Bài 2. Dãy số

LG a

Dãy số (u_n) với \({u_n} = {{2{n^2} - 3} \over n}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\eqalign{
& {u_1} = {{{{2.1}^2} - 3} \over 1} = - 1 \cr 
& {u_2} = {{{{2.2}^2} - 3} \over 2} = {5 \over 2} \cr 
& {u_3} = {{{{2.3}^2} - 3} \over 3} = 5 \cr 
& {u_4} = {{{{2.4}^2} - 3} \over 4} = {{29} \over 4} \cr 
& {u_5} = {{{{2.5}^2} - 3} \over 5} = {{47} \over 5} \cr} \)

LG b

Dãy số (u_n) với  \({u_n} = {\sin ^2}{{n\pi } \over 4} + \cos {{2n\pi } \over 3}\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& {u_1} = {\sin ^2}{\pi \over 4} + \cos {{2\pi } \over 3} \cr& = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + \left( { - \frac{1}{2}} \right)= {1 \over 2} - {1 \over 2} = 0 \cr 
& {u_2} = {\sin ^2}{\pi \over 2} + \cos {{4\pi } \over 3} \cr&= {1^2} + \left( { - \frac{1}{2}} \right)= 1 - {1 \over 2} = {1 \over 2} \cr 
& {u_3} = {\sin ^2}{{3\pi } \over 4} + \cos 2\pi \cr& = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + 1= {1 \over 2} + 1 = {3 \over 2} \cr 
& {u_4} = {\sin ^2}\pi + \cos {{8\pi } \over 3} \cr& = {0^2} + \cos \left( {2\pi  + \frac{{2\pi }}{3}} \right) \cr& = 0+\cos \frac{{2\pi }}{3} = - {1 \over 2} \cr 
& {u_5} = {\sin ^2}{{5\pi } \over 4} + \cos {{10\pi } \over 3} \cr& = {\sin ^2}\left( {\pi  + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {4\pi  - \frac{{2\pi }}{3}} \right) \cr&= {\left( { - \sin \frac{\pi }{4}} \right)^2} + \cos \left( { - \frac{{2\pi }}{3}} \right) \cr&= {\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + \left( { - \frac{1}{2}} \right)= {1 \over 2} - {1 \over 2} \cr&= 0 \cr} \)

LG c

Dãy số (u_n) với  \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.\sqrt {{4^n}} \)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
{u_1} = {\left( { - 1} \right)^1}\sqrt {{4^1}} = - 2\\
{u_2} = {\left( { - 1} \right)^2}\sqrt {{4^2}} = 4\\
{u_3} = {\left( { - 1} \right)^3}\sqrt {{4^3}} = - 8\\
{u_4} = {\left( { - 1} \right)^4}\sqrt {{4^4}} = 16\\
{u_5} = {\left( { - 1} \right)^5}\sqrt {{4^5}} = - 32
\end{array}\)

trithuchub.com

LG a

Dãy số (u_n) xác định bởi :

\(\displaystyle {u_1} = 0\,\text{ và }\,{u_n} = {2 \over {u_{n - 1}^2 + 1}}\) với mọi \(\displaystyle n ≥ 2\)

Phương pháp giải:

Thay \(n=2,3,4,5\) tính lần lượt các số hạng của dãy số, sử dụng công thức dãy số bài cho.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\displaystyle \eqalign{
& {u_2} = {2 \over {u_1^2 + 1}} = \frac{2}{{{0^2} + 1}}= 2 \cr 
& {u_3} = {2 \over {u_2^2 + 1}} = {2 \over {{2^2} + 1}} = {2 \over 5} \cr 
& {u_4} = {2 \over {u_3^2 + 1}} = {2 \over {{4 \over {25}} + 1}} = {{50} \over {29}} \cr 
& {u_5} = {2 \over {u_4^2 + 1}} = {2 \over {{{\left( {{{50} \over {29}}} \right)}^2} + 1}} = {{1682} \over {3341}} \cr} \)

LG b

Dãy số (u_n) xác định bởi :

\(\displaystyle {u_1} = 1,{u_2} = - 2\) và \(u_n={u_{n - 1}} - 2{u_{n - 2}}\) với mọi \(\displaystyle n ≥ 3\).

