Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

LG a

Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Lời giải chi tiết:

Sai : lấy hai đường thẳng cắt nhau b, c nằm trong mp(P) và a vuông góc với (P).

Khi đó, a ⊥ b, a ⊥ c nhưng b, c cắt nhau.

LG b

Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

Lời giải chi tiết:

Sai : lấy b // c, b, c ⊂ (P) và a ⊥ (P) thì b,c vuông góc a nhưng chúng song song.

trithuchub.com

LG a

Cho vecto \(\overrightarrow n \) khác \(\overrightarrow 0 \) và hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không cùng phương. Chứng minh rằng nếu vecto \(\overrightarrow n \) vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) thì ba vecto \(\overrightarrow n ,\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không đồng phẳng.

Lời giải chi tiết:

Nếu \(\overrightarrow n ,\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) đồng phẳng thì có hai số k, l sao cho \(\overrightarrow n  = k.\overrightarrow a  + l.\overrightarrow b \)

suy ra \(\overrightarrow n .\overrightarrow n  = k\overrightarrow a .\overrightarrow n  + l\overrightarrow b .\overrightarrow n  = 0 \) \(\Rightarrow {\left| {\overrightarrow n } \right|^2} = {\overrightarrow n ^2} = 0 \)

\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow n } \right| = 0 \)

\(\Rightarrow \overrightarrow n  = \overrightarrow 0 \) (vô lí)

vậy \(\overrightarrow n ,\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không đồng phẳng

LG b

Chứng minh rằng ba vecto cùng vuông góc với vecto \(\overrightarrow n  \ne \overrightarrow 0 \) thì đồng phẳng. Từ đó suy ra các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì cùng song song với một mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Giả sử ba vecto cùng vuông góc với \(\overrightarrow n \) là \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \)

Tức là \(\overrightarrow a .\overrightarrow n  = \overrightarrow b .\overrightarrow n  = \overrightarrow c .\overrightarrow n  = 0\)

Nếu \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vecto cùng phương thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng

Nếu \(\overrightarrow a  \) và \(\overrightarrow b \) là hai vecto không cùng phương thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow n \) là ba vecto không đồng phẳng (điều này suy ra từ câu a)

Khi đó \(\overrightarrow c  = x\overrightarrow a  + y\overrightarrow b  + z\overrightarrow n .\)

Nhân vô hướng hai vế với \(\overrightarrow n ,\) ta có \(\overrightarrow c .\overrightarrow n  = x\overrightarrow a .\overrightarrow n  + y\overrightarrow b .\overrightarrow n  + z{\overrightarrow n ^2}\) suy ra \(z{\overrightarrow n ^2} = 0\,hay\,z = 0,\) tức là \(\overrightarrow c  = x\overrightarrow a  + y\overrightarrow b .\)

Vậy các vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng

Nếu ba đường thẳng d₁, d₂, d₃ cùng vuông góc với một đường thẳng thì do kết quả nêu trên, ta có ba vecto chỉ phương của ba đường thẳng d₁,d₂ ,d₃ đồng phẳng tức là ba đường thẳng d₁,d₂ ,d₃ cùng song song với một mặt phẳng.

trithuchub.com

LG a

AB ⊥ CD;

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{  & \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  \cr &= \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AC} } \right) \cr &= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}   \cr  &  = AB.AD.\cos \widehat {BAD} - AB.AC.\cos \widehat {BAC} = 0  \cr  &  \Rightarrow AB \bot CD. \cr} \)

(Vì AD=AC và \(\widehat {BAD}=\widehat {BAC}=60^0\).

LG b

Nếu I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì \(IJ \bot AB\) và \(IJ \bot CD.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{  & \overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AJ}   \cr  &  = {1 \over 2}\overrightarrow {BA}  + {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AC} } \right)  \cr  &  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} } \right)  \cr  &  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) \cr} \)

Suy ra :

\(\eqalign{  & \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {IJ}  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - A{B^2}} \right)  \cr  &  ={1 \over 2} \left( {AB.AD.\cos 60^\circ } + AB.AC.\cos 60^\circ  - A{B^2} \right) \cr&= 0  \cr  &  \Rightarrow AB \bot IJ \cr} \)

Mặt khác :

\(\eqalign{  & \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {IJ}  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AD} } \right).\left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC} } \right)  \cr  &  = {1 \over 2}\left( { - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}  + {{\overrightarrow {AD} }^2} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BA}  - {{\overrightarrow {AC} }^2} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} } \right)  \cr  &  =  - {1 \over 2}\overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AD} } \right) =  - {1 \over 2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = 0  \cr  &  \Rightarrow CD \bot IJ \cr} \)

trithuchub.com