Bài 2. Tích phân - Toán 12 Cùng khám phá

Lý thuyết Tích phân Toán 12 Cùng khám phá

1. Khái niệm tích phân

Một số bài toán dẫn đến khái niệm tích phân

a) Quãng đường đi được của một vật

Xét một vật chuyển động thẳng với vận tốc v = v(t) (0 < t < T) và không đổi chiều chuyển động. Gọi F(t) là một nguyên hàm bất kỳ của v(t) trên khoảng (0;T) thì quãng đường vật đi được từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b là L = F(b) − F(a) với 0 < a < b < T.

b) Diện tích hình thang cong

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được gọi là hình thang cong.

Trong trường hợp tổng quát, cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a;b], người ta chứng minh được rằng diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và các đường thẳng x = a, x = b bằng F(b) − F(a), với F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b].

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f (x) = x^{2} + 1$ và các đường thẳng x = -1, x = 2.

Định nghĩa tích phân

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn

[a; b]

. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn

thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là

.

Ta còn dùng ký hiệu F(x) để chỉ hiệu số F(b) − F(a).

Vậy .

Ta gọi là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

Ghi chú:

- Quy ước: , nếu b > a thì .

- Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số dưới dấu tích phân và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến x hay t, nghĩa là .

- Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì diện tích S của hình thang cong (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và các đường thẳng x = a, x = b là .

Ví dụ:

a) .

b) .

2. Tính chất của tích phân

+ (k là hằng số)

+

+ (a < c < b)

Ví dụ:

a) Cho . Tính .

Ta có .

b) Tính .

.

c) Cho các hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [1;3] và , , .

Ta có:

.

3. Tính tích phân trong một số trường hợp đơn giản

a)

.

b) .

c)

.

Giải mục 1 trang 11, 12, 13, 14 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 11 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Một vật chuyển động thẳng trong 10 giây với vận tốc $v (t) = 3 t + 2$ (m/s). Gọi $s (t)$ là quãng đường vật đi được đến thời điểm $t$ giây (0 < t < 10). Xét chuyển động của vật từ thời điểm $t = 3$ giây đến thời điểm $t = 5$ giây.

a) Giải thích ý nghĩa của đại lượng $L = s (5) - s (3)$ .

b) Gọi $F (t)$ là một nguyên hàm bất kì của $v (t)$ . So sánh $L$ và $F (5) - F (3)$ .

Phương pháp giải:

a) Đại lượng $L = s (5) - s (3)$ biểu diễn quãng đường vật đi được từ thời điểm $t = 3$ giây đến thời điểm $t = 5$ giây.

b) Ta cần tìm nguyên hàm của hàm vận tốc $v (t)$ để tìm hàm quãng đường $s (t)$ . So sánh $L$ với hiệu của giá trị nguyên hàm tại $t = 5$ và $t = 3$ .

Lời giải chi tiết:

a) $L = s (5) - s (3)$ là quãng đường mà vật đã đi được từ thời điểm $t = 3$ giây đến thời điểm $t = 5$ giây.

b) Ta biết rằng $s (t)$ là một nguyên hàm của $v (t) = 3 t + 2$ . Tính nguyên hàm của $v (t)$ :

$F (t) = \int (3 t + 2) d t = \frac{3 t^{2}}{2} + 2 t + C$

Do đó:

$F (5) - F (3) = (\frac{3 {(5)}^{2}}{2} + 2 (5) + C) - (\frac{3 {(3)}^{2}}{2} + 2 (3) + C)$

$= (\frac{75}{2} + 10) - (\frac{27}{2} + 6)$

$= \frac{75 + 20}{2} - \frac{27 + 12}{2} = \frac{95}{2} - \frac{39}{2} = \frac{56}{2} = 28 (m)$

Do đó, $L = F (5) - F (3)$ , tức là quãng đường $s (5) - s (3)$ chính là hiệu của hai giá trị nguyên hàm tại hai thời điểm tương ứng.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 11 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Gọi $(H)$ là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng $y = 2 x + 1$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 1$ , $x = t$ (1 ≤ t ≤ 4) (Hình 4.3a).

a) Tính diện tích $S$ của hình $(H)$ khi $t = 4$ (Hình 4.3b).

b) Tìm hàm số $S (t)$ biểu thị diện tích của hình $(H)$ với $t \in [1; 4]$ .

c) Chứng minh $S (t)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (t) = 2 t + 1$ trên đoạn [1; 4] và $S = S (4) - S (1)$ .