Phương pháp giải:

Thay \(n=3,4,5\) tính lần lượt các số hạng của dãy số, sử dụng công thức dãy số bài cho.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\displaystyle \eqalign{
& {u_3} = {u_2} - 2{u_1} = - 2 - 2.1 = - 4 \cr 
& {u_4} = {u_3} - 2{u_2} = - 4 - 2\left( { - 2} \right) = 0 \cr 
& {u_5} = {u_4} - 2{u_3} = 0-2.(-4)=8 \cr} \)

 trithuchub.com

LG a

Dãy số (u_n) với \({u_n} = {n^3} - 3{n^2} + 5n - 7\)

Phương pháp giải:

Xét hiệu u_n+1 – u_n và so sánh với 0.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& {u_{n + 1}} - {u_n} \cr&= {\left( {n + 1} \right)^3} - 3{\left( {n + 1} \right)^2} + 5\left( {n + 1} \right) - 7\cr& - \left( {{n^3} - 3{n^2} + 5n - 7} \right) \cr 
& = {n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 \cr&- 3\left( {{n^2} + 2n + 1} \right) + 5n + 5 - 7\cr& - {n^3} + 3{n^2} - 5n + 7\cr&= 3{n^2} - 3n + 3 \cr& = 3n\left( {n - 1} \right) + 3> 0,\forall n \in \mathbb N^* \cr} \)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

LG b

Dãy số (x_n) với  \({x_n} = {{n + 1} \over {{3^n}}}\)

Phương pháp giải:

Xét tỉ số \({{{x_n}} \over {{x_{n + 1}}}}\) và so sánh với 1.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& {{{x_n}} \over {{x_{n + 1}}}} = {{n + 1} \over {{3^n}}}.{{{3^{n + 1}}} \over {n + 2}} \cr&= {{3\left( {n + 1} \right)} \over {n + 2}} = {{3n + 3} \over {n + 2}} > 1\;\forall n  \in \mathbb N^*\cr&\text{vì } \,3n + 3 > n + 2\;\forall n  \in \mathbb N^*  \cr 
& \Rightarrow {x_n} > {x_{n + 1}} \cr} \)

\(⇒ (x_n)\) là dãy số giảm.

LG c

Dãy số (a_n) với  \({a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \)

Phương pháp giải:

Viết lại công thức xác định a_n dưới dạng

\({a_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\) (sử dụng nhân chia liên hợp)

Tiếp theo, xét tỉ số \({{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}}\) và so sánh với 1.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& {a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \cr& = \frac{{\left( {\sqrt {n + 1}  - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \cr&= \frac{{n + 1 - n}}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}\cr&= {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr 
& {{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}} \cr&=\frac{1}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}:\frac{1}{{\sqrt {n + 2}  + \sqrt {n + 1} }}\cr&= {{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} > 1 \cr 
& \Rightarrow {a_n} > {a_{n + 1}} \cr} \)

⇒ \((a_n)\) là dãy số giảm.

 trithuchub.com

LG a

Hãy tính u₂, u₄ và u₆.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& {u_2} = {u_1} + 5 = 8 \cr 
& {u_3} = {u_2} + 5 = 13 \cr 
& {u_4} = {u_3} + 5 = 18 \cr 
& {u_5} = {u_4} + 5 = 23 \cr 
& {u_6} = {u_5} + 5 = 28 \cr} \)

LG b

Chứng minh rằng \(u_n= 5n – 2\) với mọi \(n ≥ 1\).

Lời giải chi tiết:

Ta sẽ chứng minh : \(u_n= 5n – 2\) (1) với mọi \(n \in \mathbb N^*\), bằng phương pháp qui nạp.

+) Với \(n = 1\), ta có \(u_1= 3 = 5.1 – 2\)

Vậy (1) đúng khi \(n = 1\).

+) Giả sử (1) đúng với \(n = k, k\in \mathbb N^*\), tức là:

\(u_k=5k-2\)

+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi \(n = k + 1\)

Thật vậy, từ công thức xác định dãy số (u_n) và giả thiết qui nạp ta có :

\({u_{k + 1}} = {u_k} + 5 \)

\(= 5k - 2 + 5 = 5\left( {k + 1} \right) - 2\)

Do đó (1) đúng với mọi \(n \in \mathbb N^*\).

Cách khác:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{u_n} = {u_{n - 1}} + 5\\
{u_{n - 1}} = {u_{n - 2}} + 5\\
...\\
{u_3} = {u_2} + 5\\
{u_2} = {u_1} + 5\\
\Rightarrow {u_n} + {u_{n - 1}} + ... + {u_3} + {u_2}\\
= \left( {{u_{n - 1}} + 5} \right) + \left( {{u_{n - 2}} + 5} \right) + ...\\
+ \left( {{u_2} + 5} \right) + \left( {{u_1} + 5} \right)\\
\Rightarrow {u_n} + {u_{n - 1}} + ... + {u_3} + {u_2}\\
= {u_{n - 1}} + {u_{n - 2}} + ... + {u_2} + {u_1}\\
+ \left( {5 + 5 + ... + 5 + 5} \right)(\text{ n-1 số 5})\\
\Rightarrow {u_n} = {u_1} + 5.\left( {n - 1} \right)\\
\Rightarrow {u_n} = 3 + 5n - 5 = 5n - 2
\end{array}\)

trithuchub.com

LG a

Chứng minh rằng (u_n) là một dãy số tăng.

