Bài 2 trang 112

Đề bài

Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không nằm trong cùng một mặt phẳng. Gọi $O$ và $O^{\prime }$ lần lượt là tâm của $ABCD$ và $ABEF$.

a) Chứng minh đường thẳng $O{O}^{\prime }$ song song với các mặt phẳng $\left(CDEF\right),\left(ADF\right)$ và $\left(BCE\right)$.

b) Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AF$ và $BE$. Chứng minh $MN\parallel \left(CD\right)$.

c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(OMN\right)$ và $\left(ABCD\right)$.

Lời giải chi tiết

a) $O$ là trung điểm của $BD$ (theo tính chất hình bình hành).

$O^{\prime }$ là trung điểm của $BF$ (theo tính chất hình bình hành).

$\Rightarrow O{O}^{\prime }$ là đường trung bình của tam giác $BDF$.

$\begin{array}{c}\Rightarrow O{O}^{\prime }\parallel DF\\ DF\subset \left(CDFE\right)\end{array}\}\Rightarrow O{O}^{\prime }\parallel \left(CDFE\right)$.

Ta có:

$\begin{array}{c}O{O}^{\prime }\parallel DF\\ DF\subset \left(ADF\right)\end{array}\}\Rightarrow O{O}^{\prime }\parallel \left(ADF\right)$.

$O$ là trung điểm của $AC$ (theo tính chất hình bình hành).

$O^{\prime }$ là trung điểm của $AE$ (theo tính chất hình bình hành).

$\Rightarrow O{O}^{\prime }$ là đường trung bình của tam giác $ACE$.

$\begin{array}{c}\Rightarrow O{O}^{\prime }\parallel CE\\ CE\subset \left(BCE\right)\end{array}\}\Rightarrow O{O}^{\prime }\parallel \left(BCE\right)$.

b) $M$ là trung điểm của $AF$ (theo tính chất hình bình hành).

$N$ là trung điểm của $BE$ (theo tính chất hình bình hành).

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của hình bình hành $ABEF$, tức $MN\parallel AB\parallel CD\parallel EF$.

c) Ta có $\begin{array}{c}MN\parallel EF\\ EF\subset \left(CDFE\right)\end{array}\}\Rightarrow MN\parallel \left(CDFE\right)$.

Ta có:

$\begin{array}{c}O\in \left(OMN\right)\cap \left(ABCD\right)\\ MN\parallel AB\\ MN\subset \left(OMN\right)\\ AB\subset \left(ABCD\right)\end{array}\}$

$\Rightarrow$ Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(OMN\right)$ và $\left(ABCD\right)$ là đường thẳng $d$ đi qua $O$, song song với $MN$ và $AB$.