Bài 2. Phương trình đường thẳng trong không gian - Toán 12 Cùng khám phá
Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian Toán 12 Cùng khám phá
1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
Vecto chỉ phương của đường thẳng
| Vecto được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của song song hoặc trùng với d. |
Ví dụ: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, đường thẳng d đi qua hai điểm A và C. Tìm bốn vecto có điểm đầu và điểm cuối trong các đỉnh của hình hộp đã cho và là vecto chỉ phương của d.
Giải:
Hai vectơ và có giá trị trùng với d, hai vectơ và có giá song song với d (do AC // A′C′).
Vậy ta có bốn vectơ chỉ phương của đường thẳng d là , , , .
Phương trình tham số của đường thẳng
|
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm và có vecto chỉ phương . Hệ phương trình: được gọi là phương trình tham số của đường thẳng d (t là tham số, ). |
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M(2; −2; 1) và có vectơ chỉ phương là .
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d.
b) Trong hai điểm A(3; −3; 3) và B(1; −1; 1), điểm nào thuộc d?
Giải
a) Phương trình tham số của d là .
b) Điểm thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi có giá trị t thỏa mãn hệ phương trình .
Ta có:
Với A(3; −3; 3), ta xét . Hệ phương trình này có nghiệm duy nhất t = 1 nên A thuộc đường thẳng d.
Với B(1; −1; 1), ta xét . Hệ phương trình này vô nghiệm nên B không thuộc d.
Phương trình chính tắc của đường thẳng
|
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm và có vecto chỉ phương với , , đều khác 0. Hệ phương trình được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng d. |
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình chính tắc của đường thẳng d, biết:
a) Đường thẳng d đi qua điểm M(4; 2; −1) và có vectơ chỉ phương .
b) Đường thẳng d có phương trình tham số là .
Giải:
a) Phương trình chính tắc của đường thẳng d là .
b)
Cách 1: Từ phương trình tham số của d, ta có đồ thị qua điểm M(2; −1; 3) và có một vectơ chỉ phương .
Suy ra, phương trình chính tắc của d là .
Cách 2: Từ phương trình tham số của dd, tính theo x , y, z, ta có .
Vậy . Đây là phương trình chính tắc của d.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
|
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm phân biệt và . + Đường thẳng AB có phương trình tham số là . + Nếu thì đường thẳng AB có phương trình chính tắc là: . |
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(4; 2; -1) và B(3; -2; 2).
Giải:
Phương trình tham số của AB là:
hay .
Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là:
hay .
2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc trong không gian
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
d: có vecto chỉ phương và ;
d’: có vecto chỉ phương .
Khi đó:
|
+ d//d’ khi và chỉ khi cùng phương với và . + d trùng d’ khi và chỉ khi cùng phương với và . + d cắt d’ khi và chỉ hệ phương trình ẩn t, t’ sau: có đúng một nghiệm. + d và d’ chéo nhau khi và chỉ khi không cùng phương với và hệ: vô nghiệm. |
Lưu ý:
- Khi xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, người ta thường xét tính cùng phương của hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó:
+ Nếu hai vectơ chỉ phương cùng phương thì hai đường thẳng đó song song hoặc trùng nhau.
+ Nếu hai vectơ chỉ phương không cùng phương thì hai đường thẳng đó cắt nhau hoặc chéo nhau.
- Ta có thể sử dụng tích có hướng và tích vô hướng để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng. Chẳng hạn: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M, có vectơ chỉ phương và đường thẳng d′ đi qua điểm M′, có vectơ chỉ phương . Khi :
+ Nếu thì d và d′ cắt nhau.
+ Nếu thì d và d′ chéo nhau.
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a) d: hay d’: .
b) d: hay d’: .
c) d: và d’: .
Giải:
a) Ta có các vectơ chỉ phương của d và d′ lần lượt là và .
Vì nên và cùng phương. Từ đó suy ra d và d′ song song với nhau hoặc trùng nhau.
Xét điểm , ta có nên d//d′.
b) Ta có d và d′ lần lượt nhận và là các vectơ chỉ phương.
Vì và không cùng phương nên d và d′ cắt nhau hoặc chéo nhau.
Có d′ đi qua M(1; 2; −1) và có vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là d’: .
Xét hệ phương trình: ta không tìm được giá trị t, t’ thỏa mãn cả ba phương trình của hệ. Ta suy ra hệ trên vô nghiệm.
Vậy d và d’ chéo nhau.
c) Ta có: d đi qua M(0; 1; 0) và có vectơ chỉ phương .
d′ đi qua M′(1; 2; −2) và có vectơ chỉ phương .
Nên phương trình tham số của d và d′ lần lượt là:
d: và d’: .
Xét hệ phương trình: .
Hệ phương trình trên có đúng một nghiệm, nên d và d’ cắt nhau.
Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc
|
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d và d’ tương ứng có vecto chỉ phương , . Khi đó: . |
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, chứng minh hai đường thẳng sau đây vuông góc với nhau:
d': và d’: .
Giải:
d và d’ lần lượt có vecto chỉ phương là và .
Ta có Suy ra . Vậy .
