Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản

LG a

Lời giải chi tiết:

Ta có:  

LG b

Lời giải chi tiết:

Vì nên:

LG c

Lời giải chi tiết:

LG d

Lời giải chi tiết:

Cách trình bày khác:

Vì nên có số sao cho Do đó :

trithuchub.com

LG a

Vẽ đồ thị của hàm số \(y = \sin x\) rồi chỉ ra trên đồ thị đó các điểm có hoành độ thuộc khoảng \((-π ; 4π)\) là nghiệm của mỗi phương trình sau :

1. \(\sin x = - {{\sqrt 3 } \over 2}\)

2. \(\sin x = 1\)

Lời giải chi tiết:

\(1/\,\sin x = - {{\sqrt 3 } \over 2} \)

Vẽ đường thẳng (d): \(y = - {{\sqrt 3 } \over 2}\).

Ta thấy trong khoảng \((-π ; 4π)\) thì (d) cắt đồ thị hàm số \(y=\sin x\) tại các điểm có hoành độ:

\({x_1} = - {\pi \over 3};{x_2} = {{5\pi } \over 3};{x_3} = {{11\pi } \over 3}\); \({x_4} = - {{2\pi } \over 3};{x_5} = {{4\pi } \over 3};{x_6} = {{10\pi } \over 3}\).

Kiểm tra bằng cách đại số:

\(\begin{array}{l}
\sin x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\
x = \pi - \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\
x = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

*Với \(x = - {\pi \over 3} + k2\pi \,\text{ và }\,x \in \left( { - \pi ;4\pi } \right)\) ta có nghiệm :

\({x_1} = - {\pi \over 3};{x_2} = {{5\pi } \over 3};{x_3} = {{11\pi } \over 3}\)

* Với \(x = {{4\pi } \over 3} + k2\pi \,\text{ và }\,x \in \left( { - \pi ;4\pi } \right)\) ta có nghiệm :

\({x_4} = - {{2\pi } \over 3};{x_5} = {{4\pi } \over 3};{x_6} = {{10\pi } \over 3}\)

2/ \(\sin x = 1   \Leftrightarrow x = {\pi \over 2} + k2\pi \)

Vẽ đường thẳng \(d_2:y=1\).

Trong khoảng \((-\pi;4\pi)\) thì \(d_2\) cắt đồ thị hàm số \(y=\sin x\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là:

\({x_1} = {\pi \over 2};{x_2} = {{5\pi } \over 2}.\)

Kiểm tra lại bằng cách đại số:

* Với \(x = {\pi \over 2} + k2\pi \,\text{và}\,x \in \left( { - \pi ;4\pi } \right)\) ta có nghiệm :

\({x_1} = {\pi \over 2};{x_2} = {{5\pi } \over 2}.\)

LG b

Cũng câu hỏi tương tự cho hàm số \(y = \cos x\) đối với mỗi phương trình sau

1.  \(\cos x = {1 \over 2}\)

2. \(\cos x = -1\).

Lời giải chi tiết:

Tương tự câu a) ta có hình vẽ sau :

1. Nghiệm của phương trình \(\cos x = {1 \over 2}\) thuộc khoảng \((-π;4π)\) là :

\({x_1} = - {\pi \over 3};{x_2} = {\pi \over 3};{x_3} = {{5\pi } \over 3};\)

\({x_4} = {{7\pi } \over 3};{x_5} = {{11\pi } \over 3}\)

2. Nghiệm của phương trình \(\cos x = -1\) thuộc khoảng \((-π ; 4π)\) là :

\(x_1= -π\), \(x_2 = π\), \(x_3= 3π\)

 trithuchub.com

LG a

\(\sin 2x = - {1 \over 2}\,\text{ với }\,0 < x < \pi \)

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(\sin 2x = - {1 \over 2} \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - {\pi \over 6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2x = - {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {2x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi } \cr} } \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {\pi \over {12}} + k\pi } \cr {x = {{7\pi } \over {12}} + k\pi } \cr} } \right.\,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right)\)

Với điều kiện \(0 < x < π\) ta có :

*  \(0 < - {\pi \over {12}} + k\pi < \pi \) \(\Leftrightarrow {1 \over {12}} < k < {{13} \over {12}}\,,\,k \in\mathbb Z\)

Vì \(k \in Z\) nên \( k = 1\), khi đó ta có nghiệm \(x = {{11\pi } \over {12}}\)

*  \(0 < {{7\pi } \over {12}} + k\pi < \pi \) \( \Leftrightarrow - {7 \over {12}} < k < {5 \over {12}}\,,\,k \in\mathbb Z\)

Vì \(k \in Z\) nên \(k = 0\), khi đó ta có nghiệm \(x = {{7\pi } \over {12}}\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm trong khoảng \((0 ; π)\) là :

\(x = {{7\pi } \over {12}}\,\text{ và }\,x = {{11\pi } \over {12}}\)

LG b

\(\cos \left( {x - 5} \right) = {{\sqrt 3 } \over 2}\,\text{ với }\, - \pi < x < \pi \)

Lời giải chi tiết:

\(\cos \left( {x - 5} \right) = {{\sqrt 3 } \over 2} \)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x - 5 = {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {x - 5 = - {\pi \over 6} + k2\pi } \cr} } \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 6} + 5 + k2\pi } \cr {x = - {\pi \over 6} + 5 + k2\pi } \cr} } \right.\)

Ta tìm \(k\) để điều kiện \(–π < x < π\) được thỏa mãn.