Phương pháp giải:

a) Tính diện tích hình thang vuông bằng công thức trung bình cộng 2 cạnh đáy nhân với chiều cao giữa 2 đáy, tuy nhiên chiều cao ở đây chính là cạnh bên vuông góc với cả 2 đáy. Trong trường hợp này thì độ dài chiều cao sẽ là khoảng cách từ $x_{1}$ đến $x_{2}$ và độ dài hai cạnh đáy sẽ là giá trị của $y$ tại hai điểm $x_{1}$ và $x_{2}$ .

b) Xét diện tích hình thang tổng quát khi $t$ thay đổi, tìm hàm số diện tích $S (t)$ .

c) Chứng minh bằng cách lấy đạo hàm của hàm số $S (t)$ và so sánh với $f (t)$ .

Lời giải chi tiết:

a) Khi , diện tích của hình thang vuông là:

Trong đó: , .

Do đó:

(đơn vị diện tích)

b) Diện tích hình thang tổng quát khi thay đổi từ 1 đến 4:

Trong đó: , Do đó:

c) Chứng minh là nguyên hàm của hàm :

Lấy đạo hàm của :

Do đó, là nguyên hàm của . Cuối cùng, diện tích được tính như sau:

(đơn vị diện tích).

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 13 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho hàm số .

a) Tìm các hàm số là nguyên hàm của trên đoạn

b) So sánh và .

Phương pháp giải:

a)

- Nguyên hàm của một hàm số là một hàm số sao cho .

- Để tìm nguyên hàm của , ta thực hiện việc tích phân theo .

b)

- Hai nguyên hàm của cùng một hàm số chỉ khác nhau một hằng số, nghĩa là nếu và đều là nguyên hàm của , thì với là một hằng số. Từ đó, tính hiệu và để so sánh.

Lời giải chi tiết:

a) Xét hàm số . Nguyên hàm của được tính bằng cách tích phân:

Áp dụng công thức tích phân:

Trong đó, là hằng số tích phân. Tương tự, ta có thể tìm một nguyên hàm khác của :

Trong đó, là một hằng số khác. Như vậy, hai nguyên hàm của có dạng:

b)

Ta có:

Và:

Từ đây, dễ thấy rằng:

Kết luận: Mặc dù và là hai hàm khác nhau, nhưng hiệu và luôn bằng nhau, và đều bằng .

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tính

a)

b)

Phương pháp giải:

- Tìm nguyên hàm của hai hàm số.

- Áp dụng công thức của tích phân xác định:

trong đó, là nguyên hàm của .

Lời giải chi tiết:

a)

Tìm nguyên hàm của :

Do đó, nguyên hàm của là . Áp dụng công thức tính tích phân xác định:

Thay giá trị và vào nguyên hàm:

Kết quả:

b)

Tìm nguyên hàm của :

Do đó, nguyên hàm của là . Áp dụng công thức tính tích phân xác định:

Thay giá trị và vào nguyên hàm:

Kết quả:

.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho là một nguyên hàm của hàm và . Tính .

Phương pháp giải:

- Tìm nguyên hàm của hàm số :

- Áp dụng công thức của tích phân xác định để tìm

trong đó, là nguyên hàm của .

Lời giải chi tiết:

Tìm nguyên hàm của :

Sử dụng công thức tích phân của hàm số mũ, ta có:

Áp dụng công thức tính tích phân xác định, ta có:

Suy ra:

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 14 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và các đường thẳng , . (Hình 4.6).

Phương pháp giải:

- Thiết lập tích phân để tính diện tích hình thang cong:

- Tính tích phân xác định từ 1 đến 4 của hàm .

Lời giải chi tiết:

Thiết lập tích phân:

Tính tích phân:

Do đó, diện tích cần tìm là:

Tính giá trị cụ thể:

Giải mục 2 trang 15, 16, 17, 18 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 15 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho . Tính và so sánh và .

Phương pháp giải:

- Tính từng tích phân riêng biệt: và

- So sánh kết quả của hai tích phân.