Giải mục 1 trang 54, 55, 56, 57, 58, 59 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
HĐ1
Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 54 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hình 5.17). Tìm bốn vectơ khác có điểm đầu và điểm cuối là hai trong tám đỉnh của hình hộp và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng AB.
Phương pháp giải:
Tìm tất cả các cạnh song song hoặc trùng với cạnh AB.
Tìm các vectơ tương ứng với các cạnh đó, chính là các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là hai trong tám đỉnh của hình hộp.
Lời giải chi tiết:
Vectơ đầu tiên là .
Các cạnh song song với AB gồm: A’B’, C’D’, CD.
Các vectơ khác có điểm đầu và điểm cuối là hai trong tám đỉnh của hình hộp và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng AB là:
.
LT1
Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 55 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Tìm các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trong các điểm S, A, B, C, D đã cho và là vectơ chỉ phương của d.
Phương pháp giải:
Sử dụng định nghĩa của vectơ chỉ phương: “Cho đường thẳng d, một vecto được gọi là VTCP của đường thẳng d nếu có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d.”
Lời giải chi tiết:
Từ hình vẽ ta thấy đường thẳng d song song với hai cạnh đáy AB và CD.
Suy ra vectơ chỉ phương của d là: .
HĐ2
Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 55 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian , cho đường thẳng qua điểm , có vectơ chỉ phương . Giả sử là một điểm bất kỳ trên (Hình 5.18). Ta biết cùng phương với nên tồn tại số thực sao cho .
a) Hãy tính tọa độ điểm theo .
b) Bạn An cho rằng điều kiện cần và đủ để là:
Bạn An phát biểu đúng hay không? Vì sao?
Phương pháp giải:
Do , ta có:
Từ đó dẫn đến hệ phương trình:
Lời giải chi tiết:
a)
Do , ta có:
Dẫn đến hệ phương trình:
Vậy tọa độ của điểm là:
b)
Vì d và đều cùng song song với giá của vectơ nên d và song song hoặc trùng nhau.
Mặt khác suy ra .
Vậy phát biểu của bạn An là đúng. Điều kiện để là tồn tại t sao cho hệ phương trình tham số:
được thoả mãn.
LT2
Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 56 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian , cho đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương .
a) Viết phương trình tham số của .
b) Tìm điểm thuộc biết .
Phương pháp giải:
a) Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương . Phương trình tham số của đường thẳng có dạng:
Với và , thay vào ta được phương trình tham số của .
b) Tọa độ của được biểu diễn theo tham số từ phương trình tham số của . Dùng điều kiện , tức là khoảng cách từ gốc tọa độ đến , ta có:
Thay các tọa độ của từ phương trình tham số vào, rồi giải phương trình để tìm , từ đó suy ra tọa độ của .
Lời giải chi tiết:
a)
Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương . Phương trình tham số của đường thẳng có dạng:
Với và , phương trình tham số của đường thẳng là:
b)
Điểm có tọa độ thuộc đường thẳng , nên tọa độ của được biểu diễn theo tham số như sau:
Điều kiện nghĩa là khoảng cách từ gốc tọa độ đến bằng 7:
Thay tọa độ của vào phương trình khoảng cách:
Bình phương hai vế:
Do đó, ta có hai nghiệm: và
Với , tọa độ của là:
Với , tọa độ của là:
HĐ3
Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 56 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng qua có vectơ chỉ phương . Phương trình tham số của đường thẳng là:
Giả sử đều khác 0. Hãy tính các tỉ số theo và so sánh các tỉ số này.
Phương pháp giải:
Tính các tỉ số theo và so sánh các tỉ số này.
Lời giải chi tiết:
Từ phương trình tham số:
Ta có:
Các tỉ số này đều bằng , điều này chứng tỏ tất cả các tỉ số này bằng nhau, và đường thẳng có thể viết dưới dạng phương trình chính tắc:
LT3
Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 58 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng đi qua điểm , có vectơ chỉ phương .
a) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng .
b) Tìm điểm thuộc biết có hoành độ bằng 4.
Phương pháp giải:
a) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng: Dựa vào phương trình tham số của đường thẳng và các tỉ số giữa tọa độ của điểm trên đường thẳng với tọa độ của điểm qua và các thành phần của vectơ chỉ phương.
b) Tìm điểm thuộc đường thẳng: Sử dụng điều kiện hoành độ của A để tìm tham số trong phương trình tham số của đường thẳng. Từ đó tính ra tọa độ của điểm cần tìm.
Lời giải chi tiết:
a) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng :
Phương trình tham số của đường thẳng có dạng:
Phương trình chính tắc của đường thẳng là:
b) Tìm điểm thuộc biết hoành độ của A là 4:
Điểm thuộc có tọa độ .
Suy ra:
và
Vậy điểm A có toạ độ là
HĐ4
Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 58 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng qua hai điểm phân biệt và .
a) Vectơ có phải là một vectơ chỉ phương của không? Vì sao?
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng .
c) Giả sử và , hãy viết phương trình chính tắc của .
Phương pháp giải:
a) Tìm vectơ , sau đó xác định xem vectơ này có phải là vectơ chỉ phương của đường thẳng .
b) Sử dụng tọa độ của điểm hoặc và vectơ chỉ phương để viết phương trình tham số của đường thẳng.
c) Sử dụng tỉ số giữa các tọa độ và vectơ chỉ phương để viết phương trình chính tắc của đường thẳng d.