Lời giải chi tiết:

Từ hệ thức xác định dãy số (u_n), ta có:

\({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {n + 1} \right){.2^n} > 0\;\forall n \ge 1.\)

Do đó (u_n) là một dãy số tăng.

LG b

Chứng minh rằng

\({u_n} = 1 + \left( {n - 1} \right){.2^n}\) với mọi \(n ≥ 1\).

Lời giải chi tiết:

Ta sẽ chứng minh \({u_n} = 1 + \left( {n - 1} \right){.2^n}\)  (1) với mọi \(n ≥ 1\), bằng phương pháp qui nạp.

+) Với \(n = 1\), ta có \({u_1} = 1 = 1 + \left( {1 - 1} \right){.2^1}.\) Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\)

+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k, k \in\mathbb N^*\), tức là:

\({u_k} = 1 + \left( {k - 1} \right){2^k}\)

+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng với \(n = k + 1\).

Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (u_n) và giả thiết qui nạp, ta có :

\({u_{k + 1}} = {u_k} + \left( {k + 1} \right){.2^k} \)

\(= 1 + \left( {k - 1} \right){.2^k} + \left( {k + 1} \right){.2^k} \)

\( = 1 + k{.2^k} - {2^k} + k{.2^k} + {2^k} \)

\(= 1 + 2k{.2^k}= 1 + k{.2^{k + 1}}\)

Vậy (1) đúng với mọi \(n ≥ 1\).

 trithuchub.com

LG a

Chứng minh rằng \({s_n} = {s_{n + 3}}\) với mọi \(n ≥ 1\)

Lời giải chi tiết:

Với \(n>1\) tùy ý, ta có :

\(\eqalign{
& {s_{n + 3}} = \sin \left[ {4\left( {n + 3} \right) - 1} \right]{\pi \over 6} \cr 
& = \sin \left[ {4n - 1 + 12} \right]{\pi \over 6} \cr 
& = \sin \left[ {\left( {4n - 1} \right){\pi \over 6} + 2\pi } \right] \cr 
& = \sin \left( {4n - 1} \right){\pi \over 6} = {s_n} \cr} \)

LG b

Hãy tính tổng \(15\) số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

Lời giải chi tiết:

Từ kết quả phần a ta có :

\(\eqalign{
& {s_1} = {s_4} = {s_7} = {s_{10}} = {s_{13}}, \cr 
& {s_2} = {s_5} = {s_8} = {s_{11}} = {s_{14}}, \cr 
& {s_3} = {s_6} = {s_9} = {s_{12}} = {s_{15}} \cr} \)

Từ đó suy ra :

\({s_1} + {s_2} + {s_3} \)

\(= {s_4} + {s_5}{ + s_6} \)

\(= {s_7} + {s_8} + {s_9} \)

\(= {s_{10}} + {s_{11}} + {s_{12}} \)

\(= {s_{13}} + {s_{14}} + {s_{15}}\)

Do đó:

\({S_{15}} = {s_1} + {s_2} + ... + {s_{15}}\)

\(=({s_1} + {s_2} + {s_3})\)+\(({s_4} + {s_5}{ + s_6})\)+...+\(( {s_{13}} + {s_{14}} + {s_{15}})\)

\(= 5\left( {{s_1} + {s_2} + {s_3}} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{s_1} = \sin \left[ {\left( {4.1 - 1} \right).\frac{\pi }{6}} \right] = \sin \frac{\pi }{2} = 1\\
{s_2} = \sin \left[ {\left( {4.2 - 1} \right).\frac{\pi }{6}} \right] = \sin \frac{{7\pi }}{6}\\
= \sin \left( {\pi + \frac{\pi }{6}} \right) = - \sin \frac{\pi }{6} = - \frac{1}{2}\\
{s_3} = \sin \left[ {\left( {4.3 - 1} \right).\frac{\pi }{6}} \right] = \sin \frac{{11\pi }}{6}\\
= \sin \left( {2\pi - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{1}{2}
\end{array}\)

Do đó \({s_1} = 1,{s_2} = - {1 \over 2}\,\text{ và }\,{s_3} = - {1 \over 2} \)

\( \Rightarrow {s_1} + {s_2} + {s_3} = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0\)

\(\Rightarrow {s_{15}} =5.0= 0\)

 trithuchub.com