Bài 2, Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Phép chiếu vuông góc Toán 11 Cùng khám phá

Hoạt động 1

Quan sát hình ảnh cây cột và nền nhà (Hình 8.6). Xem nền nhà là hình ảnh của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\). Ta có cạnh \(OO'\) của cây cột tượng trưng cho một đường thẳng với \(O\) tượng trưng cho một điểm thuộc \(\left( \alpha  \right)\)

a) Vẽ một đường thẳng \(a\) nằm trong \(\left( \alpha  \right)\) và \(a\) không đi qua \(O\). Vẽ đường thẳng \(a'\) qua \(O\) và song song với \(a\). Dùng ê ke kiểm tra \(OO'\) có vuông góc với đường thẳng \(a'\) hay không? Từ đó hãy tính góc giữa \(OO'\) và \(a\).

b) Gọi \(d\) là đường thẳng bất kì nằm trong \(\left( \alpha  \right)\). Hỏi \(OO'\) có vuông góc với \(d\) không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Để dùng eke kiểm tra vuông góc ta đặt cạnh của eke trùng với \(OO'\), nếu cạnh eke còn lại trùng với đường thẳng \(a\) thì \(OO'\) vuông góc với \(a\)

Lời giải chi tiết:

a) \(OO'\) có vuông góc với đường thẳng \(a\). Góc giữa \(OO'\) và đường thẳng \(a\) bằng \({90^o}\)

b) \(OO'\) vuông góc với \(d\) vì \(OO'\) vuông góc với \(\left( \alpha  \right)\)

Luyện tập 1

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\).

a) Chứng minh rằng \(BC\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\)

b) Biết \(AH\) là đường cao của tam giác \(SAB\). Chứng minh \(AH\) vuông góc với \(SC\)

Phương pháp giải:

a) Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

Chứng minh \(BC\) vuông góc với \(SA\) và \(AB\)

b) Chứng minh \(AH\) vuông góc với \(BC\) và \(SB\)

Lời giải chi tiết:

a) Ta có \(BC \bot AB\) vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\)

Ta có \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\\SA \cap AB = \left\{ A \right\}\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\)

b) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot \left( {SAB} \right)\\AH \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot AH\)

Vì \(AH\) là đường cao của tam giác \(SAB\) \( \Rightarrow AH \bot SB\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\)

Hoạt động 2

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AA' \bot AB\) và \(A'A \bot AD\) (Hình 8.8)

a) Mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) có vuông góc với \(A'A\) không? Vì sao?

b) Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với \(A'A\). Hãy tìm giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) với các mặt phẳng \(\left( {AA'B'B} \right)\) và \(\left( {A'ADD'} \right)\). Từ đó tìm mối quan hệ giữa \(\left( \alpha  \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)

Phương pháp giải:

a) Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

b) Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng là ta tìm được giao tuyến của chúng.

Lời giải chi tiết:

a) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot AB\\AA' \bot AD\\AB \cap AD = \left\{ A \right\}\end{array} \right. \Rightarrow AA' \bot \left( {ABCD} \right)\)

b) Vì \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(AA'\)\( \Rightarrow \)\(\left( \alpha  \right)\) trùng với \(\left( {ABCD} \right)\)

Do đó \(\left( \alpha  \right) \cap \left( {AA'B'B} \right) = AB\)

\(\left( \alpha  \right) \cap \left( {AA'D'D} \right) = AD\)

Luyện tập 2

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật và \(SA\) vuông góc với đáy. Gọi \(B',C',D'\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) trên các cạnh \(SB,SC,SD\). Chứng minh \(SC \bot \left( {AB'D'} \right)\) và \(AB',AC',AD'\) cùng nằm trên một mặt phẳng.

Phương pháp giải:

Chứng minh \(AB' \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AB' \bot SC\)

Chứng minh \(AD' \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AD' \bot SC\)

Chứng minh ba đường thẳng \(AB',AC',AD'\) cùng vuông góc với một đường thẳng

Lời giải chi tiết:

+) Ta có \(BC \bot AB\) (Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật)

\(BC \bot SA\) vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\)

Mà \(AB' \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow AB' \bot BC\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AB' \bot SB\\AB' \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AB' \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AB' \bot SC\)

+) Ta có \(DC \bot AD\) (Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật)

\(DC \bot SA\) vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}DC \bot AD\\DC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow DC \bot \left( {SAD} \right)\)

Mà \(AD' \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow AD' \bot DC\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AD' \bot SD\\AD' \bot DC\end{array} \right. \Rightarrow AD' \bot \left( {SDC} \right) \Rightarrow AD' \bot SC\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}SC \bot AB'\\SC \bot AD'\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left( {AB'D'} \right)\)

+) Ta có \(AB',AC',AD'\) cùng vuông góc với \(SC\) suy ra chúng cùng nằm trên mặt phẳng. Mà \(SC \bot \left( {AB'D'} \right)\) nên mặt phẳng đó là \(\left( {AB'D'} \right)\)

