Bài 2. Một số hệ thức về cạnh và góc của tam giác vuông - Toán 9 Cùng khám phá
Lý thuyết Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Toán 9 Cùng khám phá
1. Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
|
Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng: + cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề. Cạnh góc vuông = (cạnh huyền ) × (sin góc đối) = (cạnh huyền ) × (cosin góc kề) + cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc côtang góc kề. Cạnh góc vuông = (cạnh góc vuông còn lại ) × (tan góc đối) = (cạnh góc vuông còn lại ) × (cot góc kề) |
Ví dụ:
Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:
2. Giải tam giác vuông
Bài toán Giải tam giác vuông
Bài toán xác định số đo tất cả các góc và độ dài tất cả các cạnh của một tam giác vuông được gọi là bài toán giải tam giác vuông. Ta có thể giải được một tam giác vuông nếu biết độ dài của hai cạnh bất kì hoặc độ dài một cạnh cùng với số đo một góc nhọn bất kì của nó.
Giải câu hỏi khởi động trang 83 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Đề bài
Ca nô dù bay là một trò chơi thể thao biển được ưa chuộng, trong đó người chơi được đeo dù và được ca nô kéo bay lên để thưởng ngoạn cảnh biển từ trên cao như Hình 4.17. Nếu biết độ dài AC của dây kéo và góc ACB tạo bởi dây và phương ngang, làm thế nào để tính được độ cao AB của người chơi so với mặt biển?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Trong tam giác vuông có góc nhọn thì tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là .
Lời giải chi tiết
Tam giác ABC vuông tại B nên , suy ra .
Vậy nếu biết độ dài AC của dây kéo và góc ACB tạo bởi dây và phương ngang, ta tính được độ cao AB của người chơi so với mặt biển bằng công thức .
Giải mục 1 trang 83, 84 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
HĐ1
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 83 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Cho vuông tại A như Hình 4.17. Xác định tên các góc nhọn ở các ô ?:
Vì nên ;
Vì nên ;
Vì nên ;
Vì nên ;
Phương pháp giải:
Trong tam giác vuông có góc nhọn , khi đó:
+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là .
+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là .
+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là .
+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là .
Lời giải chi tiết:
Vì nên ;
Vì nên ;
Vì nên ;
Vì nên ;
LT1
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 84 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Tính các độ dài n, p, x, z trong Hình 4.19. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Phương pháp giải:
Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
+ Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề;
+ Cạnh góc vuông còn lại nhân tang góc đối hoặc côtang góc kề.
Lời giải chi tiết:
MNP vuông tại M nên
,
Tam giác XYZ vuông tại Z nên
, .
VD1
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 84 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Quay lại bài toán ở phần Khởi động. Góc tạo bởi dây kéo dù bay và phương ngang là .
a) Tính độ cao AB của dù bay nếu dây kéo AC dài 160m.
b) Nếu muốn bay cao 75m thì dây kéo phải dài bao nhiêu mét?
Làm tròn kết quả đến hàng phần mười mét.
Bài toán khởi động: Ca nô dù bay là một trò chơi thể thao biển được ưa chuộng, trong đó người chơi được đeo dù và được ca nô kéo bay lên để thưởng ngoạn cảnh biển từ trên cao như Hình 4.17.
Phương pháp giải:
Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
+ Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề;
+ Cạnh góc vuông còn lại nhân tang góc đối hoặc côtang góc kề.
Lời giải chi tiết:
a) Tam giác ABC vuông tại B nên
b) Ta có: .
Tam giác ABC vuông tại B nên suy ra .
Giải mục 2 trang 84, 85 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
HĐ2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 84 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Trong mỗi trường hợp dưới đây, hãy xác định độ dài các cạnh và số đo góc ở các ô . Làm tròn số đo góc đến độ và độ dài cạnh đến hàng phần mười. Cho biết em đã sử dụng hệ thức, định lí nào để tính.
Phương pháp giải:
Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
+ Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề;
+ Cạnh góc vuông còn lại nhân tang góc đối hoặc côtang góc kề.
Lời giải chi tiết:
Em đã sử dụng các kiến thức:
- Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
+ Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề;
+ Cạnh góc vuông còn lại nhân tang góc đối hoặc côtang góc kề.
- Sử dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông.
- Trong tam giác vuông có góc nhọn , khi đó:
+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là .
+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là .
+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là .
+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là .
LT2
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 85 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Giải các tam giác vuông MNP và XYZ trong Hình 4.21. Làm tròn số đo góc đến độ và độ dài cạnh đến hàng phần mười.
Phương pháp giải:
Tam giác MNP vuông tại M nên , , .
Tam giác XYZ vuông tại Y nên , nên tính được góc X, .
Lời giải chi tiết:
Tam giác MNP vuông tại M nên:
.
Tam giác XYZ vuông tại Y nên:
nên .
Suy ra: .
VD2
Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 85 SGK Toán 9 Cùng khám phá
Trong Hình 4.22, một người đứng từ sân thượng tòa nhà và quan sát một người đi xe máy từ vị trí C đến vị trí D.
a) Giải tam giác vuông ABD.
b) Tính tốc độ của xe máy, biết thời gian xe đi từ C đến D là 6,5 giây. Làm tròn số đo góc đến độ và độ dài cạnh đến hàng phần mười mét.
Phương pháp giải:
a) + Tam giác ABC vuông tại B nên , từ đó tính được góc BAC.
+ , .