Lời giải chi tiết:
a) Vectơ là vectơ chỉ phương của đường thẳng :
Vectơ được xác định bởi:
Hai điểm A, B đều thuộc đường thẳng d nên vectơ cũng nằm trên đường thẳng d. Suy ra là vectơ chỉ phương của đường thẳng .
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng :
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương là:
c) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng :
Giả sử , phương trình chính tắc của đường thẳng là:
LT4
Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 59 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho tam giác OAB với , . Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng AB và đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ O của tam giác OAB.
Phương pháp giải:
- Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng AB, chính là vectơ . Viết phương trình tham số của đường thẳng AB dựa trên điểm A hoặc B và vectơ chỉ phương . Từ phương trình tham số, lập phương trình chính tắc của đường thẳng AB.
- Xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB. Viết phương trình đường thẳng đi qua O và M dựa trên tọa độ hai điểm này.
Lời giải chi tiết:
Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng AB:
Phương trình tham số của đường thẳng AB đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là:
Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là:
Trung điểm M của đoạn AB có tọa độ:
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua và là:
Phương trình chính tắc của đường thẳng là:
VD1
Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 59 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Anh Bình là một nhiếp ảnh gia chuyên săn ảnh chim hoang dã. Giả sử với hệ trục Oxyz cho trước, anh Bình đang ngắm và ống kính ở vị trí A có tọa độ thì có một con gà lôi tía xuất hiện ở vị trí B có tọa độ .
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng chứa đoạn thẳng nối hai vị trí ống kính ngắm của anh Bình và con gà lôi tía.
b) Nếu một quả đồi có tọa độ đỉnh C là . Hỏi C có thuộc đường ngắm AB không? Anh Bình có ngắm thấy con gà lôi tía này không?
Phương pháp giải:
a) Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng AB. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
b) Thay toạ độ C vào phương trình tham số của đường thẳng AB. Xác định giá trị tham số t và kiểm tra xem các tọa độ của C có thỏa mãn không.
Lời giải chi tiết:
a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là:
Phương trình tham số của đường thẳng AB đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là:
b) Thay tọa độ của vào phương trình tham số:
Giải phương trình:
Kết luận: Giá trị không giống nhau cho cả ba phương trình, do đó điểm không thuộc đường thẳng AB. Và vì nên C thấp hơn đường thẳng AB. Vậy quả đồi không chắn tầm nhìn nên anh Bình có thể ngắm thấy con gà lôi tía này.
Giải mục 2 trang 59, 60, 61, 62, 63 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
HĐ5
Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 59 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Cho hai đường thẳng d và d’ có các vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {a'} \), \({M_0} \in d\) như Hình 5.20.
Chọn các cụm từ thích hợp (song song, cắt nhau, chéo nhau, trùng nhau, cùng phương, không cùng phương, không có điểm chung, đúng một điểm chung, nhiều hơn một điểm chung cho các ô 
trong bảng sau:
Phương pháp giải:
- Song song: Hai đường thẳng song song nếu chúng cùng phương nhưng không cắt nhau.
- Cắt nhau: Hai đường thẳng cắt nhau nếu chúng giao nhau tại một điểm và không cùng phương.
- Chéo nhau: Hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng không cùng nằm trên một mặt phẳng và không giao nhau.
- Trùng nhau: Hai đường thẳng trùng nhau nếu chúng cùng phương và có vô số điểm chung.
- Cùng phương: Hai đường thẳng cùng phương nếu vectơ chỉ phương của chúng cùng phương hoặc song song.
Lời giải chi tiết:
LT5
Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 62 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 - t}\\{y = 4 + t}\\{z = 5 - 2t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 3t'}\\{y = 5 + 3t'}\\{z = 3 - 6t'}\end{array}} \right.\quad (t' \in \mathbb{R}){\rm{ }}\)
b) \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\) và \(d':\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{3}\)
c) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 3 + 3t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R}){\rm{ }}\) và \(d':\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 1}}{3}{\rm{ }}\)
Phương pháp giải:
- Hai đường thẳng song song: Nếu chúng có vectơ chỉ phương cùng phương và không có điểm chung.
- Hai đường thẳng cắt nhau: Nếu chúng không cùng phương và có duy nhất một điểm chung.
- Hai đường thẳng chéo nhau: Nếu chúng không nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.
- Hai đường thẳng trùng nhau: Nếu chúng cùng phương và có vô số điểm chung.
Lời giải chi tiết:
a)
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): \(\overrightarrow {{u_d}} = ( - 1;1; - 2)\)
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng\(d'\): \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = ( - 3;3; - 6)\)
Nhận thấy: \(\overrightarrow {{u_d}} = k\overrightarrow {{u_{d'}}} \) với \(k = \frac{1}{3}\)
Vậy hai đường thẳng song song.
b)
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): \(\overrightarrow {{u_d}} = (1;3; - 1)\)
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng\(d'\): \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = ( - 2;1;3)\)
Nhận thấy không tồn tại giá trị k để \(\overrightarrow {{u_d}} = k\overrightarrow {{u_{d'}}} \) và \(\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 1.( - 2) + 3.1 + ( - 1).3 = - 2 \ne 0\) nên hai đường thẳng không song song cũng không vuông góc.
