Bài 2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác Toán 11 Cùng khám phá

Hoạt động 1

Trên đường tròn lượng giác, gọi M và N lần lượt là điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo \(\frac{{9\pi }}{4}\) và \( - \frac{\pi }{6}\). Tìm tọa độ của M và N.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức lượng giác:

Lời giải chi tiết:

Gọi các điểm như trên hình vẽ

Gọi x và y lần lượt là hoành độ và tung độ của M \(\left( {x > 0,y > 0} \right)\)

Vì tam giác OMH vuông tại H và có góc \(\widehat {MOH} = \frac{\pi }{4}\) nên \(OH = OM.\cos \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Vì tam giác OKM vuông tại K và có góc \(\widehat {MOK} = \frac{\pi }{4}\) nên \(OK = OM.\cos \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Mà \(x > 0,y > 0\) nên \(M\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)

Gọi z và t là hoành độ và tung độ của N \(\left( {z > 0,t < 0} \right)\)

Vì tam giác OBN vuông tại B có góc \(\widehat {BON} = \frac{\pi }{6}\) nên \(OB = ON.\cos \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Vì tam giác OAN vuông tại A có góc \(\widehat {AON} = \frac{\pi }{3}\) nên \(OA = ON.\cos \frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}\)

Mà \(z > 0,t < 0\) nên \(N\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\).

Luyện tập 1

Tìm các giá trị lượng giác của góc 330⁰.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức lượng giác:

Lời giải chi tiết:

Trên đường tròn lượng giác, gọi M là điểm biểu diễn của góc lượng giác 330⁰

Gọi x và y lần lượt là hoành độ và tung độ của M. Ta có: \(x > 0,y < 0\)

Vì tam giác OMH vuông tại H và có góc \(\widehat {MOH} = {30^0}\) nên \(OH = OM.\cos {30^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Vì tam giác OKM vuông tại K và có góc \(\widehat {MOK} = {60^0}\) nên \(OK = OM.\cos {60^0} = \frac{1}{2}\)

Suy ra: \(\cos {330^0} = x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\), \(\sin {330^0} = y =  - \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \tan {330^0} = \frac{{\sin {{330}^0}}}{{\cos {{330}^0}}} = \left( { - \frac{1}{2}} \right):\frac{{\sqrt 3 }}{2} =  - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

\( \Rightarrow \cot {330^0} = \frac{{\cos {{330}^0}}}{{\sin {{330}^0}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}:\left( { - \frac{1}{2}} \right) =  - \sqrt 3 \)

Hoạt động 2

Hãy viết lại bảng các giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt từ 0⁰ đến 90⁰ đã học ở lớp 10.

Phương pháp giải:

Xem lại sách lớp 10

Lời giải chi tiết:

Luyện tập 2

Tính \(\sin \left( { - \frac{{35\pi }}{6}} \right),\cos \left( { - \frac{{35\pi }}{6}} \right),\tan \left( { - \frac{{35\pi }}{6}} \right),\cot \left( { - \frac{{35\pi }}{6}} \right)\).

Phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\sin \left( {\alpha  + k2\pi } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {\alpha  + k2\pi } \right) = \cos \alpha \\\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\\\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sin \left( { - \frac{{35\pi }}{6}} \right) = \sin \left( { - 6\pi  + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\\\cos \left( { - \frac{{35\pi }}{6}} \right) = \cos \left( { - 6\pi  + \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\\tan \left( { - \frac{{35\pi }}{6}} \right) = \frac{{\sin \left( { - \frac{{35\pi }}{6}} \right)}}{{\cos \left( { - \frac{{35\pi }}{6}} \right)}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\\cot \left( { - \frac{{35\pi }}{6}} \right) = \frac{{\cos \left( { - \frac{{35\pi }}{6}} \right)}}{{\sin \left( { - \frac{{35\pi }}{6}} \right)}} = \sqrt 3 \end{array}\)

Luyện tập 3

Tính \(\sin {315^0},\cos \frac{{12\pi }}{7},\tan \left( { - {{168}^0}} \right)\).

Phương pháp giải:

Sử dụng máy tính cầm tay.

Lời giải chi tiết:

\(\sin \left( {{{315}^0}} \right) =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\(\cos \frac{{12\pi }}{7} \approx 0,62\)

\(\tan \left( { - {{168}^0}} \right) \approx 0,21\)

Vận dụng

Một cánh tay robot dài 1m được điều khiển để gắp một vật tại điểm C, rồi xoay theo chiều dương một góc 225⁰ để thả vật tại điểm D như Hình 1.20. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho tâm của cánh tay robot trùng với O và C có tọa độ là (1; 0). Tìm tọa độ của vật tại điểm D.

Phương pháp giải:

Hoành độ của điểm D là \(\cos {225^0}\), tung độ của điểm D là \(\sin {225^0}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi x và y là hoành độ và tung độ của D

\(\begin{array}{l}x = \cos {225^0} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\y = \sin {225^0} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)

Vậy \(D\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}; - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\).

Hoạt động 3

a) Từ định nghĩa của \(\sin \alpha \)và \(\cos \alpha \), hãy tính \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha \).

b) Từ định nghĩa của \(\tan \alpha \) và \(\cot \alpha \), hãy tính \(\tan \alpha .\cot \alpha \).

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Luyện tập 4

Cường độ ánh sáng I đi xuyên qua một màn lọc ánh sáng được tính bởi công thức \(I = {I_m} - \frac{{{I_m}}}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }}\), trong đó I_m là cường độ ánh sáng đã chiếu lên màn lọc ánh sáng và là góc \(\alpha \) như trong Hình 1.21 (nguồn: http://www.vedantu.com/iit-jee/malus-law). Chứng minh rằng: \(I = {I_m}{\cos ^2}\alpha \).

Phương pháp giải:

Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}I = {I_m} - \frac{{{I_m}}}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }} = {I_m}\left( {1 - \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }}} \right) = {I_m}.\left( {1 - \frac{1}{{\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}}}} \right)\\ = {I_m}.\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right) = {I_m}.{\cos ^2}\alpha \end{array}\)

Hoạt động 4

a) Dựa vào Hình 1.22, hãy so sánh \(\cos \left( { - \alpha } \right)\) và \(\cos \left( \alpha  \right)\); \(\sin \left( { - \alpha } \right)\) và \(\sin \left( \alpha  \right)\).

b) Từ đó so sánh \(\tan \left( { - \alpha } \right)\) và \(\tan \left( \alpha  \right)\); \(\cot \left( { - \alpha } \right)\) và \(\cot \left( \alpha  \right)\).

Phương pháp giải:

a) Quan sát hình vẽ.

b) Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào Hình 1.22, ta thấy:

\(\cos \left( { - \alpha } \right)\) = \(\cos \left( \alpha  \right)\)

\(\sin \left( { - \alpha } \right) =  - \sin \left( \alpha  \right)\)

b)

\(\begin{array}{l}\tan \left( { - \alpha } \right) = \frac{{\sin \left( { - \alpha } \right)}}{{\cos \left( { - \alpha } \right)}} = \frac{{ - \sin \alpha }}{{\cos \alpha }} =  - \tan \alpha \\\cot \left( { - \alpha } \right) = \frac{{\cos \left( { - \alpha } \right)}}{{\sin \left( { - \alpha } \right)}} = \frac{{\cos \alpha }}{{ - \sin \alpha }} =  - \cot \alpha \end{array}\)

Hoạt động 5

a) Dựa vào Hình 1.23, hãy so sánh \(\sin \left( {\pi  - \alpha } \right)\) và \(\sin \left( \alpha  \right)\); \(\cos \left( {\pi  - \alpha } \right)\) và \(\cos \left( \alpha  \right)\).

b) Từ đó so sánh \(\tan \left( {\pi  - \alpha } \right)\) và \(\tan \left( \alpha  \right)\); \(\cot \left( {\pi  - \alpha } \right)\) và \(\cot \left( \alpha  \right)\).

Phương pháp giải:

a) Quan sát hình vẽ.

b) Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào Hình 1.23, ta thấy:

\(\sin \left( {\pi  - \alpha } \right)\) = \(\sin \left( \alpha  \right)\)

\(\cos \left( {\pi  - \alpha } \right) =  - \cos \left( \alpha  \right)\)

b) \(\tan \left( {\pi  - \alpha } \right) = \frac{{\sin \left( {\pi  - \alpha } \right)}}{{\cos \left( {\pi  - \alpha } \right)}} = \frac{{\sin \alpha }}{{ - \cos \alpha }} =  - \tan \alpha \)

\(\cot \left( {\pi  - \alpha } \right) = \frac{1}{{\tan \left( {\pi  - \alpha } \right)}} = \frac{1}{{ - \tan \alpha }} =  - \cot \alpha \)

Hoạt động 6

a) Dựa vào Hình 1.24, hãy so sánh \(\sin \left( {\alpha  + \pi } \right)\) và \(\sin \left( \alpha  \right)\); \({\rm{cos}}\left( {\alpha  + \pi } \right)\) và \(\cos \left( \alpha  \right)\).

b) Từ đó so sánh \(\tan \left( {\alpha  + \pi } \right)\) và \(\tan \left( \alpha  \right)\); \(\cot \left( {\alpha  + \pi } \right)\) và \(\cot \left( \alpha  \right)\).

Phương pháp giải:

a) Quan sát hình vẽ.

b) Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào Hình 1.24, ta thấy:

\(\sin \left( {\alpha  + \pi } \right) =  - \sin \alpha \)

\({\rm{cos}}\left( {\alpha  + \pi } \right) =  - \cos \alpha \)

b) \(\tan \left( {\alpha  + \pi } \right) = \frac{{\sin \left( {\alpha  + \pi } \right)}}{{\cos \left( {\alpha  + \pi } \right)}} = \frac{{ - \sin \alpha }}{{ - \cos \alpha }} = \tan \alpha \)

\(\cot \left( {\alpha  + \pi } \right) = \frac{{\cos \left( {\alpha  + \pi } \right)}}{{\sin \left( {\alpha  + \pi } \right)}} = \frac{{ - \cos \alpha }}{{ - \sin \alpha }} = \cot \alpha \)

Hoạt động 7

a) Dựa vào Hình 1.25, hãy so sánh \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) và \(\cos \left( \alpha  \right)\); \({\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) và \(\sin \left( \alpha  \right)\).

b) Từ đó so sánh \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) và \(\cot \left( \alpha  \right)\); \(\cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) và \(\tan \left( \alpha  \right)\).

Phương pháp giải:

a) Quan sát hình vẽ.

b) Áp dụng các hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác.

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào Hình 1.25, ta thấy:

\(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) = \(\cos \left( \alpha  \right)\)

\({\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) = \(\sin \left( \alpha  \right)\)

b) \(\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}}{{\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}} = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \cot \alpha \)

\(\cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \frac{{\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}}{{\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)}} = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \tan \alpha \)

Luyện tập 5

Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc \(\alpha \):

\(B = {\sin ^2}\left( {\alpha  + \pi } \right) + {\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) + \cos \left( { - \alpha } \right) + \cos \left( {\pi  - \alpha } \right)\)

Phương pháp giải:

Áp dụng các hệ thức giữa giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}B = {\sin ^2}\left( {\alpha  + \pi } \right) + {\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) + \cos \left( { - \alpha } \right) + \cos \left( {\pi  - \alpha } \right)\\ \Leftrightarrow B = {\left( { - \sin \alpha } \right)^2} + {\cos ^2}\alpha  + \cos \alpha  - \cos \alpha \\ \Leftrightarrow B = {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha \\ \Leftrightarrow B = 1\end{array}\)

Vậy B không phụ thuộc \(\alpha \).