Lời giải chi tiết:

Tính tích phân thứ nhất:

Tính tích phân thứ hai:

So sánh:

và

Vậy, hai tích phân này bằng nhau.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 15 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho . Tính .

Phương pháp giải:

- Sử dụng tính chất của tích phân xác định để đơn giản hóa biểu thức. Chúng ta biết rằng:

- Sử dụng giá trị đã cho để thiết lập phương trình và giải để tìm giá trị của .

Lời giải chi tiết:

Từ tính chất của tích phân xác định, ta có:

Theo đề bài, ta biết rằng:

Chia cả hai vế của phương trình cho 3:

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 15 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho , . Tính và so sánh:

a) và .

b) và

.

Phương pháp giải:

- Tính từng tích phân riêng biệt bằng cách tìm nguyên hàm của và trên đoạn .

- Áp dụng tính chất của tích phân để so sánh kết quả của các biểu thức.

Lời giải chi tiết:

a) Tính tích phân:

Nguyên hàm của là :

Tính tích phân từng hàm riêng:

So sánh:

Vậy .

b) Tương tự, tính tích phân trong phần b):

So sánh:

Vậy .

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 15 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tính

a) ;

b) .

Phương pháp giải:

- Sử dụng các công thức tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản:

- Áp dụng tính chất số 2 của tích phân để tính.

Lời giải chi tiết:

a)

Tìm nguyên hàm của và :

Vậy nguyên hàm của hàm số là:

b)

Tính nguyên hàm của 5 và :

Vậy nguyên hàm của hàm số là:

Tính giá trị của tích phân tại cận từ 0 đến 1:

.

HĐ6

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 16 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho . Tính và so sánh và .

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tính tích phân của hàm số cơ bản để tính các tích phân riêng lẻ, sau đó cộng lại và so sánh với tích phân từ cận nhỏ nhất đến cận lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Tính nguyên hàm của :

Tính các tích phân:

So sánh:

Do đó, hai tích phân này bằng nhau.

LT5

Trả lời câu hỏi Luyện tập 5 trang 17 SGK Toán 12 Cùng khám phá

a) Cho hàm số liên tục trên đoạn và . Tính .

b) Cho . Tính .

Phương pháp giải:

a) Sử dụng tính chất của tích phân và giả thiết đã cho, ta tách tích phân thành hai phần: và . Sau đó, chúng ta tính từng tích phân riêng lẻ và giải phương trình để tìm .

b) Đối với bài này, ta chia tích phân thành hai phần dựa trên định nghĩa của hàm . Tính tích phân riêng trên từng đoạn sau đó cộng kết quả lại.

Lời giải chi tiết:

a) Sử dụng giả thiết:

Tính :

Thay vào phương trình:

b) Chia tích phân thành hai phần dựa trên định nghĩa của hàm :

Tính :

Vậy .

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 18 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Hình 4.7 là đồ thị vận tốc của một vật (t = 0 là thời điểm vật bắt đầu chuyển động).

a) Viết công thức của hàm số với .

b) Tính quãng đường vật di chuyển được trong 6 giây đầu tiên.

Phương pháp giải:

a) Dựa trên đồ thị, ta xác định công thức của hàm số theo từng đoạn thời gian khác nhau.

b) Để tính quãng đường di chuyển, ta tính diện tích dưới đường cong của đồ thị vận tốc trong khoảng thời gian đã cho.

Lời giải chi tiết:

a) Hàm số được chia thành hai đoạn dựa trên đồ thị:

b) Quãng đường vật di chuyển được trong 6 giây đầu tiên là diện tích dưới đồ thị của hàm từ 0 đến 6:

Tính :

Vậy tổng quãng đường là:

.

Giải mục 3 trang 18, 19 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

LT6

Trả lời câu hỏi Luyện tập 6 trang 18 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tính

a) ;

b) ;

c) .

Phương pháp giải:

a) Phân tách biểu thức trong tích phân thành các phần tử đơn giản hơn rồi sử dụng các công thức cơ bản để tính tích phân.

b) Đối với tích phân này, ta có thể khai triển biểu thức thành sau đó sử dụng các công thức cơ bản để tính tích phân

c) Đối với tích phân của hàm chứa hàm lượng giác, đặc biệt là hàm , sử dụng công thức lượng giác liên quan để đơn giản hóa và tính tích phân.

