Bài 2. Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm - Toán 12 Cùng khám phá

Lý thuyết Lý thuyết Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm Toán 12 Cùng khám phá

Phương sai và độ lệch chuẩn

- Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s², là một số được tính theo công thức sau:

$s^{2} = \frac{m {(x_{1} - \bar{x})}^{2} + . . . + m_{k} {(x_{k} - \bar{x})}^{2}}{n}$

trong đó, $n = m_{1} + . . . + m_{k}$ ; $x_{i} = \frac{a_{i} + a_{i + 1}}{2}$ với I = 1,2,…,k là giá trị đại diện cho nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ và $\bar{x} = \frac{m_{1} x_{1} + . . . + m_{k} x_{k}}{n}$ là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.

- Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là

s = \sqrt{s^{2}}

Ý nghĩa

- Phương sai (độ lệch chuẩn) của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Chúng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu đó.

- Khi hai mẫu số liệu ghép nhóm có cùng đơn vị và có số trung bình bằng nhau (hoặc xấp xỉ nhau), mẫu số liệu nào có độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì mức độ phân tán (so với số trung bình) của các số liệu trong mẫu đó sẽ thấp hơn.

Nhận xét

- Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với mẫu số liệu.

- Khác với khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị, phương sai (độ lệch chuẩn) đã xem xét tất cả các giá trị của mẫu số liệu nên có thể mang lại một nhận định đầy đủ hơn về mức độ phân tán của mẫu số liệu quanh số trung bình.

Giải trang 96, 97, 98, 99, 100, 101 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 96 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Bảng 3.13 là mẫu số liệu ghép nhóm về lương của 40 nhân viên công ty M mà anh Bình có:

a) Hãy ước tính lương trung bình của 40 nhân viên.

b) Điều anh Bình quan tâm là độ lệch trung bình giữa lương của mỗi nhân viên so với lương trung bình . Anh Bình có thể ước lượng độ lệch giữa lương của những nhân viên thuộc nhóm thứ nhất (nhóm lương từ 3 đến dưới 5 triệu đồng) so với số trung bình qua giá trị nào?

c) Dựa vào công thức tính trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm và hai công thức tính phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu không ghép nhóm, hãy đề xuất một cách ước tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc mà anh Bình không có (bảng lương của từng người).

Phương pháp giải:

a) Công thức tính điểm trung bình

, trong đó:

- là giá trị đại diện của khoảng lương thứ .

- là tần số của khoảng lương thứ .

- là tổng số nhân viên.

b) Sử dụng giá trị trung bình của nhóm lương từ 3 đến dưới 5 triệu đồng.

Công thức:

- Công thức tính phương sai của mẫu số liệu không ghép nhóm là:

- Công thức tính độ lệch chuẩn:

Lời giải chi tiết:

a) Tính lương trung bình :

Lương trung bình:

b) Ước lượng độ lệch trung bình:

Giá trị đại diện của nhóm thứ nhất (3 đến 5 triệu đồng): 4 triệu đồng

Độ lệch giữa lương của nhóm này và lương trung bình là:

triệu đồng

Công thức tính trung bình là

Công thức tính phương sai của mẫu số liệu không ghép nhóm là:

Ta biết rằng các giá trị nằm trong các nhóm, và mỗi nhóm có trung điểm và tần số . Do đó, ta có thể viết lại tổng trên bằng cách thay thế từng trong mỗi nhóm bằng trung điểm :

Vậy công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm vẫn là:

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 99 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Bảng dưới đây tổng hợp thời gian hoàn thành bài kiểm tra IQ của 50 học sinh lớp 9:

Tính trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đã cho. Nêu ý nghĩa của kết quả tìm được.

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức tính trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm:

- Công thức tính trung bình là

- Công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

- Công thức tính độ lệch chuẩn:

Lời giải chi tiết:

Kích thước của mẫu số liệu là N = 50.