Để kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau không, ta giải hệ phương trình tham số từ hai đường thẳng.
Phương trình tham số của \(d\):
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\quad {\rm{hay}}\quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + 3t}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\quad \quad t \in \mathbb{R}\)
Phương trình tham số của \(d'\)
\(\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{3}\quad {\rm{hay}}\quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 2t'}\\{y = - 2 + t'}\\{z = 1 + 3t'}\end{array}} \right.\quad \quad t' \in \mathbb{R}\)
Giải hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + t = 2 - 2t'}\\{2 + 3t = - 2 + t'}\\{3 - t = 1 + 3t'}\end{array}} \right.\)
Từ phương trình thứ nhất:
\(t = 1 - 2t'\)
Thay vào phương trình thứ hai:
\(2 + 3(1 - 2t') = - 2 + t'\quad \Rightarrow \quad 5 - 6t' = - 2 + t'\quad \Rightarrow \quad 7 = 7t'\quad \Rightarrow \quad t' = 1\)
Thay \(t' = 1\) vào \(t = 1 - 2t'\), ta có \(t = - 1\). Thay \(t = - 1\) và \(t' = 1\) vào phương trình thứ ba:
\(3 - ( - 1) = 1 + 3(1)\quad \Rightarrow \quad 4 = 4\)
Điều này đúng.
Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) cắt nhau tại điểm \((x,y,z) = (0, - 1,4)\).
c)
- Vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow {{u_d}} = (2,1,3)\).
- Vectơ chỉ phương của \(d'\) là \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = (1,2,3)\).
\(\frac{2}{1} \ne \frac{1}{2} \ne \frac{3}{3}\)
Do đó, \(d\) và \(d'\) không song song.
Giải hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 2t = 2 + t'}\\{2 + t = - 3 + 2t'}\\{ - 3 + 3t = 1 + 3t'}\end{array}} \right.\)
Từ phương trình thứ nhất: \(t' = 2t - 1\). Thay vào phương trình thứ hai: \(t = \frac{7}{3}\), \(t' = \frac{{11}}{3}\). Thay vào phương trình thứ ba: Điều này sai
Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) chéo nhau.
HĐ6
Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 62 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian, cho hai đường thẳng a và a' lần lượt là giá của hai vectơ (khác \(\overrightarrow 0 \)) \(\vec a\) và \(\vec a'\) (Hình 5.21). Từ một điểm A bất kỳ, vẽ hai đường thẳng d và d' lần lượt song song với a và a'.
a) Hỏi a và a' có phải lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d' không? Vì sao?
b) Nếu \(d \bot d'\), thì \(\vec a\) và \(\vec a'\) có vuông góc nhau không? Vì sao?
Phương pháp giải:
Hai đường thẳng vuông góc nếu và chỉ nếu tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương tương ứng bằng 0, nghĩa là:
\(\vec a \cdot \vec a' = 0\)
Lời giải chi tiết:
a) Vectơ chỉ phương của d và d' là lần lượt \(\vec a\) và \(\vec a'\) vì các đường thẳng được kẻ song song với đường thẳng gốc a và a'.
b) Nếu \(d \bot d'\), thì \(\vec a\) và \(\vec a'\) có vuông góc nhau. Điều này đúng vì tính vuông góc của hai đường thẳng tương ứng với tính vuông góc của hai vectơ chỉ phương, nghĩa là:
\(\vec a \cdot \vec a' = 0\)
LT6
Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 62 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, tìm hai đường thẳng vuông góc nhau trong ba đường thẳng sau đây: \({d_1}:\frac{{x - 5}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}},\quad {d_2}:\frac{{x - 2}}{{ - 3}} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 1}}{6},\quad {d_3}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - 2t}\\{y = 3}\\{z = 4 - t}\end{array}} \right.\)
Phương pháp giải:
- Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng \({d_1},{d_2}\) và \({d_3}\).
- Kiểm tra tích vô hướng giữa các cặp vectơ chỉ phương để tìm ra hai đường thẳng vuông góc.
Lời giải chi tiết:
- Đường thẳng \({d_1}\): vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = (1,2, - 2)\).
- Đường thẳng \({d_2}\): vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = ( - 3,1,6)\).
- Đường thẳng \({d_3}\): vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_3}} = ( - 2,0, - 1)\).