Lời giải chi tiết:

a)

Tính từng phần:

Vậy:

b)

Ta có:

Mà:

Vậy:

c)

Tính phần đầu:

Đối với phần chứa :

Vậy:

Vậy tích phân cần tìm là:

LT7

Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 19 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tính

a) ;

b) .

Phương pháp giải:

Để tính các tích phân có dấu giá trị tuyệt đối, phương pháp tổng quát là:

- Xác định điểm mà hàm số bên trong giá trị tuyệt đối đổi dấu, tức là tìm những điểm mà hàm số bên trong giá trị tuyệt đối bằng 0.

- Chia khoảng tích phân thành các đoạn con, sao cho trên mỗi đoạn, giá trị tuyệt đối có thể được bỏ đi (bằng cách thay thế bằng chính hàm số hoặc lấy ngược dấu hàm số).

- Tính tích phân trên từng đoạn, với biểu thức đã bỏ giá trị tuyệt đối, sau đó cộng các tích phân này lại.

Lời giải chi tiết:

a)

Tìm điểm đổi dấu của hàm số:

Trên đoạn , , và trên đoạn , .

Chia khoảng tích phân:

Tính từng tích phân:

Kết luận:

b)

Tìm điểm đổi dấu của hàm số:

Hàm số dương khi và âm khi và .

Chia khoảng tích phân:

Tích phân trên đoạn :

Kết luận:

Giải bài tập 4.10 trang 19 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Biết là một nguyên hàm của hàm số . Tính .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng định nghĩa của nguyên hàm: .

Áp dụng tính chất của tích phân:

Tính riêng tích phân của các hàm hằng và hàm .

Lời giải chi tiết

Tích phân thứ nhất:

Tích phân thứ hai:

Vậy:

Giải bài tập 4.11 trang 19 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn , . Tính .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng định lý cơ bản của tích phân:

.

Lời giải chi tiết

Theo định lý cơ bản của tích phân: .

Giải bài tập 4.12 trang 19 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho các hàm số , liên tục trên đoạn thỏa mãn , , và . Tính:

a) ;

b) .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Để tính , ta sử dụng quy tắc tính tích phân trên đoạn chia nhỏ:

Suy ra, ta có thể tính bằng cách lấy hiệu của và .

b) Để tính tích phân , ta sử dụng quy tắc tích phân của một tổng:

Cụ thể:

Sau đó tính từng tích phân một cách riêng rẽ và cộng lại để có kết quả cuối cùng.

Lời giải chi tiết

a) Tính Ta có:

Thay các giá trị đã biết:

Suy ra:

b) Tính Ta có:

- Tính :

Vậy:

.

Giải bài tập 4.13 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Tính các tích phân sau:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

g) .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tích phân đa thức: Sử dụng tính chất phân phối của tích phân và tính các tích phân bậc nhất hoặc bậc hai.

- Tích phân lượng giác: Sử dụng các công thức lượng giác, chẳng hạn như công thức hạ bậc hoặc các công thức đồng nhất.

- Tích phân hàm mũ: Dùng công thức tích phân cơ bản của hàm mũ.

- Tích phân có giá trị tuyệt đối: Chia miền tích phân thành các đoạn nhỏ hơn sao cho hàm bên trong giá trị tuyệt đối có thể bỏ dấu trị tuyệt đối.

Lời giải chi tiết

a)

Tính từng phần:

Kết quả:

b)

Sử dụng công thức hạ bậc:

Tính tích phân:

Tính từng phần:

Kết quả:

c)

Sử dụng công thức tích phân của hàm mũ:

Tính tích phân:

Áp dụng công thức:

Thay cận:

Kết quả:

d)

Sử dụng công thức:

Tính tích phân:

Tính từng phần:

Kết quả:

e)

Chia thành hai tích phân:

Tính từng phần:

- Với , đặt , , ta có:

Thay cận:

- Với , ta có:

Thay cận:

Kết quả:

g)

Tìm điểm đổi dấu:

Chia khoảng tích phân:

Tính tích phân trên đoạn :

Kết quả cuối cùng:

Giải bài tập 4.14 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Một quả bóng được ném lên từ độ cao với vận tốc ban đầu . Biết gia tốc của quả bóng là .