Vì có 5 nhóm nên k = 5. Trung bình mẫu:

Phương sai của mẫu số liệu:

Độ lệch chuẩn là:

Các kết quả vừa tìm được cho thấy thời gian làm bài kiểm tra IQ của các học sinh lớp 9 có sự chênh lệch khoảng 6,6 so với thời gian trung bình.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 101 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Số tiền ghi trên hoá đơn của 150 khách hàng lấy ngẫu nhiên trong một ngày được siêu thị ghi lại ở bảng dưới đây:

Tìm phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về số tiền ghi trên hoá đơn.

Phương pháp giải:

- Công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

- Công thức tính độ lệch chuẩn:

Lời giải chi tiết:

Vì có 5 nhóm nên k = 5. Số tiền trung bình:

Phương sai của mẫu số liệu:

Độ lệch chuẩn là:

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 101 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Bộ phận kiểm tra chất lượng sản phẩm dùng máy để đo (chính xác đến 0,001 mm) độ dày của một chi tiết máy. Kết quả đo một số sản phẩm được thống kê trong bảng sau:

a) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của độ dày chi tiết máy.

b) Giải thích tầm quan trọng của việc có độ lệch chuẩn nhỏ trong trường hợp này.

Phương pháp giải:

- Công thức tính phương sai:

- Công thức tính độ lệch chuẩn:

b) Độ lệch chuẩn càng nhỏ chứng tỏ các giá trị đo được càng gần với giá trị trung bình, nghĩa là độ chính xác của máy đo cao hơn. Trong trường hợp này, độ dày chi tiết máy càng đồng nhất thì chất lượng sản phẩm càng cao.

Lời giải chi tiết:

Kích thước của mẫu số liệu là:

Độ dày trung bình:

Phương sai của mẫu số liệu:

Độ lệch chuẩn là:

Tầm quan trọng của việc có độ lệch chuẩn nhỏ trong trường hợp này chính là: Độ lệch chuẩn nhỏ chứng tỏ các giá trị đo độ dày của chi tiết máy không bị phân tán nhiều, đảm bảo tính đồng nhất và chất lượng sản phẩm.

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 101 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Trở lại với vấn đề của anh Bình.

Ta đã biết bảng 3.13 là số liệu anh Bình có về lương của 40 nhân viên có tuổi nghề dưới 5 năm thuộc công ty M. Để tiện tính toán, ta chép lại dưới đây bảng 3.13. Đối với công ty N, anh Bình cũng thu thập được một số mẫu số liệu ghép nhóm về lương của 42 nhân viên có tuổi nghề dưới 5 năm (Bảng 3.20).

Nếu muốn làm việc ở nơi mà lương giữa các nhân viên có tuổi nghề dưới 5 năm chênh lệch nhau ít hơn thì anh Bình nên chọn công ty M hay N?

Phương pháp giải:

- Tính mức lương trung bình của từng nhóm nhân viên theo công thức:

Trong đó là số lượng nhân viên trong nhóm với mức lương .

- Tìm độ lệch chuẩn của mức lương trong từng công ty và so sánh.

Lời giải chi tiết:

Mức lương trung bình của hai công ty là:

Độ lệch chuẩn mức lương của hai công ty là:

Nhận thấy độ lệch so với mức lương của công ty N cao hơn công ty M.

Như vậy, nếu muốn làm việc ở nơi mà lương giữa các nhân viên có tuổi nghề dưới 5 năm thì nên chọn công ty M.

Giải bài tập 3.6 trang 102 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Điều tra chi phí thuê nhà ở hàng tháng của một số nhân viên độc thân, công ty X thu được số liệu dưới đây:

Tính trung bình và độ lệch chuẩn chi phí thuê nhà hàng tháng của những nhân viên được điều tra.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Công thức tính trung bình:

$¯ ¯ ¯ x = \frac{k \sum i = 1 (x_{i} f_{i})}{N}$

- Công thức tính độ lệch chuẩn:

$S = \sqrt{¯ ¯¯¯ ¯ x^{2} - {(¯ ¯ ¯ x)}^{2}} = \sqrt{\frac{\sum f_{i} x_{i}^{2}}{N} - {(¯ ¯ ¯ x)}^{2}}$

Lời giải chi tiết

Tổng số nhân viên là N = 64 + 40 + 84 + 56 +16 = 260.