- Tích vô hướng giữa \(\overrightarrow {{u_1}} = (1,2, - 2)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = ( - 3,1,6)\):
\(\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_2}} = 1 \cdot ( - 3) + 2 \cdot 1 + ( - 2) \cdot 6 = - 3 + 2 - 12 = - 13\quad ({\rm{kh\^o ng vu\^o ng g\'o c}}).\)
- Tích vô hướng giữa \(\overrightarrow {{u_1}} = (1,2, - 2)\) và \(\overrightarrow {{u_3}} = ( - 2,0, - 1)\):
\(\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_3}} = 1 \cdot ( - 2) + 2 \cdot 0 + ( - 2) \cdot ( - 1) = - 2 + 0 + 2 = 0\quad ({\rm{vu\^o ng g\'o c}}).\)
- Tích vô hướng giữa \(\overrightarrow {{u_2}} = ( - 3,1,6)\) và \(\overrightarrow {{u_3}} = ( - 2,0, - 1)\):
\(\overrightarrow {{u_2}} \cdot \overrightarrow {{u_3}} = ( - 3) \cdot ( - 2) + 1 \cdot 0 + 6 \cdot ( - 1) = 6 + 0 - 6 = 0\quad ({\rm{vu\^o ng g\'o c}}).\)
- Hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_3}\) vuông góc với nhau (do \(\overrightarrow {{u_1}} \cdot \overrightarrow {{u_3}} = 0\)).
- Hai đường thẳng \({d_2}\) và \({d_3}\) cũng vuông góc với nhau (do \(\overrightarrow {{u_2}} \cdot \overrightarrow {{u_3}} = 0\)).
VD2
Trả lời câu hỏi vận dụng 2 trang 63 SGK Toán 12 Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz cho trước (1 đơn vị = 1 cm), có một chú kiến vàng và một chú kiến đen bò trên hai sợi dây thẳng khác nhau. Giả sử tại thời điểm \(t\) (tính bằng phút), kiến vàng ở vị trí \((6 + t;8 - t;3 + t)\) trên đường thẳng \({d_1}\). Cùng thời điểm đó, kiến đen ở vị trí
\((1 + t;2 + t;2t)\) trên đường thẳng \({d_2}\).
a) Chứng minh rằng hai chú kiến bò trên hai đường thẳng chéo nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai chú kiến tại các thời điểm \(t = 0\) và \(t = 10\).
c) Hỏi tại thời điểm nào thì khoảng cách giữa hai chú kiến là nhỏ nhất? Tính khoảng cách đó.
Phương pháp giải:
a)
- Kiểm tra xem hai đường thẳng có song song không bằng cách so sánh vectơ chỉ phương.
- Kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau không bằng cách giải hệ phương trình.
b)
Tại mỗi thời điểm t, tính tọa độ hai điểm trên hai đường thẳng tương ứng.
Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian 3 chiều:
\(d = \sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2} + {{({y_2} - {y_1})}^2} + {{({z_2} - {z_1})}^2}} \)
để tính khoảng cách giữa hai điểm tại các thời điểm yêu cầu.
c)
- Biểu diễn khoảng cách giữa hai điểm dưới dạng hàm theo t.
- Sử dụng phương pháp tìm cực trị của hàm số (tính đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0) để tìm giá trị t tại đó khoảng cách là nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết:
a)
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng \({d_1}\) là: \(\overrightarrow {{u_1}} = (1, - 1,1)\).
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng \({d_2}\) là: \(\overrightarrow {{u_2}} = (1,1,2)\).
Ta thấy hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không song song với nhau vì không có tỉ lệ giữa các tọa độ của hai vectơ. Vậy hai đường thẳng không song song.
Để kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau không, ta viết phương trình vị trí của hai điểm trên đường thẳng:
- Với \({d_1}\), điểm có tọa độ: \({M_1}(6 + t,8 - t,3 + t)\).
- Với \({d_2}\), điểm có tọa độ: \({M_2}(1 + t,2 + t,2t)\).
Giải hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6 + t = 1 + t}\\{8 - t = 2 + t}\\{3 + t = 2t}\end{array}} \right.\)
Hệ phương trình này không có nghiệm. Do đó, hai đường thẳng không cắt nhau nên hai đường thẳng chéo nhau.
b)
Tại \(t = 0\), tọa độ của hai chú kiến là:
- Kiến vàng: \({M_1}(6,8,3)\).
- Kiến đen: \({M_2}(1,2,0)\).
Khoảng cách giữa hai chú kiến:
\(d = \sqrt {{{(1 - 6)}^2} + {{(2 - 8)}^2} + {{(0 - 3)}^2}} = \sqrt {25 + 36 + 9} = \sqrt {70} \approx 8.37{\mkern 1mu} {\rm{cm}}.\)
Tại \(t = 10\), tọa độ của hai chú kiến là:
- Kiến vàng: \({M_1}(16, - 2,13)\).
- Kiến đen: \({M_2}(11,12,20)\).
Khoảng cách giữa hai chú kiến:
\(d = \sqrt {{{(11 - 16)}^2} + {{(12 + 2)}^2} + {{(20 - 13)}^2}} = \sqrt {25 + 196 + 49} = \sqrt {270} \approx 16.43{\mkern 1mu} {\rm{cm}}.\)
c)
Khoảng cách giữa hai chú kiến là hàm số:
\(d(t) = \sqrt {{{(1 + t - (6 + t))}^2} + {{(2 + t - (8 - t))}^2} + {{(2t - (3 + t))}^2}} .\)
Rút gọn biểu thức:
\(d(t) = \sqrt {{{( - 5)}^2} + {{( - 6 + 2t)}^2} + {{(t - 3)}^2}} = \sqrt {25 + {{( - 6 + 2t)}^2} + {{(t - 3)}^2}} .\)
\(d(t) = \sqrt {25 + (4{t^2} - 24t + 36) + ({t^2} - 6t + 9)} = \sqrt {5{t^2} - 30t + 70} .\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(d(t)\) bằng cách tính đạo hàm:
\(d'(t) = \frac{1}{{2\sqrt {5{t^2} - 30t + 70} }}(10t - 30) = 0.\)
Giải phương trình: \(10t - 30 = 0\) cho \(t = 3\). Thay \(t = 3\) vào biểu thức khoảng cách:
\(d(3) = \sqrt {5{{(3)}^2} - 30(3) + 70} = \sqrt {45 - 90 + 70} = \sqrt {25} = 5{\mkern 1mu} {\rm{cm}}.\)
Vậy khoảng cách nhỏ nhất giữa hai chú kiến là 5 cm tại thời điểm \(t = 3\).
