Bài 2. Tính chất cơ bản của phân thức đại số - Toán 8

Lý thuyết Tính chất cơ bản của phân thức đại số SGK Toán 8 - Cùng khám phá

1. Tính chất cơ bản của phân thức

Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

\(\frac{A}{B} = \frac{{A.M}}{{B.M}}\) (M là một đa thức khác đa thức không).

Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho cùng một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

\(\frac{A}{B} = \frac{{A:N}}{{B:N}}\) (N là một đa thức nhân tử chung).

Ví dụ: Để biến đổi phân thức \(\frac{{x - y}}{{{y^2} - {x^2}}}\) thành \(\frac{{ - 1}}{{x + y}}\), ta chia cả tử và mẫu của phân thức \(\frac{{x - y}}{{{y^2} - {x^2}}}\) cho y – x, khi đó \(\frac{{x - y}}{{{y^2} - {x^2}}} = \frac{{ - (y - x)}}{{(y - x)(y + x)}} = \frac{{ - 1}}{{x + y}}\)

2. Rút gọn phân thức 

Để rút gọn một phân thức, ta thực hiện như sau:

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung (trong một số trường hợp, cần đổi dấu của tử hoặc mẫu để nhận ra nhân tử chung);

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Lưu ý: Tại giá trị của các biến thỏa mãn điều kiện xác định của một phân thức, giá trị của phân thức đó và của phân thức sau khi rút gọn là như nhau.

Ví dụ: Rút gọn phân thức \(\frac{{{x^3} - 6{x^2} + 9x}}{{{x^2} - 9x}}\) ta được:

\(\frac{{{x^3} - 6{x^2} + 9x}}{{{x^3} - 9x}} = \frac{{x({x^2} - 6x + 9)}}{{x(x - 3)(x + 3)}} = \frac{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{x(x - 3)(x + 3)}} = \frac{{x - 3}}{{x + 3}}\)

Giải mục 1 trang 36, 37 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Giải mục 2 trang 37 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Giải bài 2.6 trang 38 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Đề bài

Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy chứng minh:

a)    

b)   

c)    

d)   

Lời giải chi tiết

a)     Ta thấy cả tử và mẫu của phân thức đều nhân với -1 thì sẽ được:

Vậy 2 phân thức này bằng nhau.

b)    Ta thấy cả tử và mẫu của phân thức đều có nhân tử chung là .

Chia VT cho ta được:

Vậy hai phân thức này bằng nhau.

c)     Ta thấy cả tử và mẫu của phân thức   đều nhân với -1 thì sẽ được:

Vậy hai phân thức này bằng nhau.

d)    Nếu nhân cả tử và mẫu của phân thức cho đa thức , ta có:

Vậy hai phân thức này bằng nhau.

Giải bài 2.7 trang 38 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Đề bài

Tìm đa thức thích hợp cho mỗi ô ?:

a)    

b)   

Lời giải chi tiết

a)     Ta thấy cả tử và mẫu của phân thức đều có nhân tử chung là . Chia phân thức cho , ta có:

Vậy đa thức thích hợp là .

b)    Ta thấy cả tử và mẫu của phân thức đều có nhân tử chung là . Chia phân thức cho , ta có:

Vậy đa thức thích hợp là

Giải bài 2.8 trang 38 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Đề bài

Rút gọn các phân thức sau:

a)    

b)   

c)    

d)   

Lời giải chi tiết

a)    

b)   

c)    

d)   

Giải bài 2.9 trang 38 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Đề bài

Một chiếc du thuyền chạy xuôi dòng từ điểm xuất phát A đến điểm tham quan B với tốc độ trung bình là \({v_1}\) (km/h). Sau đó thuyền chạy ngược dòng từ B trở về A với tốc độ trung bình là \(v{ _2}\) (km/h). Khi đó tốc độ trung bình \(v\) cho toàn bộ hành trình được xác định bởi

\(v = \frac{{2{v_1}{v_2}}}{{{v_1} + {v_2}}}\)

Chứng minh rằng nếu \({v_1} = 2{v_2}\) thì \(v = \frac{{4{v_2}}}{3}\).

Lời giải chi tiết

Thay \({v_1} = 2{v_2}\) vào phương trình \(v = \frac{{2{v_1}{v_2}}}{{{v_1} + {v_2}}}\), ta có:

\(\frac{{2.2{v_2}.{v_2}}}{{2{v_2} + {v_2}}} = \frac{{4{v_2}^2}}{{3{v_2}}} = \frac{{4{v_2}}}{3}\)