Tính trung bình $¯ x$ :

$\begin{matrix} ¯ x = \frac{64 \cdot 4, 5 + 40 \cdot 7, 5 + 84 \cdot 10, 5 + 56 \cdot 13, 5 + 16 \cdot 16, 5}{64 + 40 + 84 + 56 + 16} ¯ x = \frac{288 + 300 + 882 + 756 + 264}{260} = \frac{2490}{260} \approx 9, 58 \end{matrix}$

Tính $\sum f_{i} x_{i}^{2}$ :

$\begin{matrix} \sum f_{i} x_{i}^{2} = 64 \cdot (4.5)^{2} + 40 \cdot (7, 5)^{2} + 84 \cdot (10, 5)^{2} + 56 \cdot (13, 5)^{2} + 16 \cdot (16, 5)^{2} \sum f_{i} x_{i}^{2} = 64 \cdot 20, 25 + 40 \cdot 56, 25 + 84 \cdot 110, 25 + 56 \cdot 182, 25 + 16 \cdot 272, 25 \sum f_{i} x_{i}^{2} = 1296 + 2250 + 9261 + 10206 + 4356 = 27369 \end{matrix}$

Độ lệch chuẩn chi phí thuê nhà hàng tháng của những nhân viên được điều tra:

Giải bài tập 3.7 trang 102 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Nhà máy đường kiểm tra khối lượng các gói đường do một máy đóng gói tự động thực hiện. Kết quả kiểm tra được biểu diễn trong bảng dưới đây:

a) Tính trung bình và độ lệch chuẩn của khối lượng các gói đường.

b) Có thể nói là máy vận hành tốt hay không nếu như tiêu chuẩn mong muốn của nhà máy là khối lượng trung bình nằm trong khoảng 500 – 504 gam và độ lệch chuẩn nhỏ hơn 3 gam?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Công thức tính trung bình:

$¯ ¯ ¯ x = \frac{k \sum i = 1 (x_{i} f_{i})}{N}$

- Công thức tính độ lệch chuẩn:

$S = \sqrt{¯ ¯¯¯ ¯ x^{2} - {(¯ ¯ ¯ x)}^{2}} = \sqrt{\frac{\sum f_{i} x_{i}^{2}}{N} - {(¯ ¯ ¯ x)}^{2}}$

Lời giải chi tiết

a) Tính trung điểm của từng lớp khối lượng.

Tính trung binh .

Tính

Độ lệch chuẩn của khối lượng các gói đường là:

b) Khối lượng trung bình nằm trong khoảng yêu cầu [500,504]. Độ lệch tiêu chuẩn g cũng bé hơn mức yêu cầu 3g nên có thể kết luận máy hoạt động đúng tiêu chuẩn mong muốn.

Giải bài tập 3.8 trang 103 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong 30 ngày, một nhà đầu tư đã theo dõi giá cổ phiếu của hai công ty G và H vào phiên mở cửa mỗi ngày. Thông tin được ghi lại ở hai bảng dưới đây:

Giá cổ phiếu của công ty nào ít biến động hơn (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng các công thức sau để tính độ lệch chuẩn giá cổ phiếu của công ty G và H. Sau đó lấy hai giá trị này đem so sánh, công ty nào có độ lệch chuẩn thấp hơn thì giá cổ phiếu của công ty đó ít biến động hơn.

- Công thức tính trung bình:

- Công thức tính độ lệch chuẩn:

Lời giải chi tiết

Theo đề bài, ta có N = 30.