Giải bài tập 5.15 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng \(d\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(d\) đi qua điểm \(M(5;4;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (2; - 3;1)\).
b) \(d\) đi qua hai điểm \(P(1;2;3)\) và \(Q(5;4;4)\).
c) \(d\) đi qua điểm \(B(2;0; - 3)\) và song song với đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 3 + 3t}\\{z = 4}\end{array}} \right.\).
d) \(d\) đi qua điểm \(A( - 2;3;1)\) và song song với đường thẳng \(\Delta ':\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 4}}{3}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(A({x_0},{y_0},{z_0})\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a({a_1},{a_2},{a_3})\) là:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + {a_1}t}\\{y = {y_0} + {a_2}t}\\{z = {z_0} + {a_3}t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
Phương trình chính tắc của đường thẳng:
\(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}\)
Nếu biết hai điểm \(A({x_1},{y_1},{z_1})\) và \(B({x_2},{y_2},{z_2})\), vectơ chỉ phương của đường thẳng là \(\overrightarrow {AB} = ({x_2} - {x_1},{y_2} - {y_1},{z_2} - {z_1})\).
Lời giải chi tiết
a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(5;4;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (2; - 3;1)\):
- Phương trình tham số:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 2t}\\{y = 4 - 3t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
- Phương trình chính tắc:
\(\frac{{x - 5}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 3}} = z - 1\)
b) Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(P(1;2;3)\) và \(Q(5;4;4)\):
- Vectơ chỉ phương:
\(\overrightarrow {PQ} = (5 - 1;4 - 2;4 - 3) = (4;2;1)\)
- Phương trình tham số:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 4t}\\{y = 2 + 2t}\\{z = 3 + t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
- Phương trình chính tắc:
\(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y - 2}}{2} = z - 3\)
c) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(B(2;0; - 3)\) và song song với đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 3 + 3t}\\{z = 4}\end{array}} \right.\)
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \): \(\vec a = (2,3,0)\)
- Phương trình tham số của đường thẳng \(d\):
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + 2t}\\{y = 0 + 3t}\\{z = - 3}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
- Phương trình chính tắc:
\(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{3}\)
d) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A( - 2;3;1)\) và song song với đường thẳng \(\Delta ':\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 4}}{3}\)
- Vectơ chỉ phương của \(\Delta '\): \(\vec a = (2,1,3)\)
- Phương trình tham số của đường thẳng \(d\):
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2 + 2t}\\{y = 3 + t}\\{z = 1 + 3t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)
- Phương trình chính tắc:
\(\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 1}}{3}\)
Giải bài tập 5.16 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành, , , , . Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh SB và đường thẳng chứa cạnh đáy AD của hình chóp.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đường thẳng qua hai điểm và có vectơ chỉ phương . Dùng công thức để lập phương trình tham số và chính tắc.
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là:
Phương trình chính tắc của đường thẳng:
Nếu biết hai điểm và , vectơ chỉ phương của đường thẳng là .
Lời giải chi tiết
Phương trình đường thẳng chứa cạnh SB:
- Vectơ chỉ phương:
- Phương trình tham số:
Phương trình đường thẳng chứa cạnh đáy AD:
- Điểm D: Từ hình bình hành, ta suy ra:
- Vectơ chỉ phương:
- Phương trình tham số:
Giải bài tập 5.17 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có , , , . Viết phương trình đường thẳng BD, DD', AB'.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng bằng cách lấy hiệu tọa độ hai điểm thuộc đường thẳng đó. Từ đó lập phương trình tham số của từng đường thẳng.
Lời giải chi tiết
1. Phương trình đường thẳng BD:
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng BD:
- Phương trình tham số của đường thẳng BD:
- Phương trình chính tắc:
2. Phương trình đường thẳng DD'
- Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên:
- Vectơ chỉ phương DD' là:
- Phương trình tham số của đường thẳng DD':
- Phương trình chính tắc:
3. Phương trình đường thẳng AB'
- Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên:
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB' là:
- Phương trình tham số của đường thẳng AB':
- Phương trình chính tắc:
Giải bài tập 5.18 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng và cho bởi các phương trình sau:
a) và ;
b) và ;
c) và .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
1. Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng d và d'.