Xét họ nghiệm thứ nhất :

\(\eqalign{
& - \pi < {\pi \over 6} + 5 + k2\pi < \pi \cr&\Leftrightarrow - 7\pi - 30 < 12k\pi < 5\pi - 30 \cr 
& \Leftrightarrow - {7 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} < k < {5 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} \cr 
& \text{Vì }\, - 1,38 < - {7 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} < k \cr&< {5 \over {12}} - {{30} \over {12\pi }} < - 0,37\,,\,k \in\mathbb Z\,\text{ nên }\, \cr 
& \,\,\,\,\, - 1,38 < k < - 0,37 \cr} \)

Chỉ có một giá trị \(k\) nguyên thỏa mãn các điều kiện đó là \(k = -1\).

Ta có nghiệm thứ nhất của phương trình là \(x = {\pi \over 6} + 5 - 2\pi = 5 - {{11\pi } \over 6}\)

Tương tự, xét họ nghiệm thứ hai :

\( - \pi < - {\pi \over 6} + 5 + k2\pi < \pi \)

\(\Leftrightarrow - 5\pi - 30 < 12k\pi < 7\pi - 30\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow - \frac{5}{{12}} - \frac{{30}}{{12\pi }} < k < \frac{7}{{12}} - \frac{{30}}{{12\pi }}\\
\Rightarrow - 1,2 < k < - 0,2\\
\Rightarrow k = - 1
\end{array}\)

Vậy \(k = -1\)

Ta có nghiệm thứ hai của phương trình là  \(x = - {\pi \over 6} + 5 - 2\pi = 5 - {{13\pi } \over 6}\)

Vậy : \(x = 5 - {{11\pi } \over 6}\,\text{ và }\,x = 5 - {{13\pi } \over 6}\)

trithuchub.com

LG a

Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?

Phương pháp giải:

Giải phương trình với và .

Lời giải chi tiết:

Ta có

.

Ta lại có

Vậy thành phố có đúng giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ (ứng với ) và ngày thứ (ứng với ) trong năm.

LG b

Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất?

Phương pháp giải:

Tìm GTNN của hàm d(t) với  và .

Lời giải chi tiết:

Do 

 với mọi .

Vậy thành phố có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất khi và chỉ khi:

với và

Mặt khác,

(do nguyên).

Vậy thành phố có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất ( giờ) khi , tức là vào ngày thứ trong năm.

LG c

Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất?

Phương pháp giải:

Tìm GTLN của hàm d(t) với và .

Lời giải chi tiết:

Vì nên d(t) đạt GTLN khi .

Giải phương trình:

với và

.

Vậy thành phố có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất ( giờ) vào ngày thứ trong năm.

trithuchub.com

LG a

\(\tan 3x = \tan {{3\pi } \over 5}\)

Lời giải chi tiết:

\(\tan 3x = \tan {{3\pi } \over 5} \Leftrightarrow 3x = {{3\pi } \over 5} + k\pi \)

\(\Leftrightarrow x = {\pi \over 5} + k{\pi \over 3},k \in\mathbb Z\)

LG b

\(\tan(x – 15^0) = 5\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\tan \left( {x - {{15}^0}} \right) = 5\\
\Leftrightarrow x - {15^0} = \arctan 5 + k{180^0}\\
\Leftrightarrow x = {15^0} + \arctan 5 + k{180^0},k \in\mathbb Z
\end{array}\)

Cách trình bày khác:

\(\tan(x – 15^0) = 5\)

\(⇔ x = α + 15^0+ k180^0\),

trong đó \(\tan α = 5\) (chẳng hạn, có thể chọn \(α ≈ 78^041’24”\) nhờ dùng máy tính bỏ túi)

LG c

\(\tan \left( {2x - 1} \right) = \sqrt 3 \)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& \tan \left( {2x - 1} \right) = \sqrt 3 \cr&\Leftrightarrow \tan \left( {2x - 1} \right) = \tan {\pi \over 3} \cr 
& \Leftrightarrow 2x - 1 = {\pi \over 3} + k\pi \cr&\Leftrightarrow x = {\pi \over 6} + {1 \over 2} + k{\pi \over 2};k \in\mathbb Z \cr} \)

LG d

\(\cot 2x = \cot \left( { - {1 \over 3}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\cot 2x = \cot \left( { - {1 \over 3}} \right) \)

\(\Leftrightarrow 2x = - {1 \over 3} + k\pi \)

\(\Leftrightarrow x = - {1 \over 6} + k{\pi \over 2},k \in\mathbb Z\)