Công ty G:

- Giá cổ phiếu trung bình là:

- Tính :

- Độ lệch chuẩn giá cổ phiếu của công ty G là:

Công ty H:

- Giá cổ phiếu trung bình là:

- Tính :

- Độ lệch chuẩn giá cổ phiếu của công ty G là:

Vì nên giá cổ phiếu của công ty G ít biến động hơn.

Giải bài tập 3.9 trang 103 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Bạn Mai dự định đăng kí xét tuyển vào đại học các ngành khối A00 (thi Toán, Vật lí, Hoá học) và A01 (thi Toán, Vật lí, Tiếng Anh). Bạn tìm hiểu điểm chuẩn năm trước của một số trường đóng trên những địa bàn không quá xa nơi gia đình mình sinh sống. Thông tin bạn thu được là:

a) Lập mẫu số liệu ghép nhóm cho hai mẫu số liệu bạn Mai thu thập được, với độ dài các nhóm ghép là 1 và nhóm đầu tiên là [19; 20).

b) Những trường mà bạn Mai tìm hiểu có điểm chuẩn khối nào ổn định hơn?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Lập bảng với các nhóm ghép bắt đầu từ [19; 20), [20; 21), ….

b) Áp dụng các công thức sau để tính độ lệch chuẩn điểm chuẩn của hai khối. Khối nào có độ lệch chuẩn thấp hơn thì điểm chuẩn khối đó ổn định hơn

- Công thức tính trung bình:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{k} (x_{i} f_{i})}{N}$

- Công thức tính độ lệch chuẩn:

$S = \sqrt{\bar{x^{2}} - {(\bar{x})}^{2}} = \sqrt{\frac{\sum f_{i} x_{i}^{2}}{N} - {(\bar{x})}^{2}}$

Lời giải chi tiết

a) Theo đề bài, ta có N = 20.

Khối A00:

Khối A01:

Điểm chuẩn trung bình của hai khối là:

$\bar{x_{A 00}} = \frac{19, 5.2 + 20, 5.5 + 21, 5.8 + 22, 5.3 + 23, 5.2}{20} = 21, 4$

$\bar{x_{A 01}} = \frac{19, 5.4 + 20, 5.3 + 21, 5.5 + 22, 5.5 + 23, 5.3}{20} = 21, 5$

Tính $\bar{x_{A 00}^{2}}, \bar{x_{A 01}^{2}}$ :

$\bar{x_{A 00}^{2}} = \frac{\sum f_{i} x_{i}^{2}}{N} = \frac{19, 5^{2} .2 + 20, 5^{2} .5 + 21, 5^{2} .8 + 22, 5^{2} .3 + 23, 5^{2} .2}{20} = 459, 15$

$\bar{x_{A 01}^{2}} = \frac{\sum f_{i} x_{i}^{2}}{N} = \frac{19, 5^{2} .4 + 20, 5^{2} .3 + 21, 5^{2} .5 + 22, 5^{2} .5 + 23, 5^{2} .3}{20} = 464, 05$

Độ lệch chuẩn của hai khối là:

$S_{A 00} = \sqrt{\bar{x_{A 00}^{2}} - {(\bar{x_{A 00}})}^{2}} = \sqrt{459, 15 - 21, 4^{2}} \approx 1, 091$

$S_{A 01} = \sqrt{\bar{x_{A 01}^{2}} - {(\bar{x_{A 01}})}^{2}} = \sqrt{464, 05 - 21, 5^{2}} \approx 1, 342$

Khối A00 có độ lệch chuẩn thấp hơn, nghĩa là điểm chuẩn khối A00 ổn định hơn so với khối A01.

Thử sức kiểm tra kiến thức

Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP12

Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.

✓ Chấm điểm ngay✓ Lời giải chi tiết✓ 100% Miễn phí

Luyện trắc nghiệm ngay

Ứng dụng di động

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub

Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!

✓ Chấm điểm tức thì✓ Tích điểm & thăng hạng✓ Luyện tập mọi lúc mọi nơi