Bài 2. Phép tịnh tiến

HĐ 1

Ở mỗi bước của đội hình diễu hành, gọi vectơ dịch chuyển của mỗi người tham gia là vectơ có điểm gốc và điểm ngọn tương ứng là vị trí trước và sau khi bước của người đó. Để giữ vững đội hình, ở mỗi bước, các vectơ dịch chuyển của những người tham gia cần có mối quan hệ gì với nhau? 

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ để trả lời

Lời giải chi tiết:

Để giữa vững đội hình, ở mỗi bước, các vectơ dịch chuyển của những người tham gia cần có cùng phương, cùng hướng và có độ dài bằng nhau hay các vectơ dịch chuyển này phải bằng nhau.

CH

Nếu phép tịnh tiến  biến điểm M thành điểm M' thì phép tịnh tiến  biến điểm M' thành điểm nào?

Phương pháp giải:

Cho vectơ  . Phép hiến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho gọi là phép tịnh tiến theo , kí hiệu . Vectơ được gọi là vectơ  tịnh tiến.

Lời giải chi tiết:

Phép tịnh tiến  biến điểm M thành M' thì

Suy ra

Do đó, phép tịnh tiến  biến điểm M' thành điểm M.

LT 1

Trong Hình 1.6, tìm ảnh của các điểm M, N, P, Q, B qua phép tịnh tiến theo vectơ

Phương pháp giải:

Cho vectơ  . Phép hiến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho gọi là phép tịnh tiến theo , kí hiệu . Vectơ được gọi là vectơ  tịnh tiến. M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến.

Lời giải chi tiết:

Ta có: nên ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ là điểm C.

Do nên ảnh của điểm N qua phép tịnh tiến theo vectơ  là điểm D.

Do nên ảnh của điểm N qua phép tịnh tiến theo vectơ  là điểm E.

Do nên ảnh của điểm N qua phép tịnh tiến theo vectơ  là điểm F.

Do nên ảnh của điểm N qua phép tịnh tiến theo vectơ  là điểm H.

Hoạt động 2

Phép tịnh tiến biến $T_{\overrightarrow{u}}$ iến M thành M', N thành N' (H.1.7).

a) Có nhận xét gì về $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}+\overrightarrow{M^{\prime }M}$ và $\overrightarrow{M^{\prime }N}+\overrightarrow{N{N}^{\prime }}$

b) Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và  $\overrightarrow{M^{\prime }{N}^{\prime }}$.

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ, áp dụng quy tắc 3 điểm điểm làm.

Lời giải chi tiết:

a) Phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{u}}$ biến điểm M thành M' thì $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\overrightarrow{u}$ và biến N thành N' thì $\overrightarrow{N{N}^{\prime }}=\vec{u}$.

Ta có: $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}+\overrightarrow{M^{\prime }N}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{M^{\prime }N}$ và $\overrightarrow{M^{\prime }N}+\overrightarrow{N{N}^{\prime }}=\overrightarrow{M^{\prime }N}+\overrightarrow{u}$

Do đó, $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}+\overrightarrow{M^{\prime }N}=\overrightarrow{M^{\prime }N}+\overrightarrow{N{N}^{\prime }}$

b) Theo quy tắc ba điểm ta có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{M{M}^{\prime }}+\overrightarrow{M^{\prime }N}$ và $\overrightarrow{M^{\prime }{N}^{\prime }}=\overrightarrow{M^{\prime }N}+\overrightarrow{N{N}^{\prime }}$

Mà theo câu a) ta có: $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}+\overrightarrow{M^{\prime }N}=\overrightarrow{M^{\prime }N}+\overrightarrow{N{N}^{\prime }}$

Do đó,

Luyện tập 2

Cho đường tròn (O; R) và điểm O' khác điểm O. Với mỗi điểm M thuộc (O; R) sao cho O, O', M không thẳng hàng, vẽ hình bình hành MOO'M'. Hỏi khi M thay đổi trên (O; R) thì M' thay đổi trên đường nào?

Phương pháp giải:

Vẽ hình và chứng minh M’ thay đổi trên trên đường tròn (O'; R) là ảnh của (O; R) qua phép tịnh tiến theo vectơ .

Lời giải chi tiết:

Ta có: MOO'M' là hình bình hành nên và 

Vì OM = R nên  , R cố định nên O' luôn cách M' một khoảng không đổi bằng R.

Do O, O' cố định và  nên phép tịnh tiến theo vectơ  biến điểm M thành điểm M'. Suy ra nếu M thay đổi trên (O; R) thì M' luôn là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ .

Lại có phép tịnh tiến theo vectơ  biến đường tròn (O; R) thành đường tròn có bán kính là R và có tâm là ảnh của tâm O qua phép tịnh tiến theo vectơ  hay chính là điểm O'. Điều này có nghĩa là đường tròn (O'; R) là ảnh của đường tròn (O; R) qua phép tịnh tiến theo vectơ .

Mà O'M' = R không đổi nên M' luôn thuộc đường tròn (O'; R).

Vậy khi M thay đổi trên (O; R) thì M' thay đổi trên đường tròn (O'; R) là ảnh của (O; R) qua phép tịnh tiến theo vectơ .

Vận dụng 2

Trong việc lát mặt phẳng bởi các tam giác đều bằng nhau như được thể hiện trong Hình 1.10, phép tịnh tiến theo vectơ  có biến mỗi viên gạch màu xanh thành một viên gạch màu xanh, mỗi viên gạch màu đỏ thành một viên gạch màu đỏ hay không?

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ, dựa vào định nghĩa: Cho vectơ  . Phép hiến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho gọi là phép tịnh tiến theo , kí hiệu . Vectơ được gọi là vectơ  tịnh tiến.

Lời giải chi tiết:

Đặt một số điểm như hình vẽ.

Ta thấy:  nên phép tịnh tiến  biến các điểm H, C, E tương ứng thành E, D, F. Do đó,  biến tam giác HCE thành tam giác EDF hay phép tịnh tiến theo vectơ  biến một viên gạch màu xanh thành một viên gạch màu xanh. Đối với các viên gạch màu xanh khác, thực hiện tương tự. Vậy phép tịnh tiến theo vectơ  biến mỗi viên gạch màu xanh thành một viên gạch màu xanh.
Ta cũng có:   nên phép tịnh tiến  biến các điểm C, D, E tương ứng thành D, G, F. Do đó,  biến tam giác CDE thành tam giác DGF hay phép tịnh tiến theo vectơ  biến một viên gạch màu đỏ thành một viên gạch màu đỏ. Đối với các viên gạch màu đỏ khác, thực hiện tương tự. Vậy phép tịnh tiến theo vectơ  biến mỗi viên gạch màu đỏ thành một viên gạch màu đỏ.