Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giải bài 1.11 trang 14 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Sử dụng đồ thị dưới đây, xác định xem hàm số có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hay cực trị tại mỗi điểm hay không.

Lời giải chi tiết

Ta có hàm số xác định trên . Từ đồ thị ta có:

+ với mọi và thỏa mãn . Do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm .

+ với mọi và thỏa mãn . Do đó hàm số

đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm .

Ta có hàm số liên tục trên .

+ Gọi , ta thấy dương. Vì với mọi và nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm .

+ Tương tự, gọi , ta thấy dương. Vì với mọi và nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm .

+ Gọi , ta thấy dương. Vì với mọi và nên hàm số đạt cực đại tại điểm .

Giải bài 1.12 trang 14 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) ;

b) .

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định:

Ta có . Khi đó hoặc .

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có: ; Hàm số không có giá trị lớn nhất.

b) Tập xác định:

Ta có . Khi đó (vì )

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có: . Hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng .

Giải bài 1.13 trang 14 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y=-x^3+3x^2+2$;

b) $y=\frac{x}{x^2+2}$.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: .

Ta có . Khi đó hoặc .

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên thấy hàm số không có cả giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

b) Tập xác định: .

Ta có .

Khi đó hoặc .

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có: ; .

Giải bài 1.14 trang 14 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) ;                               

b) .

Lời giải chi tiết

a) Ta có .

Khi đó hoặc .

Ta cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .

Ta có: ;

.

Do đó, ; .

b) Ta có . Ta thấy suy ra .

Do đó, trong khoảng , phương trình vô nghiệm.

Ta có: .

Vậy ; .

Giải bài 1.15 trang 15 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:

Lời giải chi tiết

+ Xét ta có .

Ta có . Mặt khác

+ Xét ta có . Khi đó .

Ta có

Vậy ; .

Giải bài 1.16 trang 15 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Lợi nhuận thu được \(P\) của một công ty khi dùng số tiền \(s\) chi cho quảng cáo được cho bởi công thức

\(P = P\left( s \right) =  - \frac{1}{{10}}{s^3} + 6{s^2} + 400,{\rm{ s}} \ge 0\).

Ở đây các số tiền được được tính bằng đơn vị nghìn USD.

a) Tìm số tiền công ty phải chi cho quảng cáo để mang lại lợi nhuận tối đa.

b) Lợi nhuận thu được của công ty thay đổi thế nào khi số tiền chi cho quảng cáo thay đổi?

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số \(P\left( s \right) =  - \frac{1}{{10}}{s^3} + 6{s^2} + 400,{\rm{ s}} \ge 0\), ta cần tìm \(s \ge 0\) để \(P\left( s \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: \(P'\left( s \right) =  - \frac{3}{{10}}{s^2} + 12s\). Khi đó \(P' = 0 \Leftrightarrow  - \frac{3}{{10}}{s^2} + 12s = 0 \Leftrightarrow s = 0\) hoặc \(s = 40\).

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} P\left( s \right) = P\left( {40} \right) = 3600\). Vậy để mang lại lợi nhuận tối đa, số tiền công ty phải chi trả cho quảng cáo là \(40\) nghìn USD.

b) Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số \(P\left( s \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;40} \right)\), nghịch biến trên \(\left( {40; + \infty } \right)\), do đó:

+ Lợi nhuận công ty tăng dần khi số tiền chi cho quảng cáo tăng từ \(0\) đến \(40\) nghìn USD.

+ Lợi nhuận công ty giảm dần khi số tiền chi cho quảng cáo lớn hơn \(40\) nghìn USD và khi đó càng tăng tiền quảng cáo thì lợi nhuận càng giảm.

Giải bài 1.17 trang 15 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Giả sử một chiếc xe tải khi di chuyển với tốc độ dặm/giờ sẽ tiêu thụ nhiên liệu ở mức gallon/dặm. Nếu giá nhiên liệu là USD/gallon thì chi phí nhiên liệu (tính bằng USD) khi lái xe dặm với tốc độ dặm/giờ được cho bởi công thức

.

Ở đây, dặm và gallon, là những đơn vị đo lường phổ biến của Mỹ. Biết rằng tốc độ (dặm/giờ) của xe tải trên một chuyến đường cao tốc bị hạn chế trong khoảng . Hỏi:

a) Lái xe ở tốc độ nào thì chi phí nhiên liệu sẽ ít nhất?

b) Nếu người lái xe tải được trả lương USD/giờ và tiền lương được cộng vào chi phí nhiên liệu thì tốc độ di chuyển của xe tải là bao nhiêu để chi phí tiết kiệm nhất (tức là tổng chi phí mà công ty phải trả cho lái xe và chi phí nhiên liệu là nhỏ nhất)?