+ .
b) Áp dụng công thức: , trong đó s là quãng đường CD và t thời gian xe đi từ C đến D là 6,5 giây.
Lời giải chi tiết:
a) Tam giác ABC vuông tại B nên nên .
Suy ra:
Tam giác ABD vuông tại B nên .
b) .
Tốc độ của xe máy đi từ C đến D là:
.
Giải bài tập 4.7 trang 86 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Đề bài
Giải tam giác ABC vuông tại A, biết:
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tam giác ABC vuông tại A nên:
a) , ,
b) , ,
c) , từ đó tính được góc B, .
d) , từ đó tính được góc C, .
Lời giải chi tiết
Tam giác ABC vuông tại A nên:
a) .
,
b) .
,
.
c) nên .
nên , .
d) nên .
nên , .
Giải bài tập 4.8 trang 86 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Đề bài
Tính độ dài cạnh x, y và số đo góc trong mỗi trường hợp ở Hình 4.23.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Hình a: ABC vuông tại A nên
ADC vuông tại D nên nên tính được .
Hình b:
+ GFH vuông tại F nên nên tính được x
nên tính được góc FHG.
+ EFH vuông tại E nên . Do đó, .
Hình c:
+ ONP vuông tại O nên
+ OMP vuông tại O nên nên tính được góc OPM,
Do đó,
Lời giải chi tiết
Hình a:
ABC vuông tại A nên
Tam giác ADC vuông tại D nên
nên .
Hình b:
GFH vuông tại F nên (định lí Pythagore) nên
nên
EFH vuông tại E nên
, .
Do đó, .
Hình c:
ONP vuông tại O nên , .
OMP vuông tại O nên nên ,
Do đó,
Giải bài tập 4.9 trang 86 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Đề bài
Tính độ dài cạnh bên CD của hình thang ABCD trong Hình 4.24.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Kẻ DK vuông góc với BC tại K.
+ Tam giác AHB vuông tại H nên .
+ Chứng minh tứ giác AHKD là hình bình hành. Do đó, .
+ Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác DKC vuông tại K để tính CD.
Lời giải chi tiết
Kẻ DK vuông góc với BC tại K.
AHB vuông tại H nên
Tứ giác AHKD có: AD//HK (gt), AH//DK (cùng vuông góc với BC) nên tứ giác AHKD là hình bình hành. Do đó, .
Độ dài đoạn thẳng KC là:
DKC vuông tại K nên
(Định lí Pythagore) nên .
Giải bài tập 4.10 trang 86 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Đề bài
Người ta kể lại rằng, vào thế kỉ XVI, nhà khoa học Galileo đã thả rơi các quả cầu cùng thể tích từ tháp nghiêng Pisa xuống mặt đất. Ông phát hiện ra hiện tượng lí thú rằng thời gian một vật rơi tự do không phụ thuộc vào cân nặng của vật đó (nguồn: https://www.britannica.com/summary/Galileo-Timeline). Biết chiều cao của tháp nghiêng Pisa ở phía thấp hơn là và góc nghiêng BAH của tháp so với phương thẳng đứng là khoảng (Hình 4.25), nếu thả một quả bóng từ vị trí A trên đỉnh tháp xuống đất thì bóng sẽ chạm đất cách điểm B ở chân tháp là bao nhiêu mét?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tam giác AHB vuông tại H nên , từ đó đưa ra kết luận.
Lời giải chi tiết
Tam giác AHB vuông tại H nên
.
Do đó, nếu thả một quả bóng từ vị trí A trên đỉnh tháp xuống đất thì bóng sẽ chạm đất cách điểm B ở chân tháp khoảng 3,9m.
Giải bài tập 4.11 trang 87 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Đề bài
Trong Hình 4.26, bạn Mai và bạn Nam đứng ở vị trí điểm M và N ở cùng một bên lề đường và cây xanh C nằm đối diện vị trí Nam đứng ở phía bên kia đường. Tính chiều rộng NC của con đường.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tam giác MNC vuông tại N nên .
Lời giải chi tiết
Tam giác MNC vuông tại N nên
Giải bài tập 4.12 trang 87 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Đề bài
Quan sát Hình 4.27 và tính:
a) Khoảng cách NH giữa Nam và cây;
b) Chiều cao AB của cây.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Ta có:
Tam giác NHB vuông tại H nên
b) Tam giác AHN vuông tại H nên .
Do đó,
Lời giải chi tiết
a) Ta có: .
Tam giác NHB vuông tại H nên
.
b) Tam giác AHN vuông tại H nên
.
Do đó, .
Giải bài tập 4.13 trang 87 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Đề bài
Cánh tay rô-bốt đặt trên mặt đất và có vị trí như Hình 4.28. Tính độ cao của điểm A trên đầu cánh tay rô-bốt so với mặt đất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Vì BM//NC (cùng vuông góc với BN) nên (hai góc so le trong).
Ta có: .
Tam giác NBC vuông tại N nên .
Tam giác ABM vuông tại M nên .
Vậy độ cao của điểm A trên đầu cánh tay rô- bốt so với mặt đất là: .
Lời giải chi tiết
Vì BM//NC (cùng vuông góc với BN) nên (hai góc so le trong).
Ta có: .
Tam giác NBC vuông tại N nên
.
Tam giác ABM vuông tại M nên
.
Vậy độ cao của điểm A trên đầu cánh tay rô-bốt so với mặt đất là:
Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP9
Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!