2. Kiểm tra xem các vectơ chỉ phương có tỉ lệ với nhau không để xác định đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
3. Nếu không song song, kiểm tra xem hai đường thẳng có giao nhau không bằng cách tìm điểm chung.
4. Nếu không có điểm chung, thì hai đường thẳng chéo nhau.
Lời giải chi tiết
a)
Phương trình đường thẳng d:
Tọa độ điểm thuộc d: Vectơ chỉ phương của d:
Phương trình đường thẳng d':
Tọa độ điểm thuộc d’: Vectơ chỉ phương của d’:
So sánh hai vectơ chỉ phương:
Hai vectơ không tỉ lệ. Do đó, d và d' không song song.
Kiểm tra điểm chung:
Với và thì ta được điểm là giao điểm của d và d’
Vậy, d và d’ là cắt nhau.
b)
Phương trình đường thẳng d:
Tọa độ điểm thuộc d: , vectơ chỉ phương của d:
Phương trình đường thẳng d':
Tọa độ điểm thuộc d': , vectơ chỉ phương của d':
So sánh hai vectơ chỉ phương:
Nhận thấy d và d’ không có điểm chung nên hai đường thẳng này song song với nhau.
c)
Phương trình đường thẳng d:
Tọa độ điểm thuộc d: Vectơ chỉ phương của d:
Phương trình đường thẳng d’:
Tọa độ điểm thuộc d’: Vectơ chỉ phương của d’:
So sánh hai vectơ chỉ phương:
Hai vectơ không tỉ lệ. Do đó, d và d' không song song.
Kiểm tra điểm chung:
Giải hệ phương trình của hai đường thẳng, không tìm được điểm chung
Vậy, d và d’ là chéo nhau.
Giải bài tập 5.19 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Chứng minh ba đường thẳng sau đây đôi một vuông góc:
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng , , và . Kiểm tra điều kiện vuông góc của các vectơ chỉ phương bằng tích vô hướng: nếu tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương bằng 0 thì hai đường thẳng vuông góc.
Lời giải chi tiết
Vectơ chỉ phương của :
Vectơ chỉ phương của :
Vectơ chỉ phương của :
Kiểm tra vuông góc:
- và vuông góc:
Vậy vuông góc với .
- và vuông góc:
Vậy vuông góc với .
- và vuông góc:
Vậy vuông góc với .
Kết luận: Ba đường thẳng , , đôi một vuông góc.
Giải bài tập 5.20 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Cho đường thẳng :
a) Tìm tọa độ điểm thuộc , biết .
b) Tìm tọa độ điểm là hình chiếu vuông góc của điểm trên và tính khoảng cách từ đến .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dùng công thức khoảng cách để tìm giá trị , từ đó xác định tọa độ của điểm . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của lên và tính khoảng cách từ đến đường thẳng .
Lời giải chi tiết
a) Tọa độ điểm thuộc có dạng:
Điều kiện , tức là:
Bình phương hai vế:
Vậy điểm A có hai toạ độ là
b) Tìm tọa độ điểm (hình chiếu vuông góc của lên ):
Vectơ OH là , và vectơ chỉ phương của đường thẳng là . Ta cần giải phương trình:
Vậy toạ độ điểm H là
Khoảng cách từ O đến d chính là độ dài đoạn OH
Giải bài tập 5.21 trang 64 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Trong một khu du lịch, người ta cho du khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline từ vị trí A cao 15 m của tháp 1 này sang vị trí B cao 10 m của tháp 2 trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ trục tọa độ Oxyz cho trước (đơn vị: mét), tọa độ của A và B lần lượt là A(3;2,5;15) và B(21;27,5;10).
a) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trượt zipline này.
b) Xác định tọa độ của du khách khi ở độ cao 12 mét.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương trình đường thẳng trong không gian:
Đường thẳng đi qua hai điểm A(x1,y1,z1) và B(x2,y2,z2) có vectơ chỉ phương là:
−−→AB=(x2−x1,y2−y1,z2−z1)
Phương trình tham số của đường thẳng sẽ có dạng:
⎧⎪⎨⎪⎩x=x1+t(x2−x1)y=y1+t(y2−y1)z=z1+t(z2−z1)
trong đó t là tham số.
Xác định tọa độ của một điểm trên đường thẳng khi biết chiều cao z:
Dùng phương trình tham số của đường thẳng để thay giá trị z=12, từ đó tính t. Sử dụng giá trị t để tìm tọa độ x và y.
Lời giải chi tiết
a) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trượt zipline.
Tọa độ điểm A là A(3;2,5;15) và tọa độ điểm B là B(21;27,5;10).
Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AB:
−−→AB=(21−3,27,5−2,5,10−15)=(18,25,−5)
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương −−→AB:
⎧⎪⎨⎪⎩x=3+18ty=2,5+25tz=15−5t
Đây là phương trình đường thẳng chứa đường trượt zipline.
b) Xác định tọa độ của du khách khi ở độ cao 12 mét. Biết z=12, thay vào phương trình tham số của z:
12=15−5t
Giải phương trình:
5t=15−12=3⇒t=35
Thay t=35 vào các phương trình tham số của x và y:
x=3+18×35=3+10,8=13,8
y=2,5+25×35=2,5+15=17,5
Vậy tọa độ của du khách khi ở độ cao 12 mét là (13,8;17,5;12).