a) Tính vận tốc của quả bóng tại thời điểm 1 giây sau khi được ném lên.

b) Tính quãng đường quả bóng đi được từ lúc ném lên đến khi chạm đất lần đầu.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

1. Gia tốc là đạo hàm của vận tốc:

Lấy tích phân của gia tốc để tìm vận tốc:

2. Vận tốc là đạo hàm của quãng đường theo thời gian:

Lấy tích phân của vận tốc để tìm quãng đường:

Lời giải chi tiết

a)

Gia tốc của quả bóng là hằng số:

Lấy tích phân gia tốc để tìm vận tốc:

Tính tích phân gia tốc từ 0 đến 1:

Mà dựa trên định nghĩa tích phân, ta có:

Suy ra, vận tốc tại thời điểm 1 giây là:

Vận tốc của quả bóng tại thời điểm 1 giây sau khi ném là .

b)

Vận tốc của quả bóng:

Lấy tích phân của vận tốc để tìm quãng đường:

Vì nên

Biết rằng khi bóng chạm đất thì , suy ra thời gian quả bóng chạm đất là:

Từ đó ta suy ra được quãng đường quả bóng đi được từ lúc ném bóng tới lúc chạm đất là:

Thời điểm quả bóng đạt độ cao cực đại là khi vận tốc bằng 0:

Suy ra:

Tổng quãng đường quả bóng đi được từ lúc ném lên đến khi chạm đất là 60,29m.

Giải bài tập 4.15 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Đường gấp khúc ABD trong Hình 4.8 là đồ thị vận tốc của một vật (t = 0 là thời điểm vật bắt đầu chuyển động). Trong khoảng thời gian mà thì vật chuyển động ngược chiều với khoảng thời gian mà .

a) Viết công thức của hàm số với .

b) Biết rằng quãng đường vật đi chuyển với vận tốc từ thời điểm đến thời điểm là , tính quãng đường vật di chuyển được trong 9 giây kể từ khi vật bắt đầu chuyển động.

c) Tính tổng diện tích của hình thang và tam giác rồi so sánh với kết quả ở câu b.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a)

- Xác định các đoạn của đồ thị: Đồ thị gồm các đoạn AB, BC, và CD.

b)

- Sử dụng công thức tính quãng đường từ đến bằng tích phân của .

- Tính từng phần diện tích tương ứng với các đoạn AB, BC, CD trên đồ thị.

c)

- Diện tích hình thang được tính theo công thức diện tích hình thang.

- Diện tích tam giác được tính theo công thức diện tích tam giác.

Lời giải chi tiết

a)

- Đoạn : Ở đây, đồ thị có giá trị vận tốc không đổi là 4 m/s từ đến , tức là:

- Đoạn và : Đoạn này là một đường thẳng dốc xuống từ đến , vận tốc giảm từ 4 m/s xuống -2 m/s. Phương trình đường thẳng có dạng:

Vậy, công thức của hàm vận tốc theo từng khoảng là:

b)

- Quãng đường được tính là tích phân của . Cần tính tích phân của các đoạn như sau:

Đoạn AB:

Đoạn BC và CD:

Tổng quãng đường vật di chuyển là:

c)

Diện tích hình thang :

Công thức diện tích hình thang:

Diện tích tam giác :

Công thức diện tích tam giác:

Tổng diện tích là:

Vậy kết quả ở câu c và câu b là giống nhau.

Giải bài tập 4.16 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Một lò xo có chiều dài tự nhiên là (Hình 4.9a). Để kéo giãn lò xo cần một lực có độ lớn , trong đó là độ cứng của lò xo và có giá trị không đổi. (Hình 4.9b).

a) Tìm , biết dưới tác dụng của một lực 40 N, lò xo bị giãn và chiều dài của lò xo khi ấy là .

b) Nếu một lực có độ lớn làm biến dạng lò xo từ độ giãn đến thì công của lực đó được cho bởi công thức (J). Tính công của một lực làm lò xo biến dạng từ chiều dài 15 cm đến 18 cm.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a)

- Sử dụng định luật Hooke: .

- Tìm độ giãn của lò xo: .

- Suy ra từ công thức với .

b)

- Sử dụng công thức công của lực: .

- Biểu thức lực được thay vào công thức tích phân để tính công.