LG e

\(\cot \left( {{x \over 4} + 20^\circ } \right) = - \sqrt 3 \)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& \cot \left( {{x \over 4} + 20^\circ } \right) = - \sqrt 3\cr& \Leftrightarrow \cot \left( {{x \over 4} + 20^\circ } \right) = \cot \left( { - 30^\circ } \right) \cr 
& \Leftrightarrow {x \over 4} + 20^\circ = - 30^\circ + k180^\circ \cr&\Leftrightarrow x = - 200^\circ + k720^\circ ,k \in\mathbb Z \cr} \)

LG f

\(\cot 3x = \tan {{2\pi } \over 5}\)

Lời giải chi tiết:

\(\cot 3x = \tan {{2\pi } \over 5}\)

\(\Leftrightarrow \cot 3x = \cot \left( {{\pi \over 2} - {{2\pi } \over 5}} \right)\)\( = \cot \frac{\pi }{{10}}\)

\(\Leftrightarrow 3x = {\pi \over {10}} + k\pi \)

\(\Leftrightarrow x = {\pi \over {30}} + k.{\pi \over 3},k \in\mathbb Z \)

 trithuchub.com

LG a

Vẽ đồ thị của hàm số $y=\tan x$ rồi chỉ ra trên đồ thị đó có các điểm có hoành độ thuộc khoảng $(-\pi ;\pi )$ là nghiệm của mỗi phương trình sau

1. $\tan x=-1$

2. $\tan x=0$

Lời giải chi tiết:

1. Phương trình $\tan x=-1$ có nghiệm thuộc khoảng $(-\pi ;\pi )$ là :

$x=-\frac{\pi }{4}\text{và}x=\frac{3\pi }{4}$

2. Phương trình có nghiệm thuộc khoảng là

LG b

Cũng câu hỏi tương tự cho hàm số và cho mỗi phương trình sau

1. 

2.

Lời giải chi tiết:

1. Phương trình  có nghiệm thuộc khoảng là :

2. Phương trình có nghiệm thuộc khoảng là :

 trithuchub.com

LG a

$\tan \left(2x-{15}^0\right)=1$ với

Lời giải chi tiết:

(do k nguyên)

Vậy các nghiệm của phương trình là  và

LG b

Lời giải chi tiết:

Do nên:

Vì k nguyên nên .

Vậy các nghiệm của phương trình là

trithuchub.com

LG a

Lời giải chi tiết:

xác định 

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là :

LG b

Lời giải chi tiết:

xác định

Vậy

LG c

Lời giải chi tiết:

xác định

Vậy  

Chú ý:

Một số em thường quên mất điều kiện để xác định, đó là dẫn đến thiếu điều kiện.

LG d

Lời giải chi tiết:

xác định

Vậy 

Chú ý:

Một số em thường quên mất điều kiện để xác định, đó là dẫn đến thiếu điều kiện.

 trithuchub.com

LG a

Giả thiết rằng con tàu đi vào quỹ đạo ngay từ khi phóng lên tại mũi Ca-na-vơ-ran (tức là ứng với ). Hãy tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng , trong đó là điểm trên bản đồ biểu diễn cho mũi Ca-na-vơ-ran.

Lời giải chi tiết:

Vì nên

Do đó :

LG b

Tìm thời điểm sớm nhất sau khi con tàu đi vào quỹ đạo để có .

Lời giải chi tiết:

Chú ý rằng ta thấy ngay giá trị nhỏ nhất của là .

Vậy xảy ra lần đầu tiên sau khi phóng con tàu vào quỹ đạo được phút.

LG c

Tìm thời điểm sớm nhất sau khi con tàu đi vào quỹ đạo để có .

(Tính chính xác các kết quả đến hàng phần nghìn).

Lời giải chi tiết:

Sử dụng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta có thể chọn . Khi đó ta có :

, tức là hoặc

Dễ thấy giá trị dương nhỏ nhất của là .

Vậy xảy ra lần đầu tiên là phút sau khi con tàu được phóng vào quỹ đạo. 

 trithuchub.com

LG a

Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí thấp nhất ?

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

Chiếc gầu ở vị trí thấp nhất khi Ta có :

Điều đó chứng tỏ rằng chiếc gầu ở vị trí thấp nhất tại các thời điểm 0 phút ; 1 phút ; 2 phút ; 3 phút…

LG b

Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí cao nhất ?

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

Chiếc gầu ở vị trí cao nhất khi Ta có :

Điều đó chứng tỏ chiếc gàu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm 0,5 phút; 1,5 phút ; 2,5 phút ; 3,5 phút …

LG c

Chiếc gầu cách mặt nước lần đầu tiên khi nào ?

Lời giải chi tiết:

Chiếc gàu cách mặt nước 2 mét khi:

Nghĩa là tại các thời điểm (phút) thì chiếc gầu cách mặt nước 2m;

Do đó lần đầu tiên nó cách mặt nước 2 mét khi quay được phút (ứng với ). 

 trithuchub.com

LG a

Lời giải chi tiết:

LG b

Lời giải chi tiết:

 trithuchub.com