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số với , ta cần tìm để đạt giá trị lớn nhất. Ta có .

Khi đó (vì ).

Ta có: ; ;

. Suy ra hay thì đạt giá trị lớn nhất. Vậy xe tải di chuyển với tốc độ dặm/giờ thì chi phí nhiên liệu sẽ ít nhất.

b) Giả sử (dặm) là quãng đường di chuyển của xe. Khi đó số tiền mà công ty phải trả cho người lái xe khi di chuyển trên quãng đường này là USD.

Chi phí nhiên liệu trên (dặm) là USD.

Suy ra tổng chi phí khi lái xe (dặm) là:

Ta có .

Xét

(thỏa mãn ).

Giải bài 1.18 trang 15 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Hai nguồn nhiệt đặt cách nhau \(s\) mét, một nguồn có cường độ \(a\) đặt ở điểm A và một nguồn có cường độ \(b\) đặt ở điểm B. Cường độ nhiệt tại điểm P nằm trên đoạn thẳng nối A và B được tính theo công thức

\(I = \frac{a}{{{x^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {s - x} \right)}^2}}},\)

Trong đó \(x\) (m) là khoảng cách giữa P và A. Tại điểm nào giữa A và B, nhiệt độ sẽ thấp nhất?

Lời giải chi tiết

Xét hàm số \(I = \frac{a}{{{x^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {s - x} \right)}^2}}},{\rm{ }}0 \le x \le s\). Ta cần tìm \(x\) để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có: \(I' = \frac{{a'.{x^2} - a.({x^2})'}}{{{x^4}}} + \frac{{b'{{(s - x)}^2} - b\left[ {{{(s - x)}^2}} \right]'}}{{{{(s - x)}^4}}}\)

\( = \frac{{0 - 2ax}}{{{x^4}}} + \frac{{0 + b.2(s - x)}}{{{{(s - x)}^4}}}\)

\( =  - \frac{{2a}}{{{x^3}}} + \frac{{2b}}{{{{\left( {s - x} \right)}^3}}}\)

\( = \frac{{2\left[ {b{x^3} - a{{\left( {s - x} \right)}^3}} \right]}}{{{x^3}{{\left( {s - x} \right)}^3}}}\), \(0 \le x \le s\).

Khi đó \(I' = 0 \Leftrightarrow \frac{{2\left[ {b{x^3} - a{{\left( {s - x} \right)}^3}} \right]}}{{{x^3}{{\left( {s - x} \right)}^3}}} = 0 \Leftrightarrow 2\left[ {b{x^3} - a{{\left( {s - x} \right)}^3}} \right] = 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{x}{{s - x}} = \frac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}} \Leftrightarrow x = \frac{{s\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}\).

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \frac{{s\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}\).

Vậy tại điểm P trên đoạn AB các A một khoảng \(PA = x = \frac{{s\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}\)(m) thì nhiệt độ thấp nhất.

Giải bài 1.19 trang 16 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một vật được phóng lên trời theo một góc xiên \(\theta \left( {{{45}^ \circ } < \theta  < {{90}^ \circ }} \right)\) so với phương ngang với vận tốc ban đầu là \({v_0}\) (feet/giây) tính từ chân mặt phẳng nghiêng tạo một góc \({45^ \circ }\) so với phương ngang (xem hình vẽ). Nếu bỏ qua sức cản của không khí thì quãng đường R (tính bằng feet, 1 feet=0,3048 m) mà vật di chuyển lên mặt phẳng nghiêng được cho bởi hàm số

\(R\left( \theta  \right) = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\cos \theta \left( {\sin \theta  - \cos \theta } \right)\)

Góc ném \(\theta \) nào làm cho quãng đường R lớn nhất? Giá trị lớn nhất của R là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Xét hàm số \(R\left( \theta  \right) = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\cos \theta \left( {\sin \theta  - \cos \theta } \right)\). Ta cần tìm \(\theta \) để hàm số đạt giá trị lớn nhất.

Ta có \(R\left( \theta  \right) = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\left( {\cos \theta \sin \theta  - {{\cos }^2}\theta } \right) = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{32}}\left( {2\cos \theta \sin \theta  - 2{{\cos }^2}\theta } \right)\)

\( = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{32}}\left( {\sin 2\theta  - \cos 2\theta  - 1} \right)\), \(\left( {{{45}^ \circ } < \theta  < {{90}^ \circ }} \right)\). Do đó \(R' = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\left( {\cos 2\theta  + \sin 2\theta } \right)\).

Khi đó \(R' = 0 \Leftrightarrow \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\left( {\cos 2\theta  + \sin 2\theta } \right) = 0 \Leftrightarrow \cos 2\theta  + \sin 2\theta  = 0 \Leftrightarrow 2\theta  = {135^ \circ } \Leftrightarrow \theta  = {67,5^ \circ }\)

(do \({45^ \circ } < \theta  < {90^ \circ }\)). Mặt khác \(R\left( {{{45}^ \circ }} \right) = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\cos {45^ \circ }\left( {\sin {{45}^ \circ } - \cos {{45}^ \circ }} \right) = 0\);  \(R\left( {{{67,5}^ \circ }} \right) = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\cos {67,5^ \circ }\left( {\sin {{67,5}^ \circ } - \cos {{67,5}^ \circ }} \right) = \frac{{v_0^2\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{{32}}\); \(R\left( {{{90}^ \circ }} \right) = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\cos {90^ \circ }\left( {\sin {{90}^ \circ } - \cos {{90}^ \circ }} \right) = 0\).

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(67,5\): \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {45;90} \right]} R = R\left( {67,5} \right) = \frac{{v_0^2\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{{32}}.\)

Vậy khi góc ném \(\theta  = {67,5^ \circ }\) thì quãng đường R là lớn nhất và bằng \(\frac{{v_0^2\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{{32}}\) feet.

Giải bài 1.20 trang 16 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một chiếc xe nhỏ chuyển động không có ma sát, gắn vào tường bằng một lò xo (xem hình vẽ), được kéo ra khỏi vị trí đứng yên \(10\) cm rồi thả ra tại thời điểm ban đầu \(t = 0\) giây để chuyển động trong \(4\) giây. Vị trí \(s\) (cm) tại thời điểm \(t\) giây là \(s = 10\cos \pi t\).

a) Tốc độ lớn nhất của xe là bao nhiêu? Khi nào xe chuyển động với tốc độ như vậy, khi đó xe đang ở vị trí nào và gia tốc lúc đó có độ lớn là bao nhiêu?

b) Xe ở đâu khi độ lớn gia tốc là lớn nhất? Khi đó vận tốc của xe là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

a) Vận tốc của xe là \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) =  - 10\pi \sin \pi t\) (cm/s)

Khi đó gia tốc của xe là \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) =  - 10{\pi ^2}\cos \pi t\) (cm/s²)

Ta có \(v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow  - 10{\pi ^2}\cos \pi t = 0 \Leftrightarrow \cos \pi t = 0 \Leftrightarrow \pi t = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} + 2k,k \in \mathbb{Z}\)

Mà \(t \in \left[ {0;4} \right]\)nên ta tính được \(t \in \left\{ {\frac{1}{2};\frac{3}{2};\frac{5}{2};\frac{7}{2}} \right\}\).

Mặt khác, \(v\left( 0 \right) = v\left( 4 \right) = 0;v\left( {\frac{1}{2}} \right) = v\left( {\frac{3}{2}} \right) = v\left( {\frac{5}{2}} \right) = v\left( {\frac{7}{2}} \right) =  - 10\pi \)

Tốc độ của xe là \(\left| {v\left( t \right)} \right|\), vậy tốc độ lớn nhất của xe là \(10\pi \) cm/s đạt được tại các thời điểm \(\frac{1}{2};\frac{3}{2};\frac{5}{2};\frac{7}{2}\) giây. Tại các thời điểm đó, xe đều có gia tốc bằng 0 và tại vị trí \(s = 0\) tức là ở vị trí xe đứng yên khi mà chưa kéo lò xo.

b) Ta có \(a'\left( t \right) = 10{\pi ^3}\sin \pi t\); \(a'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 10{\pi ^3}\sin \pi t = 0 \Leftrightarrow t \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\)

Khi đó \(a\left( 0 \right) = a\left( 2 \right) = a\left( 4 \right) =  - 10{\pi ^2};a\left( 1 \right) = a\left( 3 \right) = 10{\pi ^2}\).

Ta có \(\left| {a\left( t \right)} \right|\) là độ lớn của gia tốc do đó nó lớn nhất tại các thời điểm \(0;1;2;3;4\) giây.

Khi \(t = 0;2;4\) giây, xe ở vị trí \(s = 10\) cm; \(t = 1;3\) giây, xe ở vị trí \(s =  - 10\) cm.

Vậy độ lớn gia tốc lớn nhất tại các vị trí \(s = 10\) cm hoặc \(s =  - 10\) cm. (Tức là khi xe ở mép phải hoặc mép trái của quãng đường giao động) và tại các vị trí đó, vận tốc của xe đều bằng 0