Hoạt động 3

Cho hai đường thẳng \(a,b\) song song với nhau và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) vuông góc với \(a\) (Hình 8.13). Hỏi \(\left( \alpha  \right)\) có vuông góc với \(b\) không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Sử dụng từ vuông góc đến song song

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\left\{ \begin{array}{c}a//b\\a \bot \left( \alpha  \right)\end{array} \right. \Rightarrow b \bot \left( \alpha  \right)\)

Luyện tập 3

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) trên \(SB,SD\). Chứng minh \(HK \bot \left( {SAC} \right)\)

Phương pháp giải:

Chứng minh \(BD \bot \left( {SAC} \right)\) và \(HK//BD\). Từ đó suy ra \(HK \bot \left( {SAC} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(BD \bot AC\) (vì \(ABCD\) là hình vuông)

\(BD \bot SA\) vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\)  \(\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta SAB\) có \(AH \bot SB\)\( \Rightarrow \frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{SH.SB}}{{S{B^2}}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}}\)

Xét \(\Delta SAD\) có \(AK \bot SD\)\( \Rightarrow \frac{{SK}}{{SD}} = \frac{{SK.SD}}{{S{D^2}}} = \frac{{S{A^2}}}{{SD}}\)

Mà \(SB = SD\)\( \Rightarrow \frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{SK}}{{SD}} \Rightarrow HK//BD\) (áp dụng định lí Ta – lét)   \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), suy ra \(HK \bot \left( {SAC} \right)\)

Luyện tập 4

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi, \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(DB\), \(SA = SC\), \(SB = SD\). Gọi \(I,K\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(BC\). Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chứa \(IK\) và song song với \(SO\). Chứng minh \(\left( \alpha  \right) \bot BD\)

Phương pháp giải:

Chứng minh \(\left( \alpha  \right)//\left( {SAC} \right)\)

Chứng minh \(BD \bot \left( {SAC} \right)\) từ đó suy ra \(BD \bot \left( \alpha  \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(IK//AC\) vì \(IK\) là đường trung bình của \(\Delta SAC\)\(\left\{ \begin{array}{l}IK//AC\\IK \subset \left( \alpha  \right)\end{array} \right. \Rightarrow AC//\left( \alpha  \right)\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}SO//\left( \alpha  \right)\\AC//\left( \alpha  \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SAC} \right)//\left( \alpha  \right)\)

Vì \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\) nên \(AC \bot BD\) tại \(O\)

Xét \(\Delta SBD\) có \(SB = SD\) và \(O\) là trung điểm của \(BD\)\( \Rightarrow SO \bot BD\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\)

Mà \(\left( \alpha  \right)//\left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( \alpha  \right) \bot BD\)

Luyện tập 5

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), \(B'\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SB\), \(O'\) là hình chiếu của \(O\) trên \(SC\). Chứng minh \(AB'//\left( {O'BD} \right)\)

Phương pháp giải:

\(AB'//\left( {O'BD} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(AC \bot BD\) (giả thiết)

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BD\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}OO' \bot SC\,\,\left( {gt} \right)\\BD \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow SC \bot \left( {O'BD} \right)\)

+) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AB'\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB' \bot BC\\AB' \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow AB' \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AB' \bot SC\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AB' \bot SC\\\left( {O'BD} \right) \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow AB'//\left( {O'BD} \right)\)

Hoạt động 4

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Tìm hình chiều của các điểm \(A',C',D'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) theo phương của đường thẳng \(BB'\)

Phương pháp giải:

Tìm đường thẳng song song với đường thẳng \(BB'\) xuất phát từ các điểm \(A',C',D'\)

Lời giải chi tiết:

Hình chiếu lần lượt là \(A,C,D\)

Luyện tập 6

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông. Biết rằng hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là trung điểm \(H\) của cạnh \(AD\). Xác định hình chiếu của:

a) Tam giác \(SBC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)

b) Các cạnh \(SB\) và \(SC\) trên mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\)

Phương pháp giải:

a) Tìm hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là xong vì \(B,C \in \left( {ABCD} \right)\)

b) Chứng minh \(BA,CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow \)\(A,D\) là hình chiếu của \(B\) và \(C\) trên \(\left( {SAD} \right)\)

Lời giải chi tiết:

a) Ta có \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(\left( {ABCD} \right)\)

Vì \(B,C \in \left( {ABCD} \right)\) nên hình chiếu của \(\Delta SBC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\Delta HBC\)

b) Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot AB,SH \bot CD\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SH\\AB \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow \) Hình chiếu vuông góc của \(B\) lên \(\left( {SAD} \right)\) là \(A\)

Vậy hình chiếu của \(SB\) lên \(\left( {SAD} \right)\) là \(SA\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SH\\CD \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow \) Hình chiếu vuông góc của \(C\) lên \(\left( {SAD} \right)\) là \(D\)

Vậy hình chiếu của \(SC\) lên \(\left( {SAD} \right)\) là \(SD\)

Hoạt động 5

Cho đường thẳng \(b\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và không vuông góc với \(\left( \alpha  \right)\). Gọi \(A,B\) là hai điểm phân biệt trên \(b\) và \(A',B'\) lần lượt là hình chiếu của \(A,B\) trên \(\left( \alpha  \right)\). Gọi \(b'\) là đường thẳng đi qua \(A',B'\) thì \(b'\) là hình chiếu vuông góc của \(b\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\). Xét \(a\) là một đường thẳng nằm tròn \(\left( \alpha  \right)\).

a) Nếu \(a \bot b'\) thì \(a\) có vuông góc với \(b\) không? Vì sao?

b) Nếu \(a \bot b\) thì \(a\) có vuông góc với \(b'\) không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Chứng minh \(a \bot AA'\)

Chứng minh \(a \bot \left( {AA'B'B} \right)\) từ đó suy ra \(a \bot b'\) và \(a \bot b\)

Lời giải chi tiết:

a) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot \left( \alpha  \right)\\a \subset \left( \alpha  \right)\end{array} \right. \Rightarrow AA' \bot a\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot b'\\a \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \left( {AA'B'B} \right)\). Mà \(b \subset \left( {AA'B'B} \right) \Rightarrow a \bot b\)

b) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot \left( \alpha  \right)\\a \subset \left( \alpha  \right)\end{array} \right. \Rightarrow AA' \bot a\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}a \bot b\\a \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow a \bot \left( {AA'B'B} \right)\). Mà \(b' \subset \left( {AA'B'B} \right) \Rightarrow a \bot b'\)

Luyện tập 7

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân đỉnh \(B\) và hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng các đường thẳng \(AC\) và \(SB\) vuông góc với nhau.

Phương pháp giải:

Lấy \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\). Chứng minh \(BG\) là hình chiếu vuông góc của \(SB\) xuống \(\left( {ABC} \right)\) kết hợp với \(AC \bot BG\) từ đó suy ra \(AC \bot SB\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\). Ta có \(SG \bot \left( {ABC} \right)\) (gt), suy ra \(BG\) là hình chiếu vuông góc của \(SG\) xuống \(\left( {ABC} \right)\) \(\left( 1 \right)\)

Vì \(\Delta \)\(ABC\) cân tại \(B\) suy ra \(BG \bot AC\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), suy ra \(AC \bot SB\) (định lý ba đường vuông góc)

Hoạt động 6

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\).

a) Tìm hình chiếu \(d\) của \(A'C\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Xác định góc giữa \(A'C\) và \(d\)

b) Tìm hình chiếu \(a\) của \(A'C'\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Xác định góc giữa \(A'C'\) và \(a\)

Phương pháp giải:

a) Chứng minh \(A'A \bot \left( {ABCD} \right)\) từ đó suy ra \(A'\) là hình chiếu của \(A\) trên \(\left( {ABCD} \right)\)

b) Chứng minh \(CC' \bot \left( {ABCD} \right)\) từ đó suy ra \(C'\) là hình chiếu của \(C\) trên \(\left( {ABCD} \right)\)

Lời giải chi tiết:

a) Vì \(A'A \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(A\) là hình chiếu của \(A'\) trên \(\left( {ABCD} \right)\)

Vậy hình chiếu \(d\) của \(A'C\) trên \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AC\)

Góc giữa \(A'C\) và \(AC\) là góc \(\widehat {A'CA}\)

b) Vì \(A'A \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(A\) là hình chiếu của \(A'\) trên \(\left( {ABCD} \right)\)

Vì \(CC' \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(C\) là hình chiếu của \(C'\) trên \(\left( {ABCD} \right)\)

Vậy hình chiếu \(a\) của \(A'C'\) trên \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AC\)

Vì \(A'C'//AC\) nên góc giữa \(A'C'\) và \(AC\) bằng \({0^o}\)

Luyện tập 8

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), \(SA = a\sqrt 3 \). Xác định và tính góc giữa đường thẳng \(SD\) và \(\left( {SAB} \right)\)

Phương pháp giải:

Xác định giao điểm \(S\) của \(SD\) và \(\left( {SAB} \right)\)

Chứng minh \(DA \bot \left( {SAB} \right)\) từ đó suy ra \(SA\) là hình chiếu vuông góc của \(SD\) trên \(\left( {SAB} \right)\) suy ra góc cần tìm là góc giữa 2 đường thẳng \(SD\) và \(SA\)

Sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết:

Ta có \(S\) là giao điểm của \(SD\) và \(\left( {SAB} \right)\) \(\left( 1 \right)\)

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot AD\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông lên \(AD \bot AB\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot SA\\AD \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \)\(A\) là hình chiếu vuông góc của \(D\) trên \(\left( {SAB} \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra  \(SA\) là hình chiếu vuông góc của \(SD\) trên \(\left( {SAB} \right)\)

Vậy góc giữa \(SD\) và \(\left( {SAB} \right)\) là góc giữa \(SA\) và \(SD\) là góc giữa \(\widehat {DSA}\)

Xét \(\Delta SAD\) vuông tại \(A\) có \(\tan S = \frac{{AD}}{{SA}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {ASD} = {30^o}\)