Bài 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - Toán 12 Cùng khám phá

Lý thuyết Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán 12 Cùng khám phá

1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. +) Số M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) M với mọi và tồn tại sao cho = M. Kí hiệu M = hoặc M = . +) Số m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) m với mọi và tồn tại sao cho = m. Kí hiệu m = hoặc m = .

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số .

Tập xác định của hàm số là .

Ta có:

• 0; dấu bằng xảy ra khi , tức x = -1 hoặc x = 1.

Do đó .

• ; dấu bằng xảy ra khi , tức x = 0.

Do đó .

2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Các bước tìm GTLN và GTNN của hàm số f(x) trên đoạn : Tìm các điểm , tại đó f’(x) = 0 hoặc không tồn tại. Tính và . Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có: M = ; m = .

Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn .

Ta có: hoặc (vì ).

y(0) = 3; y(4) = 195; y() = -1.

Do đó: ; .

Giải mục 1 trang 10,11,12 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Giải mục 2 trang 12,13,14 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Giải bài tập 1.9 trang 14 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hàm số có 1 phần đồ thị như hình 1.10. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất( nếu có) đã cho trên:

a) Nửa khoảng

b) Đoạn

Lời giải chi tiết

Ta có:

Xét

Từ đó ta có bảng biến thiên là

Từ bảng biến thiên ta thấy

a) Hàm số đạt GTLN trên nửa khoảng tại x = 4 khi đó y = 32

Hàm số đạt GTNN trên nửa khoảng tại x = 3 khi đó y =-27

b) Hàm số đạt GTLN trên đoạn tại x = -1 khi đó y = 37

c) Hàm số đạt GTNN trên đoạn tại x = 0 khi đó y = 0

Giải bài tập 1.10 trang 14 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) trên đoạn

b) trên khoảng

c) trên nửa khoảng

d)

e) trên đoạn

f) trên đoạn

Lời giải chi tiết

a) trên đoạn

Hàm số trên xác định trên R

Ta có

Xét

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có

Hàm số đạt GTLN trên đoạn tại x = 1 khi đó y =

Hàm số đạt GTNN trên đoạn tại x = -4 và x= -1 khi đó y =

b)  trên khoảng

Hàm số trên xác định trên R/{0}

Ta có

Xét

Ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt GTLN trên khoảng tại x=-1 khi đó y=-4

c) trên nửa khoảng

Hàm số xác định trên R/

Ta có

Vì với

Nên hàm số luôn đồng biến với

Khi đó ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt GTNN trên nửa khoảng tại x = 2 khi đó y = 0

d)

Hàm số xác định với

Ta có

Xét

Từ đó ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm sô đạt GTLN tại x = 0 khi đó y =2

Hàm sô đạt GTNN tại x = 2 và x= -2 khi đó y =2

e) trên khoảng

Hàm số xác định trên R

Ta có

Xét

Từ đó ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy

Hàm số đạt GTNN trên khoảng tại x=0 khi đó y=0

Hàm số đạt GTNN trên khoảng tại x=2 khi đó y=5,9

f) trên khoảng

Hàm số trên xác định với

Ta có

Xét

Từ đó ta có bảng biến thiên là

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt GTLN trên khoảng tại x=e khi đó y=e

Hàm số đạt GTLN trên khoảng tại x= khi đó y=

Giải bài tập 1.11 trang 14 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Một thùng chứa nhiên liệu gồm một phần ở giữa là một hình trụ có chiều dài h mét (h > 0) và 2 đầu là các nửa hình cầu bán kính r (r > 0) (Hình 1.11). Biết rằng thể tích của thùng chứa là 144 000 . Để sơn mắt ngoài phần hình cầu cần 20 000 cho 1 , còn sơn phần ngoài phần hình trụ cần 10 000 đồng cho 1 . Xác định r để chi phí cho việc sơn diện tích mắt ngoài thùng chứa (bao gồm diện tích xung quanh hình trụ và diện tích 2 nửa hình cầu) là nhỏ nhất, biết rằng bán kính r không được vượt quá 50m.

Lời giải chi tiết

Ta có thể tích thùng nhiên liệu là:

.

DIện tích xung quanh thùng nhiên liệu là là: .

Số tiền cần để sơn xung quanh thùng nhiên liệu là:

.

Bài toán trở thành tìm r để để hàm số T nhỏ nhất.

Ta có:

.

Vậy để chi phí sơn là nhỏ nhất thì r = 30.

Giải bài tập 1.12 trang 14 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong các hình chữ nhật có chu vi bằng 18cm. Hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất

Lời giải chi tiết

Gọi x là chiều dài hình chữ nhật (0<x<9)

Khi đó chiều rộng hình chữ nhật là 9 - x ( > 0)

Diện tích hình chữ nhật là S(x) = x( 9 - x )

Ta có $S^{\prime }\left(x\right)=9-2x$

Xét $S^{\prime }\left(x\right)=0$ $\Rightarrow x=\frac{9}{2}$

Ta có bảng biến thiên là

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là 20,25 khi chiều dài và chiều rộng bằng nhau và bằng $\frac{9}{2}$

Giải bài tập 1.13 trang 14 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Một doạnh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện tại doạnh nghiệp đang tập trung vào chiến lược kinh doanh xe X với chi phi mua vào 27 triệu dộng và bán ra với giá 31 triệu đồng. với giá bán này, số lượng xe khách hàng đã mua trong 1 năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang bán chạy này, doanh nghiệp dự định sẽ giảm giá bán. Bộ phận nghiên cứu rằng nếu giảm 1 triệu đồng mỗi chiếu xe thì trong một năm số lượng xe bán ra trong một năm tăng thêm 200 chiếc. Hỏi theo đó, giá bán mới là bao nhiêu thì lợi nhuận thu được cao nhất?

Lời giải chi tiết

Gọi giá tiền giảm của mỗi chiếc xe là x ( triệu đồng, x<4)

Khi đó lợi nhuận hằng năm thu được là

 T(x) = (31-27-x)(600+200x)

 

 

Xét

Ta có bảng biến thiên là

Vậy nếu giảm giá tiền mỗi chiếc xe triệu đồng thì đạt doanh thu lớn nhất là 2450 triệu đồng