Giải bài tập 5.22 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Giả sử một máy bay thương mại M đang bay trên bầu trời theo một đường thẳng từ D đến E có hình chiếu trên mặt đất là đoạn CB. Tại D, máy bay bay cách mặt đất là 9000 m và tại E là 12000 m. Một ra-đa được đặt trên mặt đất tại vị trí O cách C là 20000 m, cách B là 16000 m và . Xét hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị: 1000 m) với O là vị trí đặt ra-đa, B thuộc tia Oy, C thuộc tia Ox, khi đó ta có tọa độ các điểm như Hình 5.24. Giả sử ra-đa có bán kính dò tìm tối đa là 16000 m. Hỏi ra-đa này có thể dò tìm được tín hiệu của máy bay M khi bay trên bầu trời từ D đến E hay không? Vì sao?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Viết phương trình tham số của đường thẳng DE từ tọa độ điểm và .
- Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng DE trong không gian. Nếu khoảng cách nhỏ hơn hoặc bằng bán kính dò tìm , ra-đa sẽ bắt được tín hiệu máy bay.
Lời giải chi tiết
Tọa độ điểm và . Vectơ chỉ phương của đường thẳng DE là:
Phương trình tham số của đường thẳng DE:
trong đó t là tham số.
Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng DE, suy ra toạ độ điểm M là:
Và tích vô hướng của và là:
Giải phương trình trên ta được điểm
Điểm H có toạ độ là
Khoảng cách từ O đến đến đường thẳng DE chính là độ dài đoạn thẳng OH
Vì khoảng cách từ ra-da tới đường bay của máy bay M lớn hơn bán kính dò tìm tối đa của ra-da nên không thể thấy tín hiệu của máy bay M.
Giải bài tập 5.23 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Đề bài
Hình 5.25 là hình ảnh Cầu Cổng Vàng (The Golden Gate Bridge) ở Mỹ. Xét hệ trục tọa độ Oxyz với O là bệ của chân cột trụ tại mặt nước, trục Oz trùng với cột trụ, mặt phẳng Oxy là mặt nước và xem như trục Oy cùng phương với cầu như Hình 5.25. Dây cáp AD (xem như là một đoạn thẳng) đi qua đỉnh D thuộc trục Oz và điểm A thuộc mặt phẳng Oyz, trong đó điểm D là đỉnh cột trụ cách mặt nước 227 m, điểm A cách mặt nước 75 m và cách trục Oz 343 m. Giả sử ta dựng một đoạn dây nối N trên dây cáp AD và điểm M trên thành cầu, biết M cách mặt nước 75 m và MN song song với cột trụ.
a) Tính độ dài MN, biết điểm M cách trục Oz một khoảng bằng 230 m.
b) Người ta có thể dời đoạn dây dài 100 m để nối dây cáp AD với thành cầu tại vị trí điểm M cách trục Oz một khoảng bằng 148 m không? Vì sao?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xác định tọa độ các điểm A, D, M, và N dựa trên thông tin đề bài.
- Sử dụng phương trình tham số của đường thẳng AD để tính tọa độ điểm N với điều kiện đoạn MN song song với trục Oz.
- Tính độ dài đoạn MN bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian. - Giải phương trình tham số cho đường thẳng AD với điều kiện mới (điểm M cách trục Oz một khoảng 148 m) để kiểm tra xem có thỏa mãn yêu cầu không.
Lời giải chi tiết
a)
- Điểm A thuộc mặt phẳng Oyz, có tọa độ: A(0;−343;75).
- Điểm D trên trục Oz, có tọa độ: D(0;0;227).
- Điểm M trên thành cầu, có tọa độ: M(0;−230;75).
Vectơ chỉ phương của đường thẳng AD là:
−−→AD=D−A=(0−0;0+343;227−75)=(0;343;152)
Phương trình tham số của đường thẳng AD:
⎧⎪⎨⎪⎩x=0y=−343+343tz=75+152t
Trong đó, t là tham số.
Vì đoạn MN song song với trục Oz, nên tọa độ N sẽ có dạng N(0;−230;zN). Để tìm , ta thay vào phương trình tham số của AD:
Thay t vào phương trình tham số của z:
Vậy tọa độ của N là .
Độ dài đoạn MN là:
b)
Người ta muốn di chuyển dây cáp sao cho điểm M' cách trục Oz 148 m.
Xét điểm N' thuộc đường thẳng AD sao cho tọa độ .
Sử dụng phương trình tham số của đường thẳng AD, ta giải phương trình:
Thay giá trị của t vào phương trình của z, ta được:
Sau khi di chuyển đoạn dây MN có độ dài:
Vì độ dài đoạn dây nhỏ hơn 100 m, nên ta có thể nối dây cáp AD với thành cầu tại vị trí điểm M cách trục Oz một khoảng bằng 148m.
Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP12
Học đi đôi với hành! Làm ngay các bộ đề trắc nghiệm chấm điểm tức thì, có đáp án chi tiết giúp ghi nhớ kiến thức sâu và chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra.
Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub
Tải ứng dụng Tri Thức Hub trên điện thoại hoặc máy tính bảng (hỗ trợ Android & iOS) để làm bài kiểm tra, luyện tập và lưu tiến độ học tập!