- Tính công khi lò xo giãn từ đến (trong đó ).

Lời giải chi tiết

a)

- Độ giãn của lò xo khi chịu lực 40 N là:

- Áp dụng định luật Hooke , ta có:

Suy ra độ cứng của lò xo :

b)

- Độ giãn khi chiều dài của lò xo là 15 cm:

- Độ giãn khi chiều dài của lò xo là 18 cm:

- Công của lực khi lò xo giãn từ đến :

Thay vào:

Tính tích phân:

Vậy công của lực làm lò xo giãn từ 15 cm đến 18 cm là .

Giải bài tập 4.17 trang 21 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Hiệu suất của tim là lưu lượng máu được bơm bởi tim trên một đơn vị thời gian (lưu lượng máu chảy vào động mạch chủ). Để đo hiệu suất của tim, người ta bơm (mg) chất chỉ thị màu vào tâm nhĩ phải, chảy qua tim rồi vào động mạch chủ và đo nồng độ chất chỉ thị màu còn lại ở tim đến thời điểm khi chất chỉ thị màu tan sạch. Gọi là nồng độ chất chỉ thị màu tại thời điểm (s) thì hiệu suất của tim được xác định bởi:

Tính hiệu suất của tim khi bơm 8 mg chất chỉ thị màu vào tâm nhĩ phải, biết rằng với .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tính tích phân với hàm .

- Thay kết quả vào công thức .

Lời giải chi tiết

- Hàm nồng độ chất chỉ thị màu theo thời gian được cho bởi:

- Tính tích phân :

- Ta phân tích biểu thức :

- Khi đó, tích phân trở thành:

- Tính từng tích phân:

- Vậy, ta có:

- Thay kết quả vào công thức tính hiệu suất :

.

Giải bài tập 4.18 trang 21 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Ở $45^{\circ} C$ , phản ứng hóa học phân hủy $N_{2} O_{5}$ xảy ra theo phương trình:

$N_{2} O_{5} \to 2 N O_{2} + \frac{1}{2} O_{2}$

với nồng độ $c (t)$ (mol/L) của $N_{2} O_{5}$ $(c (t) > 0)$ tại thời điểm $t$ giây (t $\geq 0$ ) thỏa mãn $c^{'} (t) = - 0, 0005 c (t)$ . Biết khi $t = 0$ , nồng độ ban đầu của $N_{2} O_{5}$ là 0,05 mol/L.

a) Xét hàm số $y (t) = ln c (t)$ với $t \geq 0$ . Tính $y^{'} (t)$ , từ đó tìm $y (t)$ .

b) Biết rằng nồng độ trung bình của $N_{2} O_{5}$ (mol/L) từ thời điểm $a$ giây đến thời điểm $b$ giây ( $a < b$ ) được cho bởi công thức:

$\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} c (t) d t$

Tính nồng độ trung bình của $N_{2} O_{5}$ từ thời điểm 10 giây đến thời điểm 20 giây.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a)

- Sử dụng công thức $c^{'} (t) = - 0, 0005 c (t)$ , suy ra $y^{'} (t)$ từ định nghĩa của hàm $y (t) = ln c (t)$

- Từ $y^{'} (t)$ , tính tích phân để tìm $y (t)$ .

b)

- Tính nồng độ trung bình bằng cách sử dụng công thức:

$\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} c (t) d t$

- Sử dụng hàm $c (t)$ đã biết từ câu a để tính tích phân.

Lời giải chi tiết

a)

- Ta có:

Lấy đạo hàm của :

- Theo đề bài, , do đó:

- Tính bằng cách tích phân :

- Khi , ta có , do đó:

Vậy, .

- Kết luận:

b)

- Nồng độ trung bình của từ thời điểm 10 giây đến thời điểm 20 giây là:

- Từ câu a, ta biết .

- Tính tích phân:

- Tích phân của là:

- Do đó:

- Sử dụng giá trị gần đúng:

- Khi đó:

- Nồng độ trung bình là:

Bài 2. Tích phân - Toán 12 Cùng khám phá

Luyện trắc nghiệm Toán lớp 1 Lớp LOP12

Học tập & ôn luyện trên ứng dụng Tri Thức Hub

Tải ứng dụng Tri Thức Hub