Bài 2: Hai đường thẳng song song
Câu 18 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao
Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng AB; P, Q là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng CD. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng MQ, NP và vị trí tương đối của hai đường thẳng MP, NQ
Lời giải chi tiết
Hai đường thẳng MQ và NP chéo nhau.
Thật vậy, giả sử chúng không chéo nhau, tức chúng cùng thuộc một mp(\(\alpha\)) nào đó. Vậy M, N, P, Q cùng thuộc mp(\(\alpha\)) và do đó A, B, C, D cùng thuộc mp(\(\alpha\)). Điều này mâu thuẫn với giả thiết ABCD là một tứ diện.
Chứng minh tương tự, hai đường thẳng MP và NQ cũng chéo nhau.
trithuchub.com
Câu 19 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao
Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Bốn điểm P, Q, R, S lần lượt nằm trên bốn cạnh AB, BC, CD, DA và không trùng với các đỉnh của tứ diện. Chứng minh rằng
a. Bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng khi và chỉ khi ba đường thẳng PQ, RS, AC hoặc đôi một song song hoặc đồng quy
b. Bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng khi và chỉ khi ba đường thẳng PS, RQ, BD hoặc đôi một song song hoặc đồng quy
Lời giải chi tiết
a. Nếu P, Q, R, S đồng phẳng thì chúng cùng thuộc mặt phẳng (PQRS).
Ta có:
(PQRS) ∩ (ABC) = PQ
(PQRS) ∩ (ACD) = RS
(ABC) ∩ (ACD) = AC
Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì PQ, SR, AC hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.
Ngược lại, nếu ba đường thẳng PQ, AC, RS hoặc đôi một song song hoặc đồng quy thì hai đường thẳng PQ và RS cùng thuộc một mặt phẳng, từ đó bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng.
b. Nếu P, Q, R, S đồng phẳng thì chúng cùng thuộc mặt phẳng (PQRS).
Ta có:
(PQRS) ∩ (ABD) = PS
(PQRS) ∩ (BCD) = RQ
(ABD) ∩ (BCD) = BD
Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì PS, RQ, BD hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.
Ngược lại, nếu ba đường thẳng PS, RQ, BD hoặc đôi một song song hoặc đồng quy thì hai đường thẳng PS và RQ cùng thuộc một mặt phẳng, từ đó bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng.
trithuchub.com
Câu 20 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt nằm trên ba cạnh AB, CD, BC. Hãy xác định giao điểm S của mp(PQR) với cạnh AD nếu:
LG a
PR // AC
Phương pháp giải:
- Tìm giao tuyến của (PQR) với (ACD).
Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì chúng cắt nhau theo giao tuyến song song với đường thẳng đã cho.
- Tìm giao điểm S của AD với giao tuyến trên.
Lời giải chi tiết:
Trường hợp PR // AC
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
PR \subset \left( {PQR} \right)\\
AC \subset \left( {ACD} \right)\\
PR//AC\\
Q \in \left( {PQR} \right) \cap \left( {ACD} \right)
\end{array} \right. \) \(\Rightarrow \left( {PQR} \right) \cap \left( {ACD} \right) = Qt//AC\)
Trong (ACD), gọi S = Qt ∩ AD thì S = AD ∩ (PQR).
LG b
PR cắt AC
Lời giải chi tiết:
Trường hợp PR cắt AC
Trong (ABC), gọi I = PR ∩ AC
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
I \in AC \subset \left( {ACD} \right)\\
I \in PR \subset \left( {PQR} \right)
\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I \in \left( {ACD} \right) \cap \left( {PQR} \right)\)
Mà \( Q\in \left( {ACD} \right) \cap \left( {PQR} \right)\)
⇒ (PQR) ∩ (ACD) = QI
Trong mp(ACD) ta có
S = QI ∩ AD thì S = AD ∩ (PQR).
trithuchub.com
Câu 21 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao
Đề bài
Cho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mp(PQR) và cạnh AD. Chứng minh rằng AS = 2SD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng định lí Menelaus để giải bài toán
Giả sử đường thẳng Δ cắt các cạnh (hoặc phần kéo dài) BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P thì :
\({{MB} \over {MC}}.{{NC} \over {NA}}.{{PA} \over {PB}} = 1\)
Lời giải chi tiết
Trong (ABC), gọi {I} = PR ∩ AC
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\left( {PQR} \right) \cap \left( {ABC} \right) = PR\\
\left( {ABC} \right) \cap \left( {ACD} \right) = AC\\
\left( {PQR} \right) \cap \left( {ACD} \right) = Qt\\
AC \cap PR = I
\end{array} \right.\\
\Rightarrow I \in Qt
\end{array}\)
Trong mp(ACD) gọi {S} = QI ∩ AD
Thì {S} = AD ∩ (PQR)
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC với cát tuyến PRI ta có
\({{PA} \over {PB}}.{{RB} \over {RC}}.{{IC} \over {IA}} = 1 \)\(\Rightarrow 1.2.{{IC} \over {IA}} = 1\)
\( \Rightarrow {{IC} \over {IA}} = {1 \over 2}\) ⇒ C là trung điểm của AI.
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ACD với cát tuyến IQS ta có :
\({{IC} \over {IA}}.{{SA} \over {SD}}.{{QD} \over {QC}} = 1 \Rightarrow {1 \over 2}.{{SA} \over {SD}}.1 = 1 \)
\(\Rightarrow SA = 2SD\,\,\left( {dpcm} \right)\)
trithuchub.com
Câu 22 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao
Đề bài
Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD
a. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua G và một đỉnh của tứ diện sẽ đi qua trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh ấy
b. Gọi A’ là trọng tâm của mặt BCD. Chứng minh rằng GA = 3GA’
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- G là trọng tâm tứ diện thì G là trung điểm của đoạn nối trung điểm hai cạnh đối của tứ diện.
- Định lí Menelaus: Giả sử đường thẳng Δ cắt các cạnh (hoặc phần kéo dài) BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P thì :
\({{MB} \over {MC}}.{{NC} \over {NA}}.{{PA} \over {PB}} = 1\)
Lời giải chi tiết
a. Gọi M, N là trung điểm của AB, CD.
G là trọng tâm tứ diện nên G là trung điểm của MN hay GM=GN.
Trong mp(ABN) gọi A’ là giao điểm của AG với trung tuyến BN của ΔBCD.
Ta chứng minh A' là trọng tâm tam giác BCD hay A’B = 2A’N.
Áp dụng định lí Menelaus trong ΔBMN với cát tuyến AGA’ ta có :
\({{AM} \over {AB}}.{{GN} \over {GM}}.{{A'B} \over {A'N}} = 1 \)\(\Rightarrow {1 \over 2}.1.{{A'B} \over {A'N}} = 1 \Rightarrow A'B = 2A'N\)
Vậy A’ là trọng tâm của ΔBCD
Tương tự BG ,CG, DG lần lượt đi qua trọng tâm B’, C’, D’ của tam giác ACD, ABD, ABC.
b. Chứng minh GA = 3GA’
Áp dụng định lí Menelaus trong ΔABA’ với cát tuyến MGN ta có :
\({{MA} \over {MB}}.{{GA'} \over {GA}}.{{NB} \over {NA'}} = 1 \)\(\Rightarrow 1.{{GA'} \over {GA}}.3 = 1 \)
\(\Rightarrow GA = 3GA'\,\,\left( {dpcm} \right)\)
trithuchub.com
Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP11
Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!