Nam lần lượt thực hiện một cú sút vào khung thành. Xác suất để Minh sút thành công vào khung thành là 0,6 và Nam sút thành công vào khung thành là 0,7. Sơ đồ cây chưa hoàn thiện bên dưới mô tả các khả năng xảy ra và xác suất tương ứng khi hai bạn lần lượt thực hiện cú sút.

a) Hoàn thiện ba dòng trong cột cuối cùng của sơ đồ hình cây.

b) Tính xác suất để cả hai bạn không sút thành công.

c) Tính xác suất để ít nhất một bạn sút thành công.

Giải:

a) Các phép tính trên ba dòng trong cột cuối cùng của sơ đồ hình cây theo thứ tự là: 

0,6.0,3 = 0,18; 

0,4.0,7 = 0,28; 

0,4.0,3 = 0,12.

b) Xác suất để cả hai bạn không sút thành công là 0,12. 

c) Xác suất để có ít nhất một bạn sút thành công là: 

0,42 + 0,18 + 0,28 = 0,88.

Giải mục 1 trang 97 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Giải mục 2 trang 98, 99 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Giải mục 3 trang 99, 100 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Bài 9.6 trang 101 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho A và B là hai biến cố xung khắc.

a) Chứng minh P(AB) = 0.

b) Nếu P(A) > 0 và P(B) > 0 thì hai biến cố A và B có độc lập với nhau không?

Lời giải chi tiết

a) A và B là hai biến cố xung khắc nên A xảy ra thì B không xảy ra nên P(AB) = 0.

b) Giả sử A và B là 2 biến cố độc lập thì P(AB) = P(A).P(B)

Mà P(A) > 0, P(B) > 0 nên P(AB) > 0 (Mâu thuẫn)

Vậy A và B không phải hai biến cố độc lập.

Bài 9.7 trang 101 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Gieo hai đồng xu A và B một cách độc lập. Đồng xu A được chế tạo cân đối. Đồng xu B được chế tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp ba lần xác suất xuất hiện mặt ngửa. Tính xác suất để:

a) Khi gieo hai dồng xu một lần, cả hai đồng xu dều ngửa.

b) Khi gieo hai đồng xu hai lần, cả hai đồng xu đều ngửa trong cả hai lần.

Lời giải chi tiết

a) Xét biến cố:

A: “Đồng xu A xuất hiện mặt ngửa”

B: “Đồng xu B xuất hiện mặt ngửa”

\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{1}{2},P\left( B \right) = \frac{1}{4}\)

A và B là hai biến cố độc lập nên P(AB) = P(A).P(B) = \(\frac{1}{2}.\frac{1}{4} = \frac{1}{8}\)

b) Gọi C là biến cố “Cả hai đồng xu đều ngửa trong hai lần”

Xác suất khi gieo 1 lần, cả hai đồng xu đều ngửa là: \(P\left( {\overline A \overline B } \right) = \left( {1 - P\left( A \right)} \right)\left( {1 - P\left( B \right)} \right) = \frac{3}{8}\)

\(P\left( C \right) = \frac{3}{8}.\frac{3}{8} = \frac{9}{{64}}\)

Bài 9.8 trang 101 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận động viên khi bắn một viên đạn là 0,6 . Vận động viên đó bắn hai viên đạn một cách độc lập. Tính xác suất để một viên đạn trúng mục tiêu và một viên đạn trượt mục tiêu.

Lời giải chi tiết

Gọi A là biến cố “một viên đạn trúng mục tiêu và một viên đạn trượt mục tiêu”

\(P\left( A \right) = 0,6.\left( {1 - 0,6} \right) + \left( {1 - 0,6} \right).0,6 = 0,48\)

Bài 9.9 trang 101 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Vi và Quân chơi cờ tướng cùng nhau. Trong một ván cờ, xác suất để Vi thắng Quân là 0,2 và xác suất để Quân thắng Vi là 0,3. Hai bạn dừng chơi cờ khi có người thắng, người thua. Tỉnh xác suất để hai bạn dừng chơi sau hai ván cờ.

Lời giải chi tiết

Xét các biến cố:

A: “Vi thắng một ván”

B: “Quân thắng một ván”

C: “Vi thua một ván”

D: “Quân thua một ván”

Xác suất để hai bạn dừng chơi sau hai ván là:

\(P\left( A \right).P\left( D \right).P\left( A \right).P\left( D \right) + P\left( B \right).P\left( C \right).P\left( B \right).P\left( C \right) = 0,2.0,7.0,2.0,7 + 0,3.0,8.0,3.0,8 = 0,0772\)

Bài 9.10 trang 101 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Xác suất bắn trúng bia của một người bắn cung là 0,3.

a) Vẽ sơ đồ hình cây mô tả các khả năng xảy ra và xác suất tương ứng khi người bắn cung thực hiện hai lần bắn liên tiếp nhau.

b) Tính xác suất người đó bắn trúng bia đúng một lần.

c) Tính xác suất người đó bắn trúng bia ít nhất một lần.

Lời giải chi tiết

a)

 

b) Xác suất người đó bắn trúng bia đúng một lần là 0,21 + 0,21 = 0,42

c) Xác suất người đó bắn trúng bia ít nhất một lần là 1 – 0,